NumPy Doğrusal Cebir: Matris İşlemleri ve Ayrıştırma

Numerical Python'ın kısaltması olan NumPy, Python'da bilimsel hesaplama için temel bir pakettir. Diziler ve matrislerle çalışmak için güçlü araçlar sağlayarak, dünya çapındaki veri bilimcileri, makine öğrenimi mühendisleri ve araştırmacılar için vazgeçilmez bir kütüphane haline gelmiştir. Bu rehber, uluslararası veri bilimi zorluklarıyla ilgili pratik örneklerle birlikte, NumPy'ın doğrusal cebir yeteneklerine, özellikle matris işlemleri ve ayrıştırma tekniklerine derinlemesine dalar.

Doğrusal Cebir Veri Bilimi İçin Neden Hayati Önem Taşıyor?

Doğrusal cebir, birçok veri bilimi algoritması ve tekniğinin temelini oluşturur. Veri ön işleme ve boyut indirgemeden model eğitimine ve değerlendirmesine kadar, doğrusal cebir kavramlarına sağlam bir hakimiyet vazgeçilmezdir. Özellikle, yaygın olarak şuralarda kullanılır:

• Veri Temsili: Verileri vektörler ve matrisler olarak temsil etmek, verimli depolama ve işleme imkanı sağlar.
• Makine Öğrenimi: Doğrusal regresyon, destek vektör makineleri (SVM'ler) ve temel bileşen analizi (PCA) gibi algoritmalar doğrusal cebire büyük ölçüde güvenir.
• Görüntü İşleme: Görüntüler matrisler olarak temsil edilebilir, bu da çeşitli görüntü işleme ve analiz tekniklerini mümkün kılar.
• Tavsiye Sistemleri: Kişiselleştirilmiş tavsiyeler oluşturmak için matris çarpanlara ayırma teknikleri kullanılır.
• Ağ Analizi: Ağları bitişiklik matrisleri olarak temsil etmek, ağ yapısı ve özelliklerinin analizini sağlar.

NumPy'ın `linalg` Modülü: Doğrusal Cebir Araç Kitabınız

NumPy, doğrusal cebir işlemleri yapmak için geniş bir işlev yelpazesi sunan `linalg` (doğrusal cebirin kısaltması) adlı özel bir modül sağlar. Bu modül, yüksek derecede optimize edilmiş olup verimli sayısal algoritmaları kullanır, bu da onu büyük veri kümelerini işlemek için uygun hale getirir. `linalg` modülüne erişmek için önce NumPy'ı içe aktarmanız gerekir:

            import numpy as np

            

              
                Copy
              
            
          

Temel Matris İşlemleri

NumPy kullanarak bazı temel matris işlemleriyle başlayalım:

Matris Oluşturma

NumPy dizilerini kullanarak matrisler oluşturabilirsiniz. İşte birkaç örnek:

            # Creating a 2x3 matrix
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
print("Matrix A:")
print(A)

# Creating a 3x2 matrix
B = np.array([[7, 8], [9, 10], [11, 12]])
print("\nMatrix B:")
print(B)

            

              
                Copy
              
            
          

Matris Toplama ve Çıkarma

Matris toplama ve çıkarma, eleman bazında yapılan işlemlerdir ve aynı şekle sahip matrisler gerektirir.

            # Matrix addition
C = A + np.array([[1,1,1],[1,1,1]])
print("\nMatrix C (A + [[1,1,1],[1,1,1]]):")
print(C)

# Matrix subtraction
D = A - np.array([[1,1,1],[1,1,1]])
print("\nMatrix D (A - [[1,1,1],[1,1,1]]):")
print(D)


# Example demonstrating shape mismatch (will result in an error)
# A + B # This will throw an error because A and B have different shapes

            

              
                Copy
              
            
          

Matris Çarpımı

Matris çarpımı, toplama veya çıkarmadan daha karmaşık bir işlemdir. İlk matrisin sütun sayısı, ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır. NumPy, matris çarpımı için `np.dot()` işlevini veya `@` operatörünü sağlar.

            # Matrix multiplication using np.dot()
C = np.dot(A, B)
print("\nMatrix C (A * B using np.dot()):")
print(C)

# Matrix multiplication using the @ operator (Python 3.5+)
D = A @ B
print("\nMatrix D (A @ B):")
print(D)

            

              
                Copy
              
            
          

Eleman Bazında Çarpma (Hadamard Çarpımı)

Eleman bazında çarpma yapmak isterseniz, `*` operatörünü doğrudan NumPy dizileri üzerinde kullanabilirsiniz. Matrislerin aynı şekle sahip olması gerektiğini unutmayın.

            # Element-wise multiplication
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])
C = A * B
print("\nElement-wise multiplication (A * B):")
print(C)

            

              
                Copy
              
            
          

Matris Transpozesi

Bir matrisin transpozesi, satırları ve sütunları değiştirilerek elde edilir. `.T` özniteliğini veya `np.transpose()` işlevini kullanabilirsiniz.

            # Matrix transpose
print("\nMatrix A:")
print(A)
print("\nTranspose of A (A.T):")
print(A.T)

print("\nTranspose of A using np.transpose(A):")
print(np.transpose(A))

            

              
                Copy
              
            
          

Matris Tersi

Bir kare matrisin tersi (eğer mevcutsa), orijinal matrisle çarpıldığında birim matrisi veren bir matristir. Tersini hesaplamak için `np.linalg.inv()` işlevini kullanabilirsiniz.

            # Matrix inverse
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

try:
  A_inv = np.linalg.inv(A)
  print("\nInverse of A:")
  print(A_inv)

  # Verify that A * A_inv is approximately the identity matrix
  identity = np.dot(A, A_inv)
  print("\nA * A_inv:")
  print(identity)

except np.linalg.LinAlgError:
  print("\nMatrix A is singular (non-invertible).")


# Example of a singular matrix (non-invertible)
B = np.array([[1, 2], [2, 4]])

try:
  B_inv = np.linalg.inv(B)
  print("\nInverse of B:")
  print(B_inv)

except np.linalg.LinAlgError:
  print("\nMatrix B is singular (non-invertible).")

            

              
                Copy
              
            
          

Bir Matrisin Determinantı

Determinant, bir kare matrisin elemanlarından hesaplanabilen ve matrisin tanımladığı doğrusal dönüşümün belirli özelliklerini kodlayan skaler bir değerdir. Tersine çevrilebilirliği kontrol etmek için kullanışlıdır. `np.linalg.det()` bunu hesaplar.

            A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
determinant = np.linalg.det(A)
print("\nDeterminant of A:", determinant)

            

              
                Copy
              
            
          

Matris Ayrıştırma Teknikleri

Matris ayrıştırma (matris çarpanlara ayırma olarak da bilinir), bir matrisi daha basit matrislerin çarpımına ayırma işlemidir. Bu teknikler, boyut indirgeme, tavsiye sistemleri ve doğrusal sistemleri çözmede yaygın olarak kullanılır.

Tekil Değer Ayrıştırma (SVD)

Tekil Değer Ayrıştırma (SVD), bir matrisi üç matrise ayrıştıran güçlü bir tekniktir: U, S ve V^T. Burada U ve V ortogonal matrisler, S ise tekil değerleri içeren bir köşegen matristir. SVD, herhangi bir matrise (kare olmayan matrisler bile) uygulanabilir.

NumPy, SVD yapmak için `np.linalg.svd()` işlevini sağlar.

            # Singular Value Decomposition
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
U, s, V = np.linalg.svd(A)

print("\nU:")
print(U)
print("\ns:")
print(s)
print("\nV:")
print(V)

#Reconstruct A
S = np.zeros(A.shape)
S[:A.shape[0], :A.shape[0]] = np.diag(s)
B = U.dot(S.dot(V))
print("\nReconstructed A:")
print(B)

            

              
                Copy
              
            
          

SVD Uygulamaları:

• Boyut İndirgeme: Yalnızca en büyük tekil değerleri ve karşılık gelen tekil vektörleri tutarak, en önemli bilgileri korurken verinin boyutluluğunu azaltabilirsiniz. Bu, Temel Bileşen Analizi'nin (PCA) temelidir.
• Görüntü Sıkıştırma: SVD, yalnızca en önemli tekil değerleri ve vektörleri depolayarak görüntüleri sıkıştırmak için kullanılabilir.
• Tavsiye Sistemleri: SVD'ye dayalı matris çarpanlara ayırma teknikleri, kullanıcı tercihlerini tahmin etmek ve kişiselleştirilmiş tavsiyeler oluşturmak için kullanılır.

Örnek: SVD Kullanarak Görüntü Sıkıştırma

Bir matris olarak temsil edilen bir görüntüyü ele alalım. SVD uygulamak ve tekil değerlerin yalnızca bir alt kümesini tutmak, minimum bilgi kaybıyla görüntü sıkıştırma sağlar. Bu teknik, gelişmekte olan ülkelerdeki bant genişliği kısıtlı ağlar üzerinden görüntü aktarımı veya küresel olarak kaynakları sınırlı cihazlarda depolama alanını optimize etmek için özellikle değerlidir.

            # Import necessary libraries (example using matplotlib for image loading)
import matplotlib.pyplot as plt
from PIL import Image  # For reading and manipulating images

# Load an image (replace 'image.jpg' with your image file)
try:
    img = Image.open('image.jpg').convert('L') # Ensure grayscale for simplicity
    img_array = np.array(img)

    # Perform SVD
    U, s, V = np.linalg.svd(img_array)

    # Choose the number of singular values to keep (adjust for desired compression)
    k = 50 # Example: keep the top 50 singular values

    # Reconstruct the image using only the top k singular values
    S = np.zeros(img_array.shape)
    S[:img_array.shape[0], :img_array.shape[0]] = np.diag(s)
    S = S[:, :k]
    V = V[:k, :]
    reconstructed_img = U.dot(S.dot(V))

    # Clip values to the valid range [0, 255] for image display
    reconstructed_img = np.clip(reconstructed_img, 0, 255).astype('uint8')

    # Display the original and reconstructed images
    plt.figure(figsize=(10, 5))

    plt.subplot(1, 2, 1)
    plt.imshow(img_array, cmap='gray')
    plt.title('Original Image')

    plt.subplot(1, 2, 2)
    plt.imshow(reconstructed_img, cmap='gray')
    plt.title(f'Reconstructed Image (k={k})')

    plt.show()

except FileNotFoundError:
    print("Error: image.jpg not found. Please make sure the image file exists in the same directory.")
except Exception as e:
    print(f"An error occurred: {e}")

            

              
                Copy
              
            
          

Önemli: `image.jpg` dosyasını, mevcut dizininizde bulunan geçerli bir görüntü dosyası adıyla değiştirin. Henüz kurulu değilse Pillow'u (`pip install Pillow`) kurmanız gerekebilir. Ayrıca, `matplotlib`'in kurulu olduğundan emin olun (`pip install matplotlib`).

Özdeğer Ayrıştırma

Özdeğer ayrıştırma, bir kare matrisi özvektörlerine ve özdeğerlerine ayırır. Özvektörler, matrisle çarpıldığında yalnızca ölçekte (yönde değil) değişen özel vektörlerdir ve özdeğerler ölçeklendirme faktörünü temsil eder. Bu ayrıştırma yalnızca kare matrisler üzerinde çalışır.

NumPy, özdeğer ayrıştırmasını gerçekleştirmek için `np.linalg.eig()` işlevini sağlar.

            # Eigenvalue Decomposition
A = np.array([[1, 2], [2, 1]])
w, v = np.linalg.eig(A)

print("\nEigenvalues:")
print(w)
print("\nEigenvectors:")
print(v)

# Verify that A * v[:,0] = w[0] * v[:,0]
first_eigenvector = v[:,0]
first_eigenvalue = w[0]

result_left = np.dot(A, first_eigenvector)
result_right = first_eigenvalue * first_eigenvector

print("\nA * eigenvector:")
print(result_left)
print("\neigenvalue * eigenvector:")
print(result_right)

# Demonstrate reconstructing the matrix
Q = v
R = np.diag(w)
B = Q @ R @ np.linalg.inv(Q)

print("\nReconstructed Matrix:")
print(B)

            

              
                Copy
              
            
          

Özdeğer Ayrıştırma Uygulamaları:

• Temel Bileşen Analizi (PCA): PCA, verideki temel bileşenleri (maksimum varyans yönleri) tanımlamak için özdeğer ayrıştırmasını kullanır.
• Titreşim Analizi: Mühendislikte, özdeğer ayrıştırması yapıların doğal frekanslarını ve titreşim modlarını analiz etmek için kullanılır.
• Google'ın PageRank Algoritması: PageRank'in basitleştirilmiş bir versiyonu, web sayfalarının önemini belirlemek için bağlantı matrisinin özdeğerlerini kullanır.

LU Ayrıştırma

LU ayrıştırması, bir kare A matrisini, A = LU olacak şekilde bir alt üçgen matris L ve bir üst üçgen matris U'ya çarpanlara ayırır. Bu ayrıştırma, doğrusal denklem sistemlerini verimli bir şekilde çözmek için sıklıkla kullanılır.

            from scipy.linalg import lu

A = np.array([[2, 5, 8, 7], [5, 2, 2, 8], [7, 5, 6, 6], [5, 4, 4, 8]])
P, L, U = lu(A)

print("\nP (Permutation Matrix):")
print(P)
print("\nL (Lower Triangular Matrix):")
print(L)
print("\nU (Upper Triangular Matrix):")
print(U)

#Verify that P @ A == L @ U
print("\nP @ A:")
print(P @ A)
print("\nL @ U:")
print(L @ U)

            

              
                Copy
              
            
          

LU Ayrıştırma Uygulamaları:

• Doğrusal sistemleri çözme: LU ayrıştırması, bir doğrusal denklem sistemini çözmek için çok verimli bir yoldur, özellikle de aynı matrisle ancak farklı sağ taraf vektörleriyle sistemi birden çok kez çözmeniz gerekiyorsa.
• Determinantları hesaplama: A'nın determinantı, L ve U'nun determinantlarından kolayca hesaplanabilir.

Doğrusal Denklem Sistemlerini Çözme

Doğrusal cebirin en yaygın uygulamalarından biri, doğrusal denklem sistemlerini çözmektir. NumPy, bu amaçla `np.linalg.solve()` işlevini sağlar.

Aşağıdaki denklem sistemini ele alalım:

3x + y = 9
x + 2y = 8

Bu, matris formunda şu şekilde temsil edilebilir:

Ax = b

where:
A = [[3, 1],
     [1, 2]]
x = [[x],
     [y]]
b = [[9],
     [8]]

Bu sistemi `np.linalg.solve()` kullanarak çözebilirsiniz:

            # Solving a system of linear equations
A = np.array([[3, 1], [1, 2]])
b = np.array([9, 8])

x = np.linalg.solve(A, b)
print("\nSolution:")
print(x)

            

              
                Copy
              
            
          

En Küçük Kareler Çözümleri

Bir doğrusal denklem sisteminin kesin bir çözümü olmadığında (örneğin, gürültülü veriler veya aşırı belirlenmiş bir sistem nedeniyle), hatayı en aza indiren bir en küçük kareler çözümü bulabilirsiniz. NumPy, bunun için `np.linalg.lstsq()` işlevini sağlar.

            # Least squares solution
A = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
b = np.array([3, 7, 11])

x, residuals, rank, s = np.linalg.lstsq(A, b, rcond=None)
print("\nLeast Squares Solution:")
print(x)
print("\nResiduals:")
print(residuals)
print("\nRank of A:")
print(rank)
print("\nSingular values of A:")
print(s)

            

              
                Copy
              
            
          

Pratik Örnekler ve Küresel Uygulamalar

Finansal Modelleme

Doğrusal cebir, finansal modellemede portföy optimizasyonu, risk yönetimi ve türev fiyatlandırması için yaygın olarak kullanılır. Örneğin, Markowitz portföy optimizasyonu, belirli bir getiri düzeyi için riski minimize eden optimal varlık tahsisini bulmak için matris işlemlerini kullanır. Küresel yatırım şirketleri, milyarlarca dolarlık varlıklarını yönetmek için bu tekniklere güvenir, farklı ülkelerdeki çeşitli piyasa koşullarına uyum sağlarlar.

İklim Modellemesi

İklim modelleri genellikle büyük kısmi diferansiyel denklem sistemlerini çözmeyi içerir; bunlar doğrusal cebir teknikleri kullanılarak ayrıklaştırılır ve yaklaştırılır. Bu modeller, iklim değişikliği etkilerini tahmin etmek için karmaşık atmosferik ve okyanus süreçlerini simüle eder, ulusal ve uluslararası düzeyde politika kararlarını bilgilendirir. Dünyanın dört bir yanındaki araştırmacılar, iklim değişikliğinin etkilerini anlamak ve azaltmak için bu modelleri kullanır.

Sosyal Ağ Analizi

Sosyal ağlar grafikler olarak temsil edilebilir ve doğrusal cebir, bunların yapısını ve özelliklerini analiz etmek için kullanılabilir. Örneğin, (daha önce bahsedilen) PageRank algoritması, bir ağdaki düğümlerin (örn. web sayfaları veya kullanıcılar) önemini sıralamak için özdeğer ayrıştırmasını kullanır. Sosyal medya şirketleri, kullanıcı davranışını anlamak, etkili kullanıcıları belirlemek ve reklamları etkili bir şekilde hedeflemek için bu analizlerden yararlanır.

Tavsiye Sistemleri (Küresel E-ticaret)

Birden çok ülkede ve dilde faaliyet gösteren küresel e-ticaret platformları, kişiselleştirilmiş tavsiye sistemleri oluşturmak için matris çarpanlara ayırma tekniklerinden yararlanır. Kullanıcı satın alma geçmişini ve ürün derecelendirmelerini analiz ederek, bu sistemler bir kullanıcının hangi ürünlerle ilgilenebileceğini tahmin eder, müşteri memnuniyetini artırır ve satışları yönlendirir. SVD ve benzeri yöntemler, bu sistemlerin çoğunun temelini oluşturur.

En İyi Uygulamalar ve Performans Konuları

• Vektörleştirme: Genel olarak daha yavaş olan açık döngülerden kaçınmak için mümkün olduğunda NumPy'ın vektörleştirilmiş işlemlerini kullanın.
• Veri Türleri: Bellek kullanımını azaltmak ve özellikle büyük veri kümeleri için performansı artırmak amacıyla uygun veri türlerini (örneğin, `float64` yerine `float32`) seçin.
• BLAS/LAPACK Kütüphaneleri: NumPy, verimli sayısal hesaplamalar için optimize edilmiş BLAS (Temel Doğrusal Cebir Alt Programları) ve LAPACK (Doğrusal Cebir Paketi) kütüphanelerine güvenir. İyi optimize edilmiş bir BLAS/LAPACK uygulamasına (örneğin, OpenBLAS, MKL) sahip olduğunuzdan emin olun.
• Bellek Yönetimi: Büyük matrislerle çalışırken bellek kullanımına dikkat edin. Verilerin gereksiz kopyalarını oluşturmaktan kaçının.

Sonuç

NumPy'ın doğrusal cebir yetenekleri, çok çeşitli veri bilimi görevleri için güçlü bir temel sağlar. Matris işlemlerini, ayrıştırma tekniklerini ve verimli kodlama uygulamalarını ustalıkla kullanarak, veri bilimciler karmaşık sorunları çözebilir ve verilerden değerli bilgiler çıkarabilirler. Finans ve iklim modellemesinden sosyal ağ analizine ve küresel e-ticarete kadar, doğrusal cebirin uygulamaları geniştir ve büyümeye devam etmektedir.

Ek Kaynaklar

• NumPy Belgeleri: https://numpy.org/doc/stable/reference/routines.linalg.html
• SciPy Ders Notları: https://scipy-lectures.org/index.html
• Doğrusal Cebir Ders Kitapları: Temel teorinin daha derinlemesine incelenmesi için Gilbert Strang veya David C. Lay gibi yazarların standart doğrusal cebir ders kitaplarına bakın.