Matematik Moliya: Opsionlar Narxini Baholash Modellariga oid To'liq Qo'llanma

Matematik moliya moliyaviy muammolarni hal qilish uchun matematik va statistik usullarni qo'llaydi. Ushbu sohaning markaziy yo'nalishlaridan biri opsionlar narxini baholash bo'lib, u opsion shartnomalarining adolatli qiymatini aniqlashga qaratilgan. Opsionlar egasiga belgilangan sanada yoki undan oldin (amal qilish muddati tugaydigan sana) oldindan belgilangan narxda (straik narxi) asosiy aktivni sotib olish yoki sotish *huquqini* beradi, lekin majburiyatini yuklamaydi. Ushbu qo'llanma opsionlar narxini baholash uchun asosiy tushunchalar va keng qo'llaniladigan modellarni o'rganadi.

Opsionlarni tushunish: Global nuqtai nazar

Opsion shartnomalari butun dunyo bo'ylab uyushgan birjalarda va birjadan tashqari (OTC) bozorlarda sotiladi. Ularning ko'p qirraliligi ularni butun dunyodagi investorlar va muassasalar uchun risklarni boshqarish, spekulyatsiya va portfelni optimallashtirish uchun muhim vositalarga aylantiradi. Opsionlarning nozik jihatlarini tushunish asosiy matematik tamoyillarni puxta egallashni talab qiladi.

Opsion Turlari

• Koll opsioni (Call Option): Egasiga asosiy aktivni *sotib olish* huquqini beradi.
• Put opsioni (Put Option): Egasiga asosiy aktivni *sotish* huquqini beradi.

Opsion Uslublari

• Yevropa opsioni: Faqat amal qilish muddati tugaydigan sanada ijro etilishi mumkin.
• Amerika opsioni: Amal qilish muddati tugaydigan sanagacha va shu sanada istalgan vaqtda ijro etilishi mumkin.
• Osiyo opsioni: To'lov ma'lum bir davr mobaynida asosiy aktivning o'rtacha narxiga bog'liq.

Blek-Shoulz Modeli: Opsionlar Narxini Baholashning Tamal Toshi

Fisher Blek va Mayron Shoulz tomonidan ishlab chiqilgan (Robert Mertonning salmoqli hissasi bilan) Blek-Shoulz modeli opsionlar narxini baholash nazariyasining tamal toshidir. U Yevropa uslubidagi opsionlar narxining nazariy bahosini taqdim etadi. Ushbu model moliyada inqilob qildi va Shoulz va Mertonga 1997 yilda Iqtisodiyot bo'yicha Nobel mukofotini olib keldi. Modelning taxminlari va cheklovlarini to'g'ri qo'llash uchun tushunish juda muhimdir.

Blek-Shoulz Modelining Taxminlari

Blek-Shoulz modeli bir nechta asosiy taxminlarga tayanadi:

• Doimiy o'zgaruvchanlik: Asosiy aktivning o'zgaruvchanligi opsionning amal qilish muddati davomida doimiy bo'ladi. Haqiqiy bozorlarda bu ko'pincha bunday emas.
• Doimiy risksiz stavka: Risksiz foiz stavkasi doimiy. Amalda foiz stavkalari o'zgarib turadi.
• Dividendlarning yo'qligi: Asosiy aktiv opsionning amal qilish muddati davomida dividend to'lamaydi. Ushbu taxmin dividend to'laydigan aktivlar uchun moslashtirilishi mumkin.
• Samarali bozor: Bozor samarali, ya'ni ma'lumotlar narxlarda darhol aks etadi.
• Log-normal taqsimot: Asosiy aktivning daromadliligi log-normal taqsimotga ega.
• Yevropa uslubi: Opsion faqat amal qilish muddati tugaganda ijro etilishi mumkin.
• Ishqalanishsiz bozor: Tranzaksiya xarajatlari yoki soliqlar yo'q.

Blek-Shoulz Formulasi

Koll va put opsionlari uchun Blek-Shoulz formulalari quyidagicha:

Koll Opsioni Narxi (C):

C = S * N(d1) - K * e^(-rT) * N(d2)

Put Opsioni Narxi (P):

P = K * e^(-rT) * N(-d2) - S * N(-d1)

Bunda:

• S = Asosiy aktivning joriy narxi
• K = Opsionning straik narxi
• r = Risksiz foiz stavkasi
• T = Amal qilish muddatigacha bo'lgan vaqt (yillarda)
• N(x) = Kümülatif standart normal taqsimot funksiyasi
• e = Tabiiy logarifm asosi (taxminan 2.71828)
• d1 = [ln(S/K) + (r + (σ^2)/2) * T] / (σ * sqrt(T))
• d2 = d1 - σ * sqrt(T)
• σ = Asosiy aktivning o'zgaruvchanligi

Amaliy Misol: Blek-Shoulz Modelini Qo'llash

Frankfurt fond birjasida (DAX) sotiladigan aksiya uchun Yevropa koll opsionini ko'rib chiqaylik. Aytaylik, aksiyaning joriy narxi (S) €150, straik narxi (K) €160, risksiz foiz stavkasi (r) 2% (0.02), amal qilish muddatigacha bo'lgan vaqt (T) 0.5 yil va o'zgaruvchanlik (σ) 25% (0.25). Blek-Shoulz formulasidan foydalanib, biz koll opsionining nazariy narxini hisoblashimiz mumkin.

1. d1 ni hisoblang: d1 = [ln(150/160) + (0.02 + (0.25^2)/2) * 0.5] / (0.25 * sqrt(0.5)) ≈ -0.055
2. d2 ni hisoblang: d2 = -0.055 - 0.25 * sqrt(0.5) ≈ -0.232
3. Standart normal taqsimot jadvali yoki kalkulyator yordamida N(d1) va N(d2) ni toping: N(-0.055) ≈ 0.478, N(-0.232) ≈ 0.408
4. Koll opsioni narxini hisoblang: C = 150 * 0.478 - 160 * e^(-0.02 * 0.5) * 0.408 ≈ €10.08

Demak, Yevropa koll opsionining nazariy narxi taxminan €10.08 ni tashkil etadi.

Cheklovlar va Qiyinchiliklar

Keng qo'llanilishiga qaramay, Blek-Shoulz modelining cheklovlari mavjud. Doimiy o'zgaruvchanlik taxmini ko'pincha real bozorlarda buziladi, bu esa model narxi va bozor narxi o'rtasidagi nomuvofiqliklarga olib keladi. Shuningdek, model to'siqli opsionlar (barrier options) yoki Osiyo opsionlari kabi murakkab xususiyatlarga ega bo'lgan opsionlar narxini aniq baholashda qiynaladi.

Blek-Shoulzdan Tashqari: Ilg'or Opsionlar Narxini Baholash Modellari

Blek-Shoulz modelining cheklovlarini yengish uchun turli ilg'or modellar ishlab chiqilgan. Ushbu modellar bozor harakati haqida realroq taxminlarni o'z ichiga oladi va kengroq turdagi opsionlarni baholay oladi.

Stoxastik O'zgaruvchanlik Modellari

Stoxastik o'zgaruvchanlik modellari o'zgaruvchanlikning doimiy emasligini, aksincha vaqt o'tishi bilan tasodifiy o'zgarishini tan oladi. Ushbu modellar o'zgaruvchanlik evolyutsiyasini tavsiflash uchun stoxastik jarayonni o'z ichiga oladi. Bunga Heston modeli va SABR modeli misol bo'la oladi. Bu modellar odatda bozor ma'lumotlariga, ayniqsa uzoq muddatli opsionlar uchun yaxshiroq mos keladi.

Sakrash-Diffuziya Modellari

Sakrash-diffuziya modellari aktiv narxlarida kutilmagan, uzluksiz sakrashlar ehtimolini hisobga oladi. Bu sakrashlar kutilmagan yangiliklar yoki bozor shoklari tufayli yuzaga kelishi mumkin. Mertonning sakrash-diffuziya modeli klassik misoldir. Ushbu modellar, xususan, tovarlar yoki texnologiya kabi o'zgaruvchan sohalardagi aksiyalar kabi keskin narx tebranishlariga moyil bo'lgan aktivlarga opsionlar narxini belgilash uchun foydalidir.

Binomial Daraxt Modeli

Binomial daraxt modeli - bu diskret vaqtli model bo'lib, u binomial daraxt yordamida asosiy aktiv narxining harakatini taxmin qiladi. Bu Amerika uslubidagi opsionlarni va yo'lga bog'liq to'lovlarga ega bo'lgan opsionlarni baholay oladigan ko'p qirrali modeldir. Koks-Ross-Rubinshteyn (CRR) modeli mashhur misoldir. Uning moslashuvchanligi uni opsionlar narxini belgilash tushunchalarini o'rgatish va yopiq shakldagi yechim mavjud bo'lmagan opsionlar narxini belgilash uchun foydali qiladi.

Chekli Ayirmalar Usullari

Chekli ayirmalar usullari xususiy hosilali differensial tenglamalarni (PDE) yechish uchun sonli usullardir. Bu usullar Blek-Shoulz PDE ni yechish orqali opsionlar narxini belgilash uchun ishlatilishi mumkin. Ular, ayniqsa, murakkab xususiyatlarga yoki chegara shartlariga ega bo'lgan opsionlar narxini belgilash uchun foydalidir. Ushbu yondashuv vaqt va aktiv narxi domenlarini diskretlashtirish orqali opsion narxlarining sonli taxminlarini beradi.

Kutilayotgan O'zgaruvchanlik: Bozor Kutishlarini Baholash

Kutilayotgan o'zgaruvchanlik - bu opsionning bozor narxidan kelib chiqadigan o'zgaruvchanlikdir. Bu Blek-Shoulz modeliga kiritilganda, opsionning kuzatilgan bozor narxini beradigan o'zgaruvchanlik qiymatidir. Kutilayotgan o'zgaruvchanlik kelajakdagi narx o'zgaruvchanligi bo'yicha bozor kutishlarini aks ettiruvchi istiqbolli ko'rsatkichdir. U ko'pincha yillik foiz sifatida keltiriladi.

O'zgaruvchanlik "Tabassumi"/Qiyshayishi

Amalda, kutilayotgan o'zgaruvchanlik ko'pincha bir xil amal qilish muddatiga ega bo'lgan opsionlar uchun turli straik narxlarida farqlanadi. Bu hodisa o'zgaruvchanlik "tabassumi" (aksiyalarga opsionlar uchun) yoki o'zgaruvchanlik qiyshayishi (valyutalarga opsionlar uchun) deb nomlanadi. O'zgaruvchanlik "tabassumi"/qiyshayishining shakli bozor kayfiyati va riskdan qochish haqida tushuncha beradi. Masalan, keskinroq qiyshayish pasayishdan himoyalanishga bo'lgan talabning ortganini ko'rsatishi mumkin, bu esa investorlarning potentsial bozor qulashlaridan ko'proq xavotirda ekanligini anglatadi.

Kutilayotgan O'zgaruvchanlikdan Foydalanish

Kutilayotgan o'zgaruvchanlik opsion treyderlari va risk menejerlari uchun muhim ma'lumotdir. U ularga quyidagilarda yordam beradi:

• Opsionlarning nisbiy qiymatini baholash.
• Potentsial savdo imkoniyatlarini aniqlash.
• O'zgaruvchanlik riskini xedjlash orqali riskni boshqarish.
• Bozor kayfiyatini baholash.

Ekzotik Opsionlar: Maxsus Ehtiyojlarga Moslashtirish

Ekzotik opsionlar - bu standart Yevropa yoki Amerika opsionlariga qaraganda murakkabroq xususiyatlarga ega bo'lgan opsionlardir. Bu opsionlar ko'pincha institutsional investorlar yoki korporatsiyalarning maxsus ehtiyojlarini qondirish uchun moslashtiriladi. Misollar orasida to'siqli opsionlar, Osiyo opsionlari, orqaga nazar tashlash opsionlari (lookback options) va kliket opsionlari (cliquet options) mavjud. Ularning to'lovlari asosiy aktivning yo'li, maxsus hodisalar yoki bir nechta aktivlarning samaradorligi kabi omillarga bog'liq bo'lishi mumkin.

To'siqli Opsionlar

To'siqli opsionlarning to'lovi opsionning amal qilish muddati davomida asosiy aktiv narxining oldindan belgilangan to'siq darajasiga yetib borishiga bog'liq. Agar to'siq buzilsa, opsion paydo bo'lishi (knock-in) yoki o'z kuchini yo'qotishi (knock-out) mumkin. Bu opsionlar ko'pincha maxsus risklarni xedjlash yoki aktiv narxining ma'lum bir darajaga yetish ehtimoli bo'yicha spekulyatsiya qilish uchun ishlatiladi. Ular odatda standart opsionlardan arzonroq bo'ladi.

Osiyo Opsionlari

Osiyo opsionlarining (shuningdek, o'rtacha narx opsionlari deb ham ataladi) to'lovi ma'lum bir davr mobaynida asosiy aktivning o'rtacha narxiga bog'liq. Bu arifmetik yoki geometrik o'rtacha bo'lishi mumkin. Osiyo opsionlari ko'pincha narx o'zgaruvchanligi sezilarli bo'lishi mumkin bo'lgan tovarlar yoki valyutalarga nisbatan risklarni xedjlash uchun ishlatiladi. Ular odatda standart opsionlardan arzonroq bo'ladi, chunki o'rtachalash effekti o'zgaruvchanlikni kamaytiradi.

Orqaga Nazar Tashlash Opsionlari

Orqaga nazar tashlash opsionlari egasiga opsionning amal qilish muddati davomida kuzatilgan eng qulay narxda asosiy aktivni sotib olish yoki sotish imkonini beradi. Agar aktiv narxi ijobiy harakat qilsa, ular sezilarli foyda olish imkoniyatini taqdim etadi, lekin ular yuqori mukofot evaziga sotiladi.

Opsionlar Yordamida Riskni Boshqarish

Opsionlar riskni boshqarish uchun kuchli vositalardir. Ular narx riski, o'zgaruvchanlik riski va foiz stavkasi riski kabi turli xil risklarni xedjlash uchun ishlatilishi mumkin. Umumiy xedjlash strategiyalari qoplangan koll (covered calls), himoya putlari (protective puts) va streddllarni (straddles) o'z ichiga oladi. Ushbu strategiyalar investorlarga o'z portfellarini noqulay bozor harakatlaridan himoya qilish yoki ma'lum bozor sharoitlaridan foyda olish imkonini beradi.

Delta Xedjlash

Delta xedjlash portfeldagi opsionlarning deltasini qoplash uchun asosiy aktivdagi portfel pozitsiyasini o'zgartirishni o'z ichiga oladi. Opsionning deltasi opsion narxining asosiy aktiv narxidagi o'zgarishlarga sezgirligini o'lchaydi. Xedjni dinamik ravishda o'zgartirib, treyderlar narx riskiga duchor bo'lishlarini minimallashtirishlari mumkin. Bu market-meykerlar tomonidan keng qo'llaniladigan usuldir.

Gamma Xedjlash

Gamma xedjlash portfelning gammasini qoplash uchun portfelning opsionlardagi pozitsiyasini o'zgartirishni o'z ichiga oladi. Opsionning gammasi opsion deltasining asosiy aktiv narxidagi o'zgarishlarga sezgirligini o'lchaydi. Gamma xedjlash katta narx harakatlari bilan bog'liq riskni boshqarish uchun ishlatiladi.

Vega Xedjlash

Vega xedjlash portfelning vegasini qoplash uchun portfelning opsionlardagi pozitsiyasini o'zgartirishni o'z ichiga oladi. Opsionning vegasi opsion narxining asosiy aktiv o'zgaruvchanligidagi o'zgarishlarga sezgirligini o'lchaydi. Vega xedjlash bozor o'zgaruvchanligidagi o'zgarishlar bilan bog'liq riskni boshqarish uchun ishlatiladi.

Kalibrlash va Validatsiyaning Ahamiyati

Aniq opsion narxini baholash modellari faqat to'g'ri kalibrlangan va tasdiqlangan bo'lsa samarali bo'ladi. Kalibrlash model parametrlarini kuzatilgan bozor narxlariga moslashtirishni o'z ichiga oladi. Validatsiya modelning aniqligi va ishonchliligini baholash uchun uning tarixiy ma'lumotlardagi samaradorligini sinab ko'rishni o'z ichiga oladi. Bu jarayonlar modelning oqilona va ishonchli natijalar berishini ta'minlash uchun zarurdir. Tarixiy ma'lumotlardan foydalangan holda bektesting qilish modeldagi potentsial noxolisliklar yoki zaifliklarni aniqlash uchun juda muhimdir.

Opsionlar Narxini Baholashning Kelajagi

Opsionlar narxini baholash sohasi rivojlanishda davom etmoqda. Tadqiqotchilar tobora murakkablashib borayotgan va o'zgaruvchan bozorlarda opsionlar narxini belgilash muammolarini hal qilish uchun doimiy ravishda yangi modellar va usullarni ishlab chiqmoqdalar. Faol tadqiqot yo'nalishlari quyidagilarni o'z ichiga oladi:

• Mashinaviy ta'lim: Opsionlar narxini baholash modellarining aniqligi va samaradorligini oshirish uchun mashinaviy ta'lim algoritmlaridan foydalanish.
• Chuqur o'rganish: Bozor ma'lumotlaridagi murakkab naqshlarni aniqlash va o'zgaruvchanlikni bashorat qilishni yaxshilash uchun chuqur o'rganish usullarini o'rganish.
• Yuqori chastotali ma'lumotlar tahlili: Opsionlar narxini baholash modellarini va risklarni boshqarish strategiyalarini takomillashtirish uchun yuqori chastotali ma'lumotlardan foydalanish.
• Kvant hisoblashlari: Murakkab opsionlar narxini belgilash muammolarini hal qilish uchun kvant hisoblashlarining potentsialini o'rganish.

Xulosa

Opsionlar narxini baholash matematik moliyaning murakkab va jozibali sohasidir. Ushbu qo'llanmada muhokama qilingan asosiy tushunchalar va modellarni tushunish opsionlar savdosi, risklarni boshqarish yoki moliyaviy muhandislik bilan shug'ullanadigan har bir kishi uchun zarurdir. Asosiy Blek-Shoulz modelidan tortib, ilg'or stoxastik o'zgaruvchanlik va sakrash-diffuziya modellarigacha, har bir yondashuv opsion bozorlarining xatti-harakatlari haqida noyob tushunchalarni taqdim etadi. Sohadagi so'nggi o'zgarishlardan xabardor bo'lib, mutaxassislar global moliyaviy landshaftda yanada ongli qarorlar qabul qilishlari va risklarni yanada samarali boshqarishlari mumkin.