Теселяція: дослідження математики повторюваних візерунків

Теселяція, також відома як замощення або мозаїка, — це покриття поверхні однією або кількома геометричними фігурами, які називаються плитками, без накладань і проміжків. У математиці це захоплива галузь, що поєднує геометрію, мистецтво і навіть фізику. Ця стаття пропонує всебічне дослідження теселяцій, охоплюючи їхні математичні основи, історичний контекст, художнє застосування та приклади з реального світу.

Що таке теселяція?

По суті, теселяція — це візерунок, утворений повторенням фігури або набору фігур для покриття площини. Ключовими характеристиками є:

• Без проміжків: Плитки повинні ідеально прилягати одна до одної, не залишаючи порожніх місць між ними.
• Без накладань: Плитки не можуть накладатися одна на одну.
• Повне покриття: Плитки повинні покривати всю поверхню.

Теселяції можна класифікувати за типами фігур, що використовуються, та способом їхнього розташування. Прості теселяції включають одну фігуру, тоді як складні використовують кілька фігур.

Типи теселяцій

Теселяції можна умовно поділити на такі категорії:

Правильні теселяції

Правильна теселяція складається лише з одного типу правильних многокутників (многокутника з усіма рівними сторонами та кутами). Існує лише три правильних многокутники, якими можна замостити площину:

• Рівносторонні трикутники: Вони утворюють дуже поширену і стабільну теселяцію. Уявіть трикутні опорні конструкції в мостах або розташування атомів у деяких кристалічних ґратках.
• Квадрати: Можливо, найпоширеніша теселяція, яку можна побачити на підлоговій плитці, міліметровому папері та в міських кварталах по всьому світу. Ідеально ортогональна природа квадратів робить їх ідеальними для практичного застосування.
• Правильні шестикутники: Шестикутники, що зустрічаються у бджолиних стільниках і деяких молекулярних структурах, забезпечують ефективне використання простору та структурну цілісність. Їхня шестикратна симетрія пропонує унікальні властивості.

Ці три є єдиними можливими правильними теселяціями, оскільки внутрішній кут многокутника має бути дільником 360 градусів, щоб вони сходилися у вершині. Наприклад, рівносторонній трикутник має кути 60 градусів, і шість трикутників можуть зійтися в одній точці (6 * 60 = 360). Квадрат має кути 90 градусів, і чотири можуть зійтися в точці. Шестикутник має кути 120 градусів, і три можуть зійтися в точці. Правильний п'ятикутник, з кутами 108 градусів, не може утворити теселяцію, оскільки 360 не ділиться на 108 без остачі.

Напівправильні теселяції

Напівправильні теселяції (також звані архімедовими теселяціями) використовують два або більше різних правильних многокутників. Розташування многокутників у кожній вершині має бути однаковим. Існує вісім можливих напівправильних теселяцій:

• Трикутник-квадрат-квадрат (3.4.4.6)
• Трикутник-квадрат-шестикутник (3.6.3.6)
• Трикутник-трикутник-квадрат-квадрат (3.3.4.3.4)
• Трикутник-трикутник-трикутник-квадрат (3.3.3.4.4)
• Трикутник-трикутник-трикутник-трикутник-шестикутник (3.3.3.3.6)
• Квадрат-квадрат-квадрат (4.8.8)
• Трикутник-дванадцятикутник-дванадцятикутник (4.6.12)
• Трикутник-квадрат-дванадцятикутник (3.12.12)

Позначення в дужках представляє порядок многокутників навколо вершини за годинниковою або проти годинникової стрілки.

Неправильні теселяції

Неправильні теселяції утворюються неправильними многокутниками (многокутниками, у яких сторони та кути не є рівними). Будь-який трикутник або чотирикутник (опуклий чи увігнутий) може замостити площину. Ця гнучкість дозволяє створювати широкий спектр художніх та практичних застосувань.

Аперіодичні теселяції

Аперіодичні теселяції — це замощення, що використовують певний набір плиток, якими можна замостити площину лише неперіодично. Це означає, що візерунок ніколи не повторюється точно. Найвідомішим прикладом є мозаїка Пенроуза, відкрита Роджером Пенроузом у 1970-х роках. Мозаїки Пенроуза є аперіодичними і використовують два різні ромби. Ці мозаїки мають цікаві математичні властивості і були знайдені в несподіваних місцях, наприклад, у візерунках деяких стародавніх ісламських будівель.

Математичні принципи теселяцій

Розуміння математики, що лежить в основі теселяцій, включає поняття з геометрії, такі як кути, многокутники та симетрія. Ключовим принципом є те, що сума кутів навколо вершини повинна дорівнювати 360 градусам.

Властивість суми кутів

Як згадувалося раніше, сума кутів у кожній вершині повинна дорівнювати 360 градусам. Цей принцип визначає, які многокутники можуть утворювати теселяції. Правильні многокутники повинні мати внутрішні кути, які є дільниками 360.

Симетрія

Симетрія відіграє вирішальну роль у теселяціях. Існує кілька типів симетрії, які можуть бути присутніми в теселяції:

• Паралельне перенесення: Візерунок можна зсунути (перенести) вздовж лінії, і він виглядатиме так само.
• Поворот: Візерунок можна повернути навколо точки, і він виглядатиме так само.
• Віддзеркалення: Візерунок можна віддзеркалити відносно лінії, і він виглядатиме так само.
• Ковзна симетрія: Комбінація віддзеркалення та паралельного перенесення.

Ці симетрії описуються так званими орнаментальними групами. Існує 17 орнаментальних груп, кожна з яких представляє унікальну комбінацію симетрій, що можуть існувати у двовимірному повторюваному візерунку. Розуміння орнаментальних груп дозволяє математикам і художникам систематично класифікувати та створювати різні типи теселяцій.

Евклідова та неевклідова геометрія

Традиційно теселяції вивчаються в рамках евклідової геометрії, яка має справу з плоскими поверхнями. Однак теселяції можна досліджувати і в неевклідових геометріях, таких як гіперболічна геометрія. У гіперболічній геометрії паралельні лінії розходяться, а сума кутів у трикутнику менша за 180 градусів. Це дозволяє створювати теселяції з многокутників, які були б неможливими в евклідовому просторі. М. К. Ешер знаменито досліджував гіперболічні теселяції у своїх пізніх роботах, спираючись на математичні ідеї Г.С.М. Коксетера.

Історичне та культурне значення

Використання теселяцій сягає давніх цивілізацій і зустрічається в різних формах мистецтва, архітектури та декоративних візерунків по всьому світу.

Давні цивілізації

• Стародавній Рим: Римські мозаїки часто містять складні теселяції з використанням маленьких кольорових плиток (тессер) для створення декоративних візерунків і зображення сцен. Ці мозаїки були знайдені по всій Римській імперії, від Італії до Північної Африки та Британії.
• Стародавня Греція: Грецька архітектура та кераміка часто включають геометричні візерунки та теселяції. Наприклад, меандри — це форма теселяції, яка часто з'являється в грецькому мистецтві.
• Ісламське мистецтво: Ісламське мистецтво славиться своїми складними геометричними візерунками та теселяціями. Використання теселяцій в ісламському мистецтві корениться в релігійних віруваннях, які підкреслюють нескінченність і єдність усього сущого. Мечеті та палаци в ісламському світі демонструють приголомшливі приклади теселяцій з використанням різних геометричних фігур. Палац Альгамбра в Гранаді, Іспанія, є яскравим прикладом, що містить складні мозаїки та плитку з різноманітними тесельованими візерунками.

Сучасні застосування

Теселяції залишаються актуальними і в наш час, знаходячи застосування в різноманітних галузях:

• Архітектура: Тесельовані поверхні використовуються в фасадах будівель, дахах та інтер'єрах для створення візуально привабливих і структурно міцних конструкцій. Прикладом є проєкт «Едем» у Корнуоллі, Великобританія, з його геодезичними куполами, що складаються з шестикутних панелей.
• Комп'ютерна графіка: Теселяція — це техніка, що використовується в комп'ютерній графіці для підвищення деталізації 3D-моделей шляхом поділу полігонів на менші. Це дозволяє отримати більш гладкі поверхні та реалістичніші зображення.
• Дизайн текстилю: Теселяції використовуються в дизайні текстилю для створення повторюваних візерунків на тканинах. Ці візерунки можуть варіюватися від простих геометричних малюнків до складних і витіюватих мотивів.
• Пакування: Теселяції можна використовувати для ефективного пакування продукції, мінімізуючи відходи та максимізуючи використання простору.
• Наука: Теселюючі форми зустрічаються в природі, наприклад, шестикутні комірки бджолиних стільників або луска деяких риб. Розуміння теселяцій може допомогти вченим моделювати та розуміти ці природні явища.

Приклади теселяцій у мистецтві та природі

Теселяції — це не просто математичні поняття; вони також зустрічаються в мистецтві та природі, слугуючи джерелом натхнення та практичних застосувань.

М. К. Ешер

Мауріц Корнеліс Ешер (1898-1972) — нідерландський художник-графік, відомий своїми математично натхненними ксилографіями, літографіями та мецотинтами. Роботи Ешера часто містять теселяції, неможливі конструкції та дослідження нескінченності. Він був зачарований концепцією теселяції та широко використовував її у своєму мистецтві для створення візуально приголомшливих та інтелектуально стимулюючих робіт. Його роботи, такі як «Рептилії», «Небо і вода» та «Межа кола III», є відомими прикладами теселяцій, що трансформуються в різні форми та досліджують межі сприйняття. Його творчість подолала розрив між математикою та мистецтвом, зробивши математичні поняття доступними та цікавими для широкої аудиторії.

Бджолині стільники

Бджолині стільники — класичний приклад природної теселяції. Бджоли будують свої стільники з шестикутних комірок, які ідеально підходять одна до одної, створюючи міцну та ефективну структуру. Шестикутна форма максимізує кількість меду, який можна зберігати, мінімізуючи при цьому кількість воску, необхідного для будівництва стільників. Це ефективне використання ресурсів є свідченням еволюційних переваг тесельованих структур.

Плями жирафа

Плями на жирафі, хоча й не є ідеальними теселяціями, демонструють візерунок, що нагадує теселяцію. Неправильні форми плям поєднуються таким чином, що ефективно покривають тіло жирафа. Цей візерунок забезпечує камуфляж, допомагаючи жирафу зливатися з навколишнім середовищем. Хоча плями відрізняються за розміром і формою, їхнє розташування демонструє природний теселяцієподібний візерунок.

Фрактальні теселяції

Фрактальні теселяції поєднують принципи фракталів і теселяцій для створення складних і самоподібних візерунків. Фрактали — це геометричні фігури, які демонструють самоподібність у різних масштабах. Коли фрактали використовуються як плитки в теселяції, отриманий візерунок може бути нескінченно складним і візуально приголомшливим. Такі типи теселяцій можна знайти в математичних візуалізаціях та комп'ютерному мистецтві. Прикладами фрактальних теселяцій є ті, що засновані на трикутнику Серпінського або сніжинці Коха.

Як створити власну теселяцію

Створення теселяцій може бути веселою та освітньою діяльністю. Ось кілька простих технік, які ви можете використовувати для створення власних теселяцій:

Базовий метод перенесення

1. Почніть з квадрата: Візьміть квадратний аркуш паперу або картону.
2. Виріжте та перенесіть: Виріжте фігуру з одного боку квадрата. Потім перенесіть (посуньте) цю фігуру на протилежний бік і прикріпіть її.
3. Повторіть: Повторіть процес для двох інших сторін квадрата.
4. Замостіть: Тепер у вас є плитка, якою можна замостити площину. Обведіть плитку кілька разів на аркуші паперу, щоб створити тесельований візерунок.

Метод обертання

1. Почніть з фігури: Візьміть правильний многокутник, наприклад, квадрат або рівносторонній трикутник.
2. Виріжте та поверніть: Виріжте фігуру з одного боку многокутника. Потім поверніть цю фігуру навколо вершини та прикріпіть до іншої сторони.
3. Повторіть: Повторіть процес за потреби.
4. Замостіть: Обведіть плитку кілька разів, щоб створити тесельований візерунок.

Використання програмного забезпечення

Існують різні програми та онлайн-інструменти, які можуть допомогти вам створювати теселяції. Ці інструменти дозволяють експериментувати з різними формами, кольорами та симетріями для створення складних і візуально привабливих візерунків. Деякі популярні програмні опції включають:

• TesselManiac!
• Adobe Illustrator
• Geogebra

Майбутнє теселяцій

Теселяції продовжують залишатися сферою активних досліджень. Відкриваються нові типи теселяцій, а також знаходяться нові застосування в різних галузях. Деякі потенційні майбутні розробки включають:

• Нові матеріали: Розробка нових матеріалів з унікальними властивостями може призвести до створення нових типів тесельованих структур з підвищеною міцністю, гнучкістю або функціональністю.
• Робототехніка: Тесельовані роботи можуть бути розроблені для адаптації до різних середовищ і виконання різноманітних завдань. Ці роботи можуть складатися з модульних плиток, які можуть перегруповуватися, щоб змінити форму та функцію робота.
• Нанотехнології: Теселяції можуть бути використані в нанотехнологіях для створення самозбірних структур з певними властивостями. Ці структури можуть використовуватися в таких застосуваннях, як доставка ліків, зберігання енергії та сенсорика.

Висновок

Теселяція — це багата й захоплива галузь математики, що поєднує геометрію, мистецтво та науку. Від простих візерунків на підлоговій плитці до складних дизайнів ісламських мозаїк та інноваційного мистецтва М. К. Ешера, теселяції захоплювали та надихали людей протягом століть. Розуміючи математичні принципи, що лежать в основі теселяцій, ми можемо оцінити їхню красу та функціональність і дослідити їхні потенційні застосування в різних галузях. Незалежно від того, чи ви математик, художник, чи просто цікавитеся світом навколо, теселяції пропонують унікальну та корисну тему для дослідження.

Тож наступного разу, коли ви побачите повторюваний візерунок, знайдіть хвилинку, щоб оцінити математичну елегантність та культурне значення теселяцій!