Лінійна алгебра: векторні простори та перетворення - глобальний погляд

Лінійна алгебра є фундаментальною галуззю математики, яка надає інструменти та методи, необхідні для розуміння та вирішення проблем у широкому спектрі дисциплін, включаючи фізику, інженерію, комп'ютерні науки, економіку та статистику. Ця стаття пропонує всебічний огляд двох основних концепцій лінійної алгебри: векторних просторів та лінійних перетворень, підкреслюючи їх глобальну актуальність та різноманітні застосування.

Що таке векторні простори?

В основі векторний простір (також називається лінійним простором) є набором об’єктів, які називаються векторами, які можна додавати та множити («масштабувати») на числа, які називаються скалярами. Ці операції повинні задовольняти певним аксіомам, щоб забезпечити передбачувану поведінку структури.

Аксіоми векторного простору

Нехай V буде множиною з двома визначеними операціями: додавання векторів (u + v) і скалярне множення (cu), де u і v – вектори у V, а c – скаляр. V є векторним простором, якщо виконуються наступні аксіоми:

• Замкненість відносно додавання: Для всіх u, v у V, u + v знаходиться у V.
• Замкненість відносно скалярного множення: Для всіх u у V і всіх скалярів c, cu знаходиться у V.
• Комутативність додавання: Для всіх u, v у V, u + v = v + u.
• Асоціативність додавання: Для всіх u, v, w у V, (u + v) + w = u + (v + w).
• Існування адитивного ідентифікатора: Існує вектор 0 у V, такий, що для всіх u у V, u + 0 = u.
• Існування адитивного оберненого: Для кожного u у V існує вектор -u у V, такий, що u + (-u) = 0.
• Дистрибутивність скалярного множення відносно додавання векторів: Для всіх скалярів c і всіх u, v у V, c(u + v) = cu + cv.
• Дистрибутивність скалярного множення відносно додавання скалярів: Для всіх скалярів c, d і всіх u у V, (c + d)u = cu + du.
• Асоціативність скалярного множення: Для всіх скалярів c, d і всіх u у V, c(du) = (cd)u.
• Існування мультиплікативного ідентифікатора: Для всіх u у V, 1u = u.

Приклади векторних просторів

Ось кілька поширених прикладів векторних просторів:

• Rⁿ: Множина всіх n-кортежів дійсних чисел з покомпонентним додаванням і скалярним множенням. Наприклад, R² — це звична декартова площина, а R³ представляє тривимірний простір. Це широко використовується у фізиці для моделювання положень і швидкостей.
• Cⁿ: Множина всіх n-кортежів комплексних чисел з покомпонентним додаванням і скалярним множенням. Широко використовується в квантовій механіці.
• M_m,n(R): Множина всіх m x n матриць з дійсними елементами з додаванням матриць і скалярним множенням. Матриці є основою для представлення лінійних перетворень.
• P_n(R): Множина всіх поліномів з дійсними коефіцієнтами степеня не більше n з додаванням поліномів і скалярним множенням. Корисно в теорії наближення та чисельному аналізі.
• F(S, R): Множина всіх функцій з множини S до дійсних чисел з поточковим додаванням і скалярним множенням. Використовується в обробці сигналів і аналізі даних.

Підпростори

Підпростір векторного простору V — це підмножина V, яка сама по собі є векторним простором за тими самими операціями додавання та скалярного множення, визначеними на V. Щоб переконатися, що підмножина W з V є підпростором, достатньо показати, що:

• W не порожній (часто робиться, показуючи, що нульовий вектор знаходиться у W).
• W замкнутий відносно додавання: якщо u і v знаходяться у W, то u + v знаходиться у W.
• W замкнутий відносно скалярного множення: якщо u знаходиться у W, а c — скаляр, то cu знаходиться у W.

Лінійна незалежність, базис і розмірність

Набір векторів {v₁, v₂, ..., v_n} у векторному просторі V називається лінійно незалежним, якщо єдиним рішенням рівняння c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_nv_n = 0 є c₁ = c₂ = ... = c_n = 0. В іншому випадку набір є лінійно залежним.

Базис для векторного простору V — це лінійно незалежна множина векторів, яка охоплює V (тобто кожен вектор у V можна записати як лінійну комбінацію векторів базису). Розмірність векторного простору V — це кількість векторів у будь-якому базисі для V. Це фундаментальна властивість векторного простору.

Приклад: У R³ стандартний базис — {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Розмірність R³ дорівнює 3.

Лінійні перетворення

Лінійне перетворення (або лінійне відображення) — це функція T: V → W між двома векторними просторами V і W, яка зберігає операції додавання векторів і скалярного множення. Формально, T має задовольняти наступним двом властивостям:

• T(u + v) = T(u) + T(v) для всіх u, v у V.
• T(cu) = cT(u) для всіх u у V і всіх скалярів c.

Приклади лінійних перетворень

• Нульове перетворення: T(v) = 0 для всіх v у V.
• Тотожне перетворення: T(v) = v для всіх v у V.
• Перетворення масштабування: T(v) = cv для всіх v у V, де c – скаляр.
• Поворот у R²: Поворот на кут θ навколо початку координат є лінійним перетворенням.
• Проекція: Проекція вектора в R³ на площину xy є лінійним перетворенням.
• Диференціювання (у просторі диференційованих функцій): Похідна є лінійним перетворенням.
• Інтегрування (у просторі інтегровних функцій): Інтеграл є лінійним перетворенням.

Ядро та образ

Ядро (або нульовий простір) лінійного перетворення T: V → W — це множина всіх векторів у V, які відображаються у нульовий вектор у W. Формально, ker(T) = {v у V | T(v) = 0}. Ядро є підпростором V.

Образ (або простір значень) лінійного перетворення T: V → W — це множина всіх векторів у W, які є образом деякого вектора у V. Формально, range(T) = {w у W | w = T(v) для деякого v у V}. Образ є підпростором W.

Теорема про ранг-дефект стверджує, що для лінійного перетворення T: V → W, dim(V) = dim(ker(T)) + dim(range(T)). Ця теорема дає фундаментальну залежність між розмірностями ядра та образу лінійного перетворення.

Матричне представлення лінійних перетворень

Враховуючи лінійне перетворення T: V → W і базиси для V і W, ми можемо представити T як матрицю. Це дозволяє нам виконувати лінійні перетворення за допомогою множення матриць, що є обчислювально ефективним. Це має вирішальне значення для практичного застосування.

Приклад: Розглянемо лінійне перетворення T: R² → R², визначене як T(x, y) = (2x + y, x - 3y). Матричне представлення T щодо стандартного базису:

Tags: