碰撞检测：几何交集算法综合指南

碰撞检测是计算机图形学、游戏开发、机器人技术和各种仿真应用中的一个基本问题。它涉及确定虚拟环境中的物体何时相互交叉或碰撞。这个看似简单的问题带来了巨大的计算挑战，特别是当环境复杂性和对象数量增加时。本指南全面概述了几何交集算法，探讨了各种技术、其应用以及高效实现的考虑因素，旨在服务于全球的开发者和爱好者。

为什么碰撞检测很重要？

碰撞检测对于创建逼真和交互式的模拟和游戏至关重要。没有它，物体将相互穿透，使虚拟世界变得不真实。以下是一些关键应用：

• 游戏开发：检测角色、投射物和环境之间的碰撞。想象一个子弹穿墙而过的第一人称射击游戏——那将是无法玩的。
• 机器人技术：确保机器人避开障碍物并安全地与周围环境互动。这对于自动化制造和配送服务等应用至关重要。
• 计算机辅助设计 (CAD)：通过识别组件之间的干涉来验证设计的完整性。例如，在设计汽车时，碰撞检测可以验证发动机是否适合发动机舱。
• 科学模拟：模拟粒子相互作用，例如在分子动力学模拟中。精确的碰撞检测对于模拟结果至关重要。
• 虚拟现实 (VR) 和增强现实 (AR)：创建沉浸式体验，让用户能够真实地与虚拟对象交互。

选择哪种碰撞检测算法通常取决于具体应用、性能要求、对象的复杂性以及所需的准确性水平。计算成本和碰撞检测精度之间常常存在权衡。

基本几何图元和概念

在深入研究具体算法之前，了解碰撞检测中常用的基本几何图元至关重要：

• 点：空间中的一个位置，在2D中通常用坐标 (x, y) 表示，在3D中用 (x, y, z) 表示。
• 线段：连接两个点（端点）的直线。
• 三角形：具有三个顶点的多边形。
• 多边形：由一系列连接的线段（边）定义的闭合形状。
• 球体：由中心点和半径定义的三维物体。
• AABB（轴对齐包围盒）：一个与坐标轴对齐的矩形盒子，由最小和最大 x、y 以及（可选）z 值定义。
• OBB（有向包围盒）：一个可以任意角度定向的矩形盒子，由中心、一组轴以及沿这些轴的范围定义。
• 射线：从一个点（原点）开始并沿给定方向无限延伸的线。

2D 碰撞检测算法

2D 碰撞检测比 3D 碰撞检测简单，但它构成了理解更复杂技术的基础。以下是一些常见的 2D 算法：

1. 点在多边形内

确定给定点是否位于多边形内部或外部。存在几种方法：

• 射线投射算法：从点发射一条射线（沿一个方向无限延伸的线）。计算射线与多边形边的交点次数。如果次数为奇数，则点在内部；如果为偶数，则点在外部。该算法相对容易实现。
• 缠绕数算法：计算点相对于多边形的缠绕数。缠绕数表示多边形围绕该点缠绕的次数。如果缠绕数非零，则点在内部。这种方法通常对于具有自相交的复杂多边形更稳健。

示例（射线投射）：想象一张城市地图。一个 GPS 坐标（一个点）将与代表建筑物的多边形进行检查。射线投射算法可以确定给定点是否在建筑物内部。

2. 线段交集

确定两条线段是否相交。最常见的方法包括：

• 参数方程：使用参数方程表示每条线段：P = P1 + t(P2 - P1)，其中 P1 和 P2 是端点，t 是范围从 0 到 1 的参数。通过解两个方程组（每条线段一个）来找到交点，从而求得参数 t。如果两个 t 值都在 [0, 1] 范围内，则线段相交。
• 叉积法：利用叉积来确定一条线段的端点相对于另一条线段的相对位置。如果叉积的符号不同，则线段相交。此方法避免了除法，并且可能更高效。

示例：考虑一个游戏中的碰撞检测场景，其中子弹（线段）被发射，并且必须与墙壁（表示为线段）进行检查。该算法识别子弹是否击中墙壁。

3. 包围盒碰撞检测

一种快速高效的预检，涉及测试对象的包围盒是否相交。如果包围盒不碰撞，则无需执行更复杂的碰撞检查。

• AABB vs. AABB：如果两个 AABB 沿每个轴（x 和 y）的区间重叠，则它们相交。

示例：想象一个有许多移动物体的游戏。首先执行简单的 AABB 碰撞检查。如果 AABB 相交，则运行更详细的碰撞检查，否则，可以节省处理时间。

3D 碰撞检测算法

由于增加了维度，3D 碰撞检测引入了更多的复杂性。以下是一些重要的 3D 算法：

1. 球体 vs. 球体

最简单的 3D 碰撞检测。如果两个球体中心之间的距离小于它们半径之和，则它们发生碰撞。距离公式为：距离 = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)。

示例：在 3D 环境中模拟台球的碰撞。

2. 球体 vs. AABB

测试球体和轴对齐包围盒是否相交。该算法通常涉及检查球体中心是否在 AABB 内部，或者球体中心与 AABB 上最近点之间的距离是否小于球体半径。

示例：在游戏中高效检查角色（由球体表示）是否与建筑物（由 AABB 表示）发生碰撞。

3. 球体 vs. 三角形

确定球体是否与三角形相交。一种方法包括：

• 投影球体中心：将球体中心投影到由三角形定义的平面上。
• 检查是否在内部：使用重心坐标等技术确定投影点是否在三角形内部。
• 距离检查：如果投影点在内部，并且球体中心与平面之间的距离小于半径，则发生碰撞。如果投影点在外部，则测试到每个顶点和边的距离。

示例：在 3D 游戏环境中检测虚拟球体与地形之间的碰撞，其中地形通常由三角形表示。

4. 三角形 vs. 三角形

这是一个更复杂的问题。采用了几种方法：

• 分离轴定理 (SAT)：检查三角形是否沿一组轴中的任何一个分离。如果分离，则不碰撞。如果未分离，则发生碰撞。要测试的轴包括三角形的法线以及三角形边的叉积。
• 基于平面的交集测试：检查一个三角形的顶点是否位于由另一个三角形定义的平面的两侧。对两个三角形都执行此操作。如果存在交集，则需要进一步的测试（平面内的边-边交集）。

示例：确定由三角形表示的复杂网格对象之间的碰撞。

5. AABB vs. AABB

与 2D 类似，但增加了 z 轴。如果两个 AABB 沿 x、y 和 z 轴的区间重叠，则它们相交。这通常用作更精确碰撞检测的粗略阶段。

示例：在 3D 场景中高效管理静态对象之间的碰撞检测。

6. OBB vs. OBB

这涉及使用分离轴定理 (SAT)。要测试的轴是每个 OBB 面部的法线以及两个 OBB 边缘的叉积。OBB 通常比 AABB 更准确，但计算成本更高。

示例：检测与坐标轴不对齐的复杂移动对象之间的碰撞。

7. 射线投射

从起始点（原点）沿特定方向发射一条射线，用于确定它是否与场景中的对象相交。这广泛用于选择、拾取和阴影计算。对于碰撞检测：

• 射线-球体交集：使用二次公式求解。
• 射线-三角形交集：通常利用 Möller–Trumbore 算法，该算法高效地计算交点和三角形内的重心坐标。

示例：在 3D 游戏或模拟中确定用户用鼠标指向哪个对象（选择）。另一个用例是在第一人称射击游戏中模拟武器的投射物。

优化技术

高效的碰撞检测至关重要，尤其是在实时应用中。以下是一些优化策略：

1. 边界体积层次结构 (BVH)

BVH 是一种树状结构，根据对象的边界体积分层组织对象。这通过仅在层次结构的每个级别测试具有重叠边界体积的对象，从而大大减少了所需的碰撞检查次数。BVH 中流行的边界体积包括 AABB 和 OBB。

示例：考虑一个拥有数千个对象的游戏。BVH 可以通过仅检查近距离对象之间的碰撞来快速缩小搜索空间，从而减少计算负担。

2. 空间划分

将场景划分为区域或单元格。这使得能够快速确定哪些对象彼此靠近，从而减少碰撞检查。常见技术包括：

• 均匀网格：将空间划分为规则网格。实现简单，但如果对象分布不均匀，效率可能会降低。
• 四叉树 (2D) 和八叉树 (3D)：递归细分空间的层次结构。比均匀网格更具适应性，但构建可能更复杂。适用于动态场景。
• BSP 树（二叉空间划分）：用平面分割空间。常用于渲染和碰撞检测，但构建和维护成本可能很高。

示例：实时策略游戏使用四叉树来高效检测大型地图中单位之间的碰撞。

3. 粗略阶段和精确阶段

大多数碰撞检测系统采用两阶段方法：

• 粗略阶段：使用简单快速的碰撞检测算法，例如 AABB vs. AABB，以快速识别潜在碰撞。目标是尽可能多地消除非碰撞对。
• 精确阶段：对粗略阶段中识别出的对象执行更精确、计算成本更高的碰撞检查（例如，三角形 vs. 三角形）。

示例：在游戏中，粗略阶段使用 AABB 测试，快速筛选出不靠近的对象。精确阶段则对潜在碰撞对象采用更详细的测试（例如检查单个三角形）。

4. 缓存和预计算

如果可能，缓存不经常变化的计算结果。预计算静态对象数据，例如法线，并使用查找表来存储常用值。

示例：在处理静态对象时，一次性计算三角形的法线并存储它们，可以避免每帧重复计算法线的需要。

5. 提前退出技术

设计算法使其能够快速判断是否没有碰撞，以避免浪费计算。这可能涉及首先测试最简单的碰撞条件，如果没有碰撞则快速退出。

示例：在球体-三角形交集测试期间，检查球体中心与三角形平面之间的距离可以快速确定是否存在潜在碰撞。

实际考虑因素

1. 浮点精度

浮点运算会引入舍入误差，这可能导致问题，尤其是在对象彼此靠近时。这可能导致漏检碰撞或产生小间隙。考虑以下几点：

• 容差值：引入小的容差值以补偿不准确性。
• 双精度：如果性能影响可接受，则对关键计算使用双精度浮点数（例如 C++ 中的 \`double\`）。
• 数值稳定性：选择具有良好数值稳定特性的数值方法和算法。

2. 对象表示和数据结构

您如何表示对象以及存储它们的数据对碰撞检测性能有显著影响。考虑：

• 网格复杂性：简化复杂网格以减少三角形数量，同时仍保持合理的视觉保真度。网格简化算法等工具可以提供帮助。
• 数据结构：根据编程语言功能和性能考虑，使用高效的数据结构，例如数组或专门的几何数据结构（例如，用于存储三角形数据）。
• 对象层次结构：如果一个对象由许多较小的部分组成，请考虑创建层次结构以简化碰撞检测。

3. 性能分析和调优

性能分析器可识别碰撞检测代码中的性能瓶颈。使用性能分析工具识别哪些算法消耗最多的处理时间。通过考虑替代方法、改进其实现和/或微调参数来优化这些算法，并再次使用性能分析工具评估结果。

示例：游戏开发者可能会分析碰撞检测代码，并发现三角形-三角形交集消耗了大量的 CPU 时间。然后他们可以考虑使用更高效的算法或减少场景中对象的面数。

4. 物理引擎和库

许多游戏引擎和库提供了预构建的碰撞检测和物理系统。这些系统通常提供优化的算法并处理各种复杂性，例如刚体动力学和约束求解。流行的选择包括：

• PhysX (Nvidia)：一款强大且广泛使用的物理引擎。
• Bullet Physics Library：一个开源物理库。
• Unity 和 Unreal Engine：内置碰撞检测功能的物理引擎的游戏引擎。
• Box2D：一款常用于手机游戏的 2D 物理引擎。

使用这些引擎可以大大简化游戏和模拟中碰撞检测和物理的实现，特别是对于复杂场景。

选择正确的算法

选择最佳碰撞检测算法取决于几个因素：

• 对象复杂性：所涉及对象的几何复杂性。简单形状（球体、盒子）比复杂网格更容易处理。
• 性能要求：实时应用程序需要高度优化的算法。
• 场景动态性：对象移动和改变位置的频率。动态场景需要更复杂的数据结构和算法。
• 内存限制：有限的内存会影响数据结构的选择和算法的复杂性。
• 精度需求：所需的精确程度。有些应用程序可能需要非常精确的碰撞检测，而另一些则可以容忍近似。

示例：如果您正在构建一个带有圆形和矩形的简单 2D 游戏，您可以使用 AABB 和圆形交集测试，它们效率很高。对于具有可变形网格的复杂 3D 游戏，您可能会使用 BVH 和像 PhysX 这样的强大物理引擎的组合。

结论

碰撞检测是许多交互式应用程序的关键组成部分。通过理解基本的几何图元、各种碰撞检测算法和优化技术，您可以构建健壮高效的系统。正确的算法取决于您项目的具体需求。通过分析这些方法，您可以创建模拟真实世界的交互式应用程序。

随着技术的发展，新的算法和优化技术不断涌现。开发者和爱好者应不断更新知识，以保持在这个迷人而重要领域的领先地位。这些原则的应用在全球范围内随处可见。通过不断实践，您将能够掌握碰撞检测的复杂性。