物理模拟：深入探究碰撞检测

碰撞检测是物理模拟的一个基本方面，它能让虚拟物体在模拟环境中进行逼真的交互。它构成了从视频游戏、计算机动画到机器人学和科学建模等无数应用的支柱。本综合指南将探讨碰撞检测背后的关键概念、算法和优化技术，为理解和实现稳健高效的模拟系统奠定坚实的基础。

为什么碰撞检测如此重要？

碰撞检测之所以至关重要，原因有以下几点：

真实感：它使物体在接触时能够表现得逼真，防止它们相互穿透，并能实现如弹跳或变形等适当的响应。
交互性：它促进了物体与环境之间有意义的交互，使用户能够操纵物体、触发事件并创建复杂的场景。
稳定性：精确的碰撞检测对于维持模拟的稳定性至关重要，可以防止物体卡住、出现异常行为或导致数值不稳定。
安全性：在机器人学和自动驾驶等应用中，碰撞检测对于确保机器人及其周围环境的安全至关重要，可以防止与障碍物或人类发生碰撞。

碰撞检测管线：粗测阶段与精确检测阶段

碰撞检测通常实现为一个两阶段的过程：

粗测阶段（Broad Phase）：此阶段旨在快速识别可能发生碰撞的物体对。它使用物体的简化表示和高效算法来进行粗粒度的碰撞检查。其目标是减少需要进入更耗费资源的精确检测阶段的物体对数量。
精确检测阶段（Narrow Phase）：此阶段对粗测阶段识别出的物体对进行更精确、更详细的碰撞检查。它使用更复杂的算法和几何表示来确定是否确实发生了碰撞，并计算接触点、穿透深度和碰撞法线。

将碰撞检测分为这两个阶段，通过在粗测阶段过滤掉大多数不碰撞的物体对，显著提高了性能。

粗测阶段碰撞检测算法

粗测阶段的碰撞检测通常使用以下几种算法：

1. 暴力法

这是最简单的方法，它涉及检查每一对可能的物体是否发生碰撞。虽然易于实现，但其时间复杂度为 O(n²)，其中 n 是物体数量，这使得它在物体数量庞大的模拟中不切实际。

2. 空间分割

空间分割技术将模拟空间划分为更小的区域，从而可以快速定位特定区域内的物体。只需检查相同或相邻区域内的物体是否发生碰撞。

a. 基于网格的分割

模拟空间被划分为一个均匀的单元格网格。每个物体都被分配到其占据的一个或多个单元格中。然后，仅在相同或相邻单元格内的物体之间进行碰撞检测。基于网格分割的性能取决于物体分布的均匀性。如果物体聚集在某些区域，一些单元格可能会过载，从而降低算法效率。

b. 四叉树与八叉树

四叉树（2D）和八叉树（3D）是分层数据结构，它们递归地将模拟空间细分为更小的区域。细分过程会一直持续，直到每个区域包含少量物体或达到预定义的细节级别。四叉树和八叉树非常适合物体分布不均匀的模拟，因为它们可以根据不同区域物体的密度来调整细节级别。例如，在城市模拟中，建筑物密集的市中心区域会比郊区或农村地区有更精细的划分。

c. k-d 树

k-d 树是根据物体坐标来划分空间的二叉搜索树。树中的每个节点代表一个空间区域，树的每一层沿不同的轴分割空间。k-d 树对于范围查询和最近邻搜索非常高效，使其适用于物体不断移动的动态环境中的碰撞检测。

3. 包围体层次结构 (BVH)

BVH 是一种分层数据结构，它将物体包裹在包围体中，例如球体、盒子（轴对齐包围盒 AABB 和定向包围盒 OBB）或胶囊体。通过递归地将物体分组并将其包裹在更大的包围体中来构建层次结构。碰撞检测通过遍历 BVH 来执行，从根节点开始。如果两个节点的包围体不重叠，那么这些节点内包含的物体就不可能碰撞。如果包围体重叠，则算法会递归检查这些节点的子节点，直到到达包含实际物体的叶节点。BVH 因其高效性和灵活性而在碰撞检测中被广泛使用。可以根据物体的形状和复杂性使用不同类型的包围体。

例如，视频游戏通常使用带有 AABB 的 BVH，因为它们计算和更新速度快。在机器人学中，OBB 可能更受青睐，因为它们能更好地拟合复杂机器人部件的形状，从而实现更准确的碰撞检测。在科学模拟中，如果模拟的物体大致为球形（如粒子），则球形包围体可能就足够了。

精确检测阶段碰撞检测算法

精确检测阶段对粗测阶段识别出的物体对进行更精确的碰撞检查。这通常涉及计算量更大的算法和几何表示。

1. 几何图元

对于涉及简单几何图元（如球体、盒子、圆柱体和圆锥体）的模拟，可以使用解析碰撞检测算法。这些算法根据物体的几何属性推导出确定两个图元是否相交的方程。例如，两个球体之间的碰撞检测可以通过计算它们中心之间的距离并将其与它们的半径之和进行比较来确定。如果距离小于或等于半径之和，则球体发生碰撞。

2. 基于多边形的碰撞检测

对于表示为多边形网格的更复杂物体，碰撞检测算法必须考虑多边形的各个面、边和顶点。有几种算法常用于基于多边形的碰撞检测：

a. 分离轴定理 (SAT)

SAT 是一个强大的算法，用于确定两个凸多面体是否碰撞。该定理指出，两个凸多面体不重叠的充分必要条件是存在一条分离轴，即一条线，使得两个多面体在该线上的投影不重叠。该算法会沿着两个多面体的所有面法线和边叉积检查分离轴。如果找到分离轴，则多面体不碰撞。如果没有找到分离轴，则多面体碰撞。SAT 高效且准确，但它只适用于凸多面体。对于非凸物体，必须将其分解为多个凸组件。

b. GJK 算法

Gilbert-Johnson-Keerthi (GJK) 算法是另一种流行的用于凸物体之间碰撞检测的算法。它使用闵可夫斯基差（Minkowski difference）的概念来确定两个物体是否碰撞。两个集合 A 和 B 的闵可夫斯基差定义为 A - B = {a - b | a ∈ A, b ∈ B}。如果闵可夫斯基差包含原点，则两个物体发生碰撞。GJK 算法迭代搜索闵可夫斯基差上离原点最近的点。如果到原点的距离为零，则物体发生碰撞。GJK 算法效率高，并且可以处理各种凸形，包括多面体、球体和椭球体。

c. EPA 算法

扩展多胞形算法（Expanding Polytope Algorithm, EPA）通常与 GJK 算法结合使用，用于在两个物体碰撞时计算穿透深度和碰撞法线。EPA 算法从 GJK 算法找到的单纯形开始，并迭代地扩展它，直到到达闵可夫斯基差的表面。穿透深度是原点到闵可夫斯基差表面最近点的距离，碰撞法线是从原点到该点的方向。EPA 算法提供准确可靠的碰撞信息，这对于模拟逼真的碰撞响应至关重要。

3. 距离场

距离场表示空间中任意点到物体表面的距离。使用距离场的碰撞检测涉及查询不同点的距离场值，以确定它们是在物体内部还是外部。距离场可以预先计算或即时生成。它们对于模拟可变形物体和复杂形状特别有用。有向距离场（SDF）被普遍使用。正值表示点在物体外部，负值表示点在内部，值为零表示点在表面上。

碰撞响应

一旦检测到碰撞，模拟必须对碰撞做出适当的响应。这通常涉及计算碰撞产生的力和力矩，并将它们施加到所涉及的物体上。碰撞响应应保持动量和能量守恒，并防止物体相互穿透。

1. 基于冲量的碰撞响应

基于冲量的碰撞响应计算碰撞中涉及物体的速度变化。冲量由恢复系数决定，该系数表示碰撞的弹性。恢复系数为 1 表示完全弹性碰撞，没有能量损失。恢复系数为 0 表示完全非弹性碰撞，所有动能都转化为其他形式的能量，如热或变形。冲量施加在接触点上的物体，导致它们的速度发生变化。这是游戏物理引擎中常用的方法。

2. 基于惩罚的碰撞响应

基于惩罚的碰撞响应对碰撞中涉及的物体施加一个与穿透深度成正比的力。这个力将物体推开，防止它们相互穿透。力的大小由一个刚度参数决定，该参数表示物体对变形的抵抗力。基于惩罚的碰撞响应实现简单，但如果刚度参数过高或时间步长过大，可能会导致不稳定。

3. 基于约束的碰撞响应

基于约束的碰撞响应将碰撞表述为一组必须满足的约束。这些约束通常规定物体不能相互穿透，并且它们在接触点的相对速度必须满足某些条件。这些约束使用数值优化技术来求解，例如拉格朗日乘数法或投影高斯-赛德尔法。基于约束的碰撞响应比基于冲量或基于惩罚的方法实现起来更复杂，但它可以提供更准确和更稳定的结果。

碰撞检测的优化技术

碰撞检测的计算成本可能很高，尤其是在具有大量物体或复杂几何形状的模拟中。可以使用几种优化技术来提高碰撞检测算法的性能。

1. 包围体层次结构 (BVH) 缓存

每一帧都重建 BVH 的计算成本可能很高。如果模拟中的物体没有显著移动或变形，那么 BVH 可以被缓存并在多个帧中重复使用。这可以显著降低碰撞检测的计算成本。当物体确实移动时，只需更新 BVH 的受影响部分。

2. SIMD (单指令多数据流)

SIMD 指令允许使用单个指令同时处理多个数据元素。SIMD 可用于加速碰撞检测算法，通过并行处理多对物体或多边形的多个顶点。现代 CPU 和 GPU 提供了可用于显著提高碰撞检测性能的 SIMD 指令。

3. 并行化

碰撞检测可以通过将模拟空间划分为多个区域，并将每个区域分配给不同的处理器核心来实现并行化。然后，每个核心可以在其区域内的物体上独立执行碰撞检测。并行化可以显著减少总计算时间，特别是对于具有大量物体的模拟。这种方法利用了现代计算机中常见的多核处理器。

4. 细节层次 (LOD)

细节层次（LOD）技术涉及根据物体与观察者的距离或其在模拟中的重要性，使用不同细节级别的几何表示。距离观察者较远的物体可以使用更简单的几何形状表示，从而降低碰撞检测的计算成本。同样，不太重要的物体也可以使用更简单的几何形状表示。这在视频游戏中很常用，其中远处的物体的多边形数量会显著减少。

5. 剔除技术

剔除技术用于消除不可见或不可能碰撞的物体。例如，可以从碰撞检测过程中剔除位于摄像机后面的物体。同样，距离感兴趣区域很远的物体也可以被剔除。剔除技术可以显著减少需要考虑进行碰撞检测的物体数量。

碰撞检测的实际应用

碰撞检测被广泛应用于各种领域，包括：

视频游戏：碰撞检测对于创建逼真和互动的游戏环境至关重要。它允许角色与环境互动、与障碍物碰撞以及相互战斗。
计算机动画：碰撞检测用于模拟动画电影和电视节目中物体的运动和互动。它使动画师能够创造出逼真可信的动画。例如，模拟披在角色身上的衣物需要精确的碰撞检测。
机器人学：碰撞检测对于确保机器人及其周围环境的安全至关重要。它使机器人能够避免与障碍物和人类发生碰撞，从而在复杂的环境中安全运行。例如，在自动化仓库中，机器人严重依赖碰撞检测来避免损坏库存。
虚拟现实 (VR) 和增强现实 (AR)：碰撞检测使用户能够以逼真的方式与虚拟物体互动。它允许用户伸出手触摸虚拟物体、操纵它们并体验物理存在感。
科学建模：碰撞检测用于在科学模拟中模拟粒子和分子的行为。它使科学家能够研究材料的特性和不同物质之间的相互作用。例如，模拟流体的行为或化学反应中原子的碰撞都依赖于碰撞检测算法。
自动驾驶：碰撞检测是自动驾驶系统的关键组成部分。它使车辆能够检测障碍物并避免与其他车辆、行人和骑自行车的人发生碰撞。
医疗模拟：外科医生在模拟中使用碰撞检测来练习复杂的手术和规划手术。

碰撞检测面临的挑战

尽管碰撞检测算法和技术取得了进步，但仍然存在一些挑战：

计算成本：碰撞检测的计算成本可能很高，特别是对于具有大量物体或复杂几何形状的模拟。优化碰撞检测算法和技术是一个持续的挑战。
准确性：在碰撞检测中实现高准确性对于模拟逼真的互动至关重要。然而，实现高准确性可能会带来高昂的计算成本。
可变形物体：对可变形物体的碰撞检测尤其具有挑战性，因为物体的形状在不断变化。
处理复杂几何体：对于具有复杂几何形状的物体（如树木或植物）的碰撞检测，计算成本可能很高。
实时性能：在碰撞检测中实现实时性能对于视频游戏和 VR 等交互式应用至关重要。
数值稳定性：确保碰撞检测中的数值稳定性对于防止模拟变得不稳定或出现异常行为至关重要。

结论

碰撞检测是物理模拟的一个基本方面，应用范围广泛。理解碰撞检测背后的核心概念、算法和优化技术对于创建逼真和互动的虚拟环境至关重要。尽管挑战依然存在，但持续的研究和开发将不断提高碰撞检测算法的性能、准确性和稳健性，从而在各个领域催生出新的、令人兴奋的应用。

从视频游戏的动态世界到科学模拟的精确计算，碰撞检测在将虚拟环境变为现实方面发挥着至关重要的作用。通过不断改进和优化这些技术，我们可以在未来解锁更高水平的真实感和交互性。