Теорія чисел: Розкриття простих чисел та їхня роль у сучасній криптографії

Теорія чисел, яку часто називають "королевою математики", є розділом чистої математики, присвяченим переважно вивченню цілих чисел та їхніх властивостей. Хоча це може здатися абстрактним, теорія чисел лежить в основі багатьох реальних застосувань, особливо в галузі криптографії. Ця стаття досліджує фундаментальні поняття теорії чисел, зокрема прості числа, та ілюструє їхню вирішальну роль у захисті нашого цифрового світу.

Що таке теорія чисел?

Теорія чисел охоплює широкий спектр тем, зокрема:

• Подільність та прості числа
• Конгруенції та модульна арифметика
• Діофантові рівняння
• Алгебраїчна теорія чисел
• Аналітична теорія чисел

По суті, теорія чисел досліджує властивості та зв'язки цілих чисел. Її елегантні доведення та несподівані зв'язки з іншими галузями математики та комп'ютерних наук роблять її захопливим предметом.

Прості числа: Будівельні блоки цілих чисел

Просте число — це натуральне число, більше за 1, яке не має додатних дільників, крім 1 і самого себе. Прикладами простих чисел є 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 і так далі. Числа, які не є простими, називаються складеними.

Прості числа є фундаментальними, оскільки вони є будівельними блоками всіх інших цілих чисел. Основна теорема арифметики стверджує, що кожне ціле число, більше за 1, може бути унікально представлене у вигляді добутку простих чисел, з точністю до порядку множників. Наприклад:

12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3

30 = 2 × 3 × 5

100 = 2 × 2 × 5 × 5 = 2² × 5²

Ця унікальна факторизація на прості множники є основою, на якій побудовано багато криптографічних алгоритмів.

Пошук простих чисел

Виявлення простих чисел захоплювало математиків протягом століть. Існує кілька методів для пошуку простих чисел, зокрема:

• Пробне ділення: Розділіть число n на всі цілі числа від 2 до √n. Якщо жодне з них не ділить n націло, то n є простим. Цей метод простий, але неефективний для великих чисел.
• Решето Ератосфена: Ефективний алгоритм для знаходження всіх простих чисел до заданого цілого числа. Він працює шляхом ітеративного викреслювання кратних кожному простому числу, починаючи з першого простого числа, 2.
• Тести на простоту: Більш складні алгоритми, такі як тест на простоту Міллера-Рабіна (ймовірнісний тест) та тест на простоту AKS (детермінований тест), використовуються для визначення, чи є дуже великі числа простими.

Розподіл простих чисел

Прості числа не розподілені рівномірно серед цілих чисел. Зі збільшенням чисел щільність простих чисел зменшується. Теорема про розподіл простих чисел дає асимптотичну оцінку кількості простих чисел, менших або рівних заданому числу x, що позначається як π(x):

π(x) ≈ x / ln(x)

Ця теорема дає уявлення про довгострокову поведінку розподілу простих чисел.

Криптографія: Захист інформації за допомогою простих чисел

Криптографія — це практика та вивчення технік безпечної комунікації в присутності супротивників. Сучасна криптографія значною мірою покладається на математичні концепції, і прості числа відіграють центральну роль у багатьох алгоритмах шифрування.

Безпека багатьох криптографічних систем ґрунтується на обчислювальній складності певних теоретико-числових задач, зокрема задачі факторизації простих чисел та задачі дискретного логарифмування. Ці задачі вважаються “складними”, оскільки невідомі ефективні (поліноміальні за часом) алгоритми для їх розв'язання на класичних комп'ютерах.

RSA: наріжний камінь криптографії з відкритим ключем

Алгоритм RSA (Рівест-Шамір-Адлеман) є однією з найпоширеніших криптосистем з відкритим ключем. Його безпека залежить від складності розкладання великих складених чисел на їхні прості множники.

Ось спрощений огляд того, як працює RSA:

1. Генерація ключів:
   • Виберіть два різні великі прості числа p та q.
   • Обчисліть n = p × q. Це модуль.
   • Обчисліть φ(n) = (p - 1) × (q - 1), де φ — функція Ейлера.
   • Виберіть ціле число e таке, що 1 < e < φ(n) і НСД(e, φ(n)) = 1 (e і φ(n) є взаємно простими). e — це відкрита експонента.
   • Обчисліть d, модульне мультиплікативне обернене до e за модулем φ(n). Тобто, d × e ≡ 1 (mod φ(n)). d — це закрита експонента.
   • Відкритий ключ — це (n, e).
   • Закритий ключ — це (n, d).
2. Шифрування:
   • Щоб зашифрувати повідомлення m (представлене як ціле число), обчисліть c = m^e mod n, де c — це шифротекст.
3. Дешифрування:
   • Щоб розшифрувати шифротекст c, обчисліть m = c^d mod n.

Безпека RSA залежить від того, що обчислювально складно розкласти велике число n на його прості множники p та q, особливо коли p та q достатньо великі (сотні або тисячі цифр). Якщо зловмисник зможе розкласти n на множники, він зможе легко обчислити φ(n), а потім визначити закритий ключ d.

Приклад: Припустимо, ми обрали p = 61 та q = 53.

• n = 61 * 53 = 3233
• φ(n) = (61-1) * (53-1) = 60 * 52 = 3120
• Оберемо e = 17 (взаємно просте з 3120).
• Нам потрібно знайти d таке, що (17 * d) mod 3120 = 1. Використовуючи розширений алгоритм Евкліда, знаходимо d = 2753.
• Відкритий ключ: (3233, 17)
• Закритий ключ: (3233, 2753)

Якщо ми хочемо зашифрувати повідомлення m = 123, то:

c = 123¹⁷ mod 3233 = 855

Щоб розшифрувати:

m = 855²⁷⁵³ mod 3233 = 123

Цей приклад використовує малі числа для ілюстрації. Реальні реалізації RSA використовують значно більші прості числа для забезпечення безпеки.

Обмін ключами Діффі-Геллмана

Обмін ключами Діффі-Геллмана — це криптографічний протокол, який дозволяє двом сторонам встановити спільний секретний ключ через незахищений канал. Цей спільний секрет потім можна використовувати для шифрування подальших комунікацій за допомогою алгоритму симетричного ключа.

Безпека протоколу Діффі-Геллмана покладається на складність задачі дискретного логарифмування, яка пов'язана з простими числами та модульною арифметикою.

Ось спрощене пояснення:

1. Аліса та Боб домовляються про велике просте число p та основу g (де g є первісним коренем за модулем p). p та g є відкритими.
2. Аліса обирає секретне ціле число a та обчислює A = g^a mod p. Аліса надсилає A Бобу.
3. Боб обирає секретне ціле число b та обчислює B = g^b mod p. Боб надсилає B Алісі.
4. Аліса обчислює спільний секретний ключ s = B^a mod p.
5. Боб обчислює спільний секретний ключ s = A^b mod p.

І Аліса, і Боб отримують однаковий спільний секретний ключ s, ніколи не обмінюючись безпосередньо своїми секретними цілими числами a та b. Підслуховувач, який знає p, g, A, та B, повинен був би розв'язати задачу дискретного логарифмування, щоб обчислити a або b, і таким чином визначити спільний секретний ключ s.

Приклад: Скажімо, p = 23 і g = 5.

• Аліса обирає a = 6. A = 5⁶ mod 23 = 8
• Боб обирає b = 15. B = 5¹⁵ mod 23 = 19
• Аліса надсилає 8 Бобу, а Боб надсилає 19 Алісі.
• Аліса обчислює s = 19⁶ mod 23 = 2
• Боб обчислює s = 8¹⁵ mod 23 = 2

Спільний секрет — 2. Знову ж таки, реальні реалізації використовують набагато більші прості числа.

Еліптична криптографія (ECC)

Еліптична криптографія (ECC) — це криптосистема з відкритим ключем, заснована на алгебраїчній структурі еліптичних кривих над скінченними полями. ECC пропонує безпеку, порівнянну з RSA, з меншими розмірами ключів, що робить її придатною для середовищ з обмеженими ресурсами, таких як мобільні пристрої та вбудовані системи. ECC також покладається на теорію чисел та складність задачі дискретного логарифмування на еліптичній кривій.

В ECC, замість модульного піднесення до степеня, криптографічні операції базуються на арифметиці еліптичних кривих (додавання точок та множення на скаляр). Безпека ECC покладається на те, що обчислювально складно розв'язати задачу дискретного логарифмування на еліптичній кривій, що полягає у знаходженні скалярного множника, який пов'язує дві точки на еліптичній кривій.

ECC широко використовується в різноманітних застосуваннях, зокрема:

• Цифрові підписи (наприклад, ECDSA)
• Обмін ключами (наприклад, ECDH)
• Шифрування

Майбутнє криптографії та простих чисел

Триваючий розвиток квантових комп'ютерів становить значну загрозу для багатьох сучасних криптографічних алгоритмів. Алгоритм Шора, квантовий алгоритм, може ефективно розкладати великі числа на множники та розв'язувати задачу дискретного логарифмування, що фактично ламає RSA, Діффі-Геллмана та ECC.

У відповідь на цю загрозу дослідники активно розробляють постквантову криптографію (PQC), яка включає криптографічні алгоритми, що вважаються стійкими до атак як з боку класичних, так і квантових комп'ютерів. Багато алгоритмів PQC базуються на інших математичних задачах, ніж ті, що використовуються в RSA та ECC, таких як криптографія на основі ґраток, криптографія на основі кодів, багатовимірна криптографія та криптографія на основі геш-функцій.

Навіть в епоху квантових обчислень теорія чисел, і зокрема прості числа, ймовірно, продовжуватимуть відігравати роль у криптографії. Наприклад, прості числа можуть використовуватися при побудові ґраток для криптографії на основі ґраток, або при розробці геш-функцій для криптографії на основі гешу.

Застосування в реальному світі

Обговорювані принципи застосовуються в усьому світі. Ось кілька різноманітних прикладів:

• Безпечні онлайн-транзакції: Коли ви робите покупку в Інтернеті за допомогою кредитної картки, транзакція зазвичай захищається за допомогою HTTPS, який покладається на протоколи TLS/SSL. Ці протоколи часто використовують RSA або ECC для встановлення безпечного з'єднання між вашим браузером та веб-сервером, захищаючи вашу конфіденційну інформацію від підслуховування.
• Цифрові підписи: Цифрові підписи використовуються для перевірки автентичності та цілісності цифрових документів. Алгоритми, такі як RSA та ECDSA (Elliptic Curve Digital Signature Algorithm), використовують прості числа та модульну арифметику для створення цифрових підписів, які важко підробити. Це використовується для юридично зобов'язуючих контрактів у таких країнах, як Сінгапур, та для верифікації електронних документів у Європейському Союзі.
• Застосунки для безпечного спілкування: Багато месенджерів, таких як Signal та WhatsApp, використовують наскрізне шифрування для захисту конфіденційності ваших розмов. Ці застосунки часто використовують обмін ключами Діффі-Геллмана або ECC для встановлення безпечних каналів зв'язку.
• Криптовалюти: Криптовалюти, такі як Bitcoin, використовують еліптичну криптографію (зокрема, ECDSA з кривою secp256k1) для захисту транзакцій та контролю власності над цифровими активами. Глобальна доступність та децентралізація Bitcoin є прикладом широкого застосування цих принципів.
• VPN (віртуальні приватні мережі): VPN використовують криптографічні протоколи для створення безпечних тунелів між вашим пристроєм та віддаленим сервером, захищаючи ваш інтернет-трафік від перехоплення. VPN зазвичай використовують такі алгоритми, як AES (Advanced Encryption Standard) для симетричного шифрування та RSA або ECC для обміну ключами. VPN є вирішальними для безпечного доступу до Інтернету в країнах з жорсткою цензурою.
• Secure Shell (SSH): SSH — це криптографічний мережевий протокол, який дозволяє безпечно отримувати доступ до віддалених серверів та керувати ними. SSH використовує алгоритми, такі як RSA та ECC, для автентифікації та обміну ключами.

Висновок

Теорія чисел, з її фокусом на простих числах, є не просто абстрактною математичною дисципліною; це фундаментальний стовп сучасної криптографії. Від захисту онлайн-транзакцій до захисту конфіденційних комунікацій, прості числа відіграють вирішальну роль у забезпеченні конфіденційності, цілісності та автентичності нашого цифрового світу. Оскільки технології продовжують розвиватися, взаємодія між теорією чисел та криптографією залишатиметься важливою для захисту інформації та підтримки довіри у все більш взаємопов'язаному суспільстві. Поточні дослідження та розробки в галузі постквантової криптографії демонструють прагнення забезпечити наше цифрове майбутнє перед обличчям нових загроз.

Додаткові матеріали для вивчення

• Книги:
  • "Вступ до теорії чисел" Г. Г. Гарді та Е. М. Райта
  • "Елементарна теорія чисел" Девіда М. Бертона
  • "Теорія та практика криптографії" Дугласа Стінсона та Мори Патерсон
• Онлайн-курси:
  • Coursera: Криптографія I та II, Ден Боне (Стенфордський університет)
  • edX: Вступ до криптографії, Крістоф Паар (Рурський університет Бохума)
• Веб-сайти:
  • Вікіпедія: Теорія чисел, Просте число, Криптографія, RSA
  • Академія Хана: Теорія чисел