Đại số tuyến tính: Không gian vectơ và các phép biến đổi - Một góc nhìn toàn cầu

Đại số tuyến tính là một nhánh cơ bản của toán học, cung cấp các công cụ và kỹ thuật cần thiết để hiểu và giải quyết các vấn đề trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm vật lý, kỹ thuật, khoa học máy tính, kinh tế học và thống kê. Bài viết này trình bày một cái nhìn tổng quan toàn diện về hai khái niệm cốt lõi trong đại số tuyến tính: không gian vectơ và các phép biến đổi tuyến tính, nhấn mạnh tính phù hợp toàn cầu và các ứng dụng đa dạng của chúng.

Không gian vectơ là gì?

Về cốt lõi, một không gian vectơ (còn gọi là không gian tuyến tính) là một tập hợp các đối tượng, được gọi là vectơ, có thể được cộng lại với nhau và nhân ("nhân vô hướng") với các số, được gọi là vô hướng. Các phép toán này phải thỏa mãn các tiên đề cụ thể để đảm bảo cấu trúc hoạt động một cách dự đoán được.

Các tiên đề của một không gian vectơ

Cho V là một tập hợp với hai phép toán được định nghĩa: phép cộng vectơ (u + v) và phép nhân vô hướng (cu), trong đó u và v là các vectơ trong V, và c là một vô hướng. V là một không gian vectơ nếu các tiên đề sau được thỏa mãn:

• Đóng đối với phép cộng: Với mọi u, v trong V, u + v cũng nằm trong V.
• Đóng đối với phép nhân vô hướng: Với mọi u trong V và mọi vô hướng c, cu cũng nằm trong V.
• Tính giao hoán của phép cộng: Với mọi u, v trong V, u + v = v + u.
• Tính kết hợp của phép cộng: Với mọi u, v, w trong V, (u + v) + w = u + (v + w).
• Tồn tại phần tử đơn vị của phép cộng: Tồn tại một vectơ 0 trong V sao cho với mọi u trong V, u + 0 = u.
• Tồn tại phần tử nghịch đảo của phép cộng: Với mỗi u trong V, tồn tại một vectơ -u trong V sao cho u + (-u) = 0.
• Tính phân phối của phép nhân vô hướng đối với phép cộng vectơ: Với mọi vô hướng c và mọi u, v trong V, c(u + v) = cu + cv.
• Tính phân phối của phép nhân vô hướng đối với phép cộng vô hướng: Với mọi vô hướng c, d và mọi u trong V, (c + d)u = cu + du.
• Tính kết hợp của phép nhân vô hướng: Với mọi vô hướng c, d và mọi u trong V, c(du) = (cd)u.
• Tồn tại phần tử đơn vị của phép nhân: Với mọi u trong V, 1u = u.

Ví dụ về không gian vectơ

Dưới đây là một số ví dụ phổ biến về không gian vectơ:

• Rⁿ: Tập hợp tất cả các bộ n-phần tử số thực, với phép cộng từng thành phần và phép nhân vô hướng. Ví dụ, R² là mặt phẳng Descartes quen thuộc, và R³ biểu thị không gian ba chiều. Cái này được sử dụng rộng rãi trong vật lý để mô hình hóa vị trí và vận tốc.
• Cⁿ: Tập hợp tất cả các bộ n-phần tử số phức, với phép cộng từng thành phần và phép nhân vô hướng. Được sử dụng rộng rãi trong cơ học lượng tử.
• M_m,n(R): Tập hợp tất cả các ma trận m x n với các phần tử thực, với phép cộng ma trận và phép nhân vô hướng. Ma trận là nền tảng để biểu diễn các phép biến đổi tuyến tính.
• P_n(R): Tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực có bậc tối đa là n, với phép cộng đa thức và phép nhân vô hướng. Hữu ích trong lý thuyết xấp xỉ và phân tích số.
• F(S, R): Tập hợp tất cả các hàm số từ tập S đến tập số thực, với phép cộng từng điểm và phép nhân vô hướng. Được sử dụng trong xử lý tín hiệu và phân tích dữ liệu.

Không gian con

Một không gian con của một không gian vectơ V là một tập hợp con của V mà bản thân nó cũng là một không gian vectơ dưới các phép toán cộng và nhân vô hướng được định nghĩa trên V. Để kiểm tra xem một tập hợp con W của V có phải là một không gian con hay không, chỉ cần chứng minh rằng:

• W là không rỗng (thường được thực hiện bằng cách chỉ ra rằng vectơ không nằm trong W).
• W đóng đối với phép cộng: nếu u và v nằm trong W, thì u + v cũng nằm trong W.
• W đóng đối với phép nhân vô hướng: nếu u nằm trong W và c là một vô hướng, thì cu cũng nằm trong W.

Độc lập tuyến tính, cơ sở và chiều

Một tập hợp các vectơ {v₁, v₂, ..., v_n} trong một không gian vectơ V được gọi là độc lập tuyến tính nếu nghiệm duy nhất của phương trình c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_nv_n = 0 là c₁ = c₂ = ... = c_n = 0. Ngược lại, tập hợp này là phụ thuộc tuyến tính.

Một cơ sở cho một không gian vectơ V là một tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính mà sinh ra V (nghĩa là, mọi vectơ trong V có thể được viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở). Chiều của một không gian vectơ V là số lượng vectơ trong bất kỳ cơ sở nào của V. Đây là một thuộc tính cơ bản của không gian vectơ.

Ví dụ: Trong R³, cơ sở chính tắc là {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Chiều của R³ là 3.

Các phép biến đổi tuyến tính

Một phép biến đổi tuyến tính (hoặc ánh xạ tuyến tính) là một hàm T: V → W giữa hai không gian vectơ V và W mà bảo toàn các phép toán cộng vectơ và nhân vô hướng. Một cách hình thức, T phải thỏa mãn hai tính chất sau:

• T(u + v) = T(u) + T(v) với mọi u, v trong V.
• T(cu) = cT(u) với mọi u trong V và mọi vô hướng c.

Ví dụ về các phép biến đổi tuyến tính

• Phép biến đổi không: T(v) = 0 với mọi v trong V.
• Phép biến đổi đồng nhất: T(v) = v với mọi v trong V.
• Phép biến đổi tỉ lệ: T(v) = cv với mọi v trong V, trong đó c là một vô hướng.
• Phép quay trong R²: Một phép quay với góc θ quanh gốc tọa độ là một phép biến đổi tuyến tính.
• Phép chiếu: Chiếu một vectơ trong R³ lên mặt phẳng xy là một phép biến đổi tuyến tính.
• Phép đạo hàm (trong không gian các hàm khả vi): Đạo hàm là một phép biến đổi tuyến tính.
• Phép tích phân (trong không gian các hàm khả tích): Tích phân là một phép biến đổi tuyến tính.

Hạt nhân và Ảnh

Hạt nhân (hay không gian không) của một phép biến đổi tuyến tính T: V → W là tập hợp tất cả các vectơ trong V được ánh xạ tới vectơ không trong W. Một cách hình thức, ker(T) = {v trong V | T(v) = 0}. Hạt nhân là một không gian con của V.

Ảnh (hay tập ảnh) của một phép biến đổi tuyến tính T: V → W là tập hợp tất cả các vectơ trong W là ảnh của một vectơ nào đó trong V. Một cách hình thức, range(T) = {w trong W | w = T(v) với một số v trong V}. Ảnh là một không gian con của W.

Định lý hạng-hạt nhân phát biểu rằng đối với một phép biến đổi tuyến tính T: V → W, dim(V) = dim(ker(T)) + dim(range(T)). Định lý này cung cấp một mối quan hệ cơ bản giữa các chiều của hạt nhân và ảnh của một phép biến đổi tuyến tính.

Biểu diễn ma trận của các phép biến đổi tuyến tính

Với một phép biến đổi tuyến tính T: V → W và các cơ sở cho V và W, chúng ta có thể biểu diễn T dưới dạng một ma trận. Điều này cho phép chúng ta thực hiện các phép biến đổi tuyến tính bằng phép nhân ma trận, vốn hiệu quả về mặt tính toán. Điều này rất quan trọng đối với các ứng dụng thực tế.

Ví dụ: Xét phép biến đổi tuyến tính T: R² → R² được định nghĩa bởi T(x, y) = (2x + y, x - 3y). Biểu diễn ma trận của T đối với cơ sở chính tắc là:

Khóa học trực tuyến: MIT OpenCourseWare (khóa học Đại số tuyến tính của Gilbert Strang), Khan Academy (Đại số tuyến tính)

Phần mềm: MATLAB, Python (thư viện NumPy, SciPy)