ปลดล็อกอาณาเขตความถี่: คู่มือฉบับสมบูรณ์สำหรับการวิเคราะห์ด้วยฟูเรียร์ทรานส์ฟอร์ม

ลองจินตนาการถึงการฟังวงออร์เคสตราซิมโฟนี หูของคุณไม่ได้แค่รับรู้เพียงแค่กำแพงเสียงที่สับสนและปั่นป่วนซึ่งผันผวนตามระดับเสียงเมื่อเวลาผ่านไป แต่คุณสามารถแยกแยะโน้ตเสียงต่ำที่ก้องกังวานของเชลโล โทนเสียงที่คมชัดของไวโอลิน และเสียงแตรที่สดใสได้ โดยพื้นฐานแล้ว คุณกำลังทำการวิเคราะห์ความถี่ตามธรรมชาติ คุณกำลังแยกสัญญาณที่ซับซ้อน นั่นคือเพลงของวงออร์เคสตรา—ออกเป็นส่วนประกอบต่าง ๆ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ช่วยให้นักวิทยาศาสตร์ วิศวกร และนักวิเคราะห์สามารถทำเช่นนี้กับสัญญาณใด ๆ ได้คือ ฟูเรียร์ทรานส์ฟอร์ม

ฟูเรียร์ทรานส์ฟอร์มเป็นหนึ่งในแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่ลึกซึ้งและหลากหลายที่สุดเท่าที่เคยมีการพัฒนามา มันเป็นเลนส์ที่ช่วยให้เรามองโลกไม่ได้เป็นเพียงชุดของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นตามเวลา แต่เป็นส่วนผสมของการสั่นสะเทือนที่บริสุทธิ์และไร้กาลเวลา มันเป็นสะพานเชื่อมระหว่างสองวิธีพื้นฐานในการทำความเข้าใจสัญญาณ: โดเมนเวลาและโดเมนความถี่ บทความบล็อกนี้จะนำพาคุณข้ามสะพานนั้นไป ไขความลับของฟูเรียร์ทรานส์ฟอร์ม และสำรวจพลังอันน่าทึ่งของมันในการแก้ปัญหาในอุตสาหกรรมต่าง ๆ ทั่วโลก

สัญญาณคืออะไร? มุมมองจากโดเมนเวลา

ก่อนที่เราจะเข้าใจโดเมนความถี่ เราต้องทำความเข้าใจคู่ตรงข้ามของมันก่อน: โดเมนเวลา นี่คือวิธีที่เราสัมผัสและบันทึกปรากฏการณ์ส่วนใหญ่ตามธรรมชาติ โดเมนเวลาแสดงถึงสัญญาณเป็นชุดของการวัดที่เก็บรวบรวมในช่วงเวลาหนึ่ง

พิจารณาตัวอย่างเหล่านี้:

• การบันทึกเสียง: ไมโครโฟนจับการเปลี่ยนแปลงความดันอากาศเมื่อเวลาผ่านไป กราฟแสดงสิ่งนี้จะแสดงแอมพลิจูด (เกี่ยวข้องกับความดัง) บนแกน y และเวลาบนแกน x
• แผนภูมิราคาหุ้น: นี่คือกราฟแสดงมูลค่าของหุ้นบนแกน y เทียบกับเวลา (วัน ชั่วโมง นาที) บนแกน x
• คลื่นไฟฟ้าหัวใจ (ECG/EKG): เครื่องมือวินิจฉัยทางการแพทย์นี้บันทึกกิจกรรมทางไฟฟ้าของหัวใจ โดยแสดงความผันผวนของแรงดันไฟฟ้าเมื่อเวลาผ่านไป
• การอ่านค่าคลื่นไหวสะเทือน: เครื่องวัดคลื่นไหวสะเทือนวัดการเคลื่อนที่ของพื้นดินเมื่อเวลาผ่านไประหว่างเกิดแผ่นดินไหว

โดเมนเวลานั้นใช้งานง่ายและจำเป็น มันบอกเราว่า เมื่อไหร่ ที่เกิดอะไรขึ้นและด้วยความเข้มข้นเท่าใด อย่างไรก็ตาม มันมีข้อจำกัดที่สำคัญ การมองรูปคลื่นเสียงที่ซับซ้อนในโดเมนเวลา แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะระบุโน้ตดนตรีแต่ละตัว การมีอยู่ของเสียงฮัมความถี่ต่ำ หรือโครงสร้างฮาร์โมนิกที่ทำให้เครื่องดนตรีมีโทนเสียงที่เป็นเอกลักษณ์ คุณเห็นผลลัพธ์สุดท้ายที่ผสมกัน แต่ส่วนประกอบต่าง ๆ นั้นซ่อนอยู่

เข้าสู่โดเมนความถี่: 'ทำไม' เบื้องหลังฟูเรียร์ทรานส์ฟอร์ม

นี่คือจุดที่อัจฉริยภาพของ Jean-Baptiste Joseph Fourier เข้ามามีบทบาท ในช่วงต้นศตวรรษที่ 19 เขาได้เสนอแนวคิดที่ปฏิวัติวงการ: สัญญาณที่ซับซ้อนใด ๆ ไม่ว่าจะซับซ้อนเพียงใด ก็สามารถสร้างขึ้นได้โดยการรวมคลื่นไซน์และโคไซน์แบบง่าย ๆ หลายชุดที่มีความถี่ แอมพลิจูด และเฟสที่แตกต่างกันเข้าด้วยกัน

นี่คือหลักการพื้นฐานของการวิเคราะห์ฟูเรียร์ ฟูเรียร์ทรานส์ฟอร์มคือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่นำสัญญาณในโดเมนเวลาของเราและหาว่าคลื่นไซน์และโคไซน์ใดที่จำเป็นในการสร้างสัญญาณนั้น มันให้ 'สูตร' สำหรับสัญญาณโดยพื้นฐานแล้ว

ลองคิดแบบนี้:

• สัญญาณในโดเมนเวลา: เค้กที่อบเสร็จแล้ว คุณสามารถชิมและอธิบายเนื้อสัมผัสโดยรวมได้ แต่คุณไม่ทราบส่วนประกอบที่แน่นอน
• ฟูเรียร์ทรานส์ฟอร์ม: กระบวนการวิเคราะห์ทางเคมีที่บอกคุณว่าเค้กมีแป้ง 500 กรัม น้ำตาล 200 กรัม ไข่ 3 ฟอง เป็นต้น
• การแสดงผลในโดเมนความถี่ (สเปกตรัม): รายการส่วนผสมและปริมาณของมัน มันแสดงให้คุณเห็นความถี่พื้นฐาน ('ส่วนผสม') และแอมพลิจูดที่เกี่ยวข้อง ('ปริมาณ')

ด้วยการเปลี่ยนมุมมองของเราจากโดเมนเวลาไปยังโดเมนความถี่ เราสามารถถามคำถามใหม่ทั้งหมดได้: ความถี่ที่โดดเด่นในสัญญาณนี้คืออะไร? มีสัญญาณรบกวนความถี่สูงที่ไม่ต้องการหรือไม่? มีวงจรเป็นคาบเวลาซ่อนอยู่ในข้อมูลทางการเงินนี้หรือไม่? คำตอบที่มักจะมองไม่เห็นในโดเมนเวลา จะกลายเป็นชัดเจนอย่างน่าทึ่งในโดเมนความถี่

คณิตศาสตร์เบื้องหลังความมหัศจรรย์: บทนำแบบค่อยเป็นค่อยไป

แม้ว่าคณิตศาสตร์เบื้องหลังจะซับซ้อน แต่แนวคิดหลักนั้นสามารถเข้าถึงได้ การวิเคราะห์ฟูเรียร์ได้พัฒนาไปสู่รูปแบบหลักหลายอย่าง ซึ่งแต่ละอย่างเหมาะสำหรับสัญญาณประเภทต่าง ๆ

อนุกรมฟูเรียร์: สำหรับสัญญาณเป็นคาบ

การเดินทางเริ่มต้นด้วยอนุกรมฟูเรียร์ ซึ่งใช้กับสัญญาณที่ซ้ำตัวเองในช่วงเวลาที่กำหนด ลองนึกถึงโน้ตดนตรีที่สมบูรณ์แบบจากเครื่องสังเคราะห์เสียง หรือคลื่นสี่เหลี่ยมในอุดมคติในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ อนุกรมฟูเรียร์ระบุว่าสัญญาณเป็นคาบดังกล่าวสามารถแสดงได้เป็นผลรวมของอนุกรม (อาจจะอนันต์) ของคลื่นไซน์และโคไซน์ คลื่นเหล่านี้ล้วนเป็นพหุคูณจำนวนเต็มของ ความถี่มูลฐาน พหุคูณเหล่านี้เรียกว่า ฮาร์โมนิก

ตัวอย่างเช่น คลื่นสี่เหลี่ยมสามารถสร้างขึ้นได้โดยการเพิ่มคลื่นไซน์มูลฐานเข้ากับปริมาณที่น้อยลงของฮาร์โมนิกคี่อันดับที่ 3, 5, 7 และฮาร์โมนิกคี่ถัดไป ยิ่งคุณเพิ่มฮาร์โมนิกมากเท่าไหร่ ผลรวมที่ได้ก็จะยิ่งคล้ายกับคลื่นสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบมากขึ้นเท่านั้น

ฟูเรียร์ทรานส์ฟอร์ม: สำหรับสัญญาณไม่เป็นคาบ

แต่จะเกิดอะไรขึ้นกับสัญญาณที่ไม่ซ้ำกัน เช่น การตบมือครั้งเดียว หรือส่วนคำพูดสั้น ๆ? สำหรับสิ่งเหล่านี้ เราต้องการฟูเรียร์ทรานส์ฟอร์ม มันขยายแนวคิดของอนุกรมฟูเรียร์ไปยังสัญญาณที่ไม่เป็นคาบ โดยถือว่าช่วงเวลาของมันยาวเป็นอนันต์ แทนที่จะเป็นผลรวมแบบไม่ต่อเนื่องของฮาร์โมนิก ผลลัพธ์ที่ได้คือฟังก์ชันต่อเนื่องที่เรียกว่าสเปกตรัม ซึ่งแสดงแอมพลิจูดและเฟสของทุกความถี่ที่เป็นไปได้ที่ประกอบกันเป็นสัญญาณ

การแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DFT): สำหรับโลกดิจิทัล

ในโลกสมัยใหม่ของเรา เราแทบจะไม่ทำงานกับสัญญาณอนาล็อกแบบต่อเนื่อง แต่เราทำงานกับข้อมูลดิจิทัล—สัญญาณที่ถูกสุ่มตัวอย่างที่จุดเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง การแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DFT) เป็นเวอร์ชันของฟูเรียร์ทรานส์ฟอร์มที่ออกแบบมาสำหรับความเป็นจริงดิจิทัลนี้ มันรับลำดับจุดข้อมูลจำกัด (เช่น ตัวอย่างของคลิปเสียงหนึ่งวินาที) และส่งกลับลำดับส่วนประกอบความถี่จำกัด DFT คือการเชื่อมโยงโดยตรงระหว่างโลกทฤษฎีของฟูเรียร์กับโลกแห่งการปฏิบัติของคอมพิวเตอร์

การแปลงฟูเรียร์แบบเร็ว (FFT): หัวใจสำคัญของการประมวลผลสัญญาณสมัยใหม่

การคำนวณ DFT โดยตรงนั้นต้องใช้การประมวลผลสูง สำหรับสัญญาณที่มี 'N' ตัวอย่าง จำนวนการคำนวณที่ต้องใช้จะเพิ่มขึ้นตามสัดส่วนของ N² สำหรับคลิปเสียงเพียงหนึ่งวินาทีที่สุ่มตัวอย่างที่ 44.1 kHz (44,100 ตัวอย่าง) จะเกี่ยวข้องกับการคำนวณนับพันล้านครั้ง ซึ่งทำให้การวิเคราะห์แบบเรียลไทม์เป็นไปไม่ได้ ความก้าวหน้าครั้งสำคัญเกิดขึ้นพร้อมกับการพัฒนา การแปลงฟูเรียร์แบบเร็ว (FFT) FFT ไม่ใช่การแปลงใหม่ แต่เป็นอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพอย่างน่าทึ่งสำหรับการคำนวณ DFT มันลดความซับซ้อนในการคำนวณลงเหลือ N*log(N) ซึ่งเป็นการปรับปรุงครั้งใหญ่ที่เปลี่ยนฟูเรียร์ทรานส์ฟอร์มจากความอยากรู้อยากเห็นทางทฤษฎีให้กลายเป็นขุมพลังของการประมวลผลสัญญาณดิจิทัล (DSP) สมัยใหม่

การแสดงผลโดเมนความถี่ด้วยภาพ: ทำความเข้าใจสเปกตรัม

ผลลัพธ์ของ FFT คือชุดของจำนวนเชิงซ้อน แม้ว่าตัวเลขเหล่านี้จะบรรจุข้อมูลทั้งหมดไว้ แต่ก็ไม่ง่ายที่จะตีความโดยตรง แทนที่จะเป็นเช่นนั้น เราจะแสดงภาพมันในกราฟที่เรียกว่า สเปกตรัม หรือ สเปกโตรแกรม

• แกน x แสดงถึง ความถี่ ซึ่งโดยปกติวัดเป็นเฮิรตซ์ (Hz) ซึ่งหมายถึงรอบต่อวินาที
• แกน y แสดงถึง ขนาด (หรือแอมพลิจูด) ขององค์ประกอบความถี่แต่ละส่วน ซึ่งบอกเราว่ามีความถี่เฉพาะนั้นอยู่เท่าใดในสัญญาณ

ลองดูตัวอย่างบางส่วน:

• คลื่นไซน์บริสุทธิ์: สัญญาณที่เป็นคลื่นไซน์ 440 Hz ที่สมบูรณ์แบบ (โน้ตดนตรี 'A') จะปรากฏในโดเมนเวลาเป็นคลื่นที่ราบเรียบและซ้ำ ๆ ในโดเมนความถี่ สเปกตรัมของมันจะง่ายอย่างไม่น่าเชื่อ: เป็นแท่งเดี่ยวที่คมชัดที่ 440 Hz พอดีและไม่มีอะไรอื่น
• คลื่นสี่เหลี่ยม: ดังที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ คลื่นสี่เหลี่ยม 100 Hz จะแสดงแท่งขนาดใหญ่ที่ความถี่มูลฐาน 100 Hz ตามมาด้วยแท่งขนาดเล็กที่ฮาร์โมนิกคี่ของมัน: 300 Hz, 500 Hz, 700 Hz และอื่น ๆ โดยที่แอมพลิจูดของฮาร์โมนิกเหล่านี้จะลดลงเมื่อความถี่เพิ่มขึ้น
• สัญญาณรบกวนสีขาว (White Noise): สัญญาณที่แสดงถึงสัญญาณรบกวนแบบสุ่ม (เช่น สัญญาณรบกวนจากทีวีอนาล็อกเก่า) มีพลังงานเท่ากันตลอดทุกความถี่ สเปกตรัมของมันจะมีลักษณะเป็นเส้นราบเรียบที่สูงขึ้นตลอดช่วงความถี่ทั้งหมด
• คำพูดของมนุษย์: สเปกตรัมของคำพูดที่พูดออกมาจะซับซ้อน โดยแสดงยอดที่ความถี่มูลฐานของเสียงผู้พูดและฮาร์โมนิกของมัน (ซึ่งกำหนดระดับเสียง) รวมถึงกลุ่มความถี่ที่กว้างขึ้นซึ่งสอดคล้องกับเสียงสระและเสียงพยัญชนะที่แตกต่างกัน

การประยุกต์ใช้เชิงปฏิบัติในอุตสาหกรรมทั่วโลก

ความงามที่แท้จริงของฟูเรียร์ทรานส์ฟอร์มอยู่ที่การมีอยู่ทั่วไปของมัน มันเป็นเครื่องมือพื้นฐานที่ใช้ในเทคโนโลยีมากมายนับไม่ถ้วนที่หล่อหลอมชีวิตประจำวันของเรา ไม่ว่าเราจะอยู่ที่ใดในโลก

วิศวกรรมเสียงและการผลิตเพลง

นี่อาจเป็นการประยุกต์ใช้ที่เข้าใจง่ายที่สุด คอนโซลมิกซ์เสียงและสถานีงานเสียงดิจิทัล (DAW) ทุกเครื่องสร้างขึ้นจากการปรับแต่งความถี่

• อีควอไลเซอร์ (EQ): EQ เป็นการประยุกต์ใช้การวิเคราะห์ฟูเรียร์โดยตรง มันช่วยให้วิศวกรสามารถเห็นสเปกตรัมความถี่ของแทร็กและเพิ่มหรือลดช่วงความถี่เฉพาะได้—ตัวอย่างเช่น ลดเสียงที่ขุ่นมัวประมาณ 200-300 Hz หรือเพิ่ม 'ความโปร่ง' และความชัดเจนโดยการเพิ่มความถี่ที่สูงกว่า 10 kHz
• การลดเสียงรบกวน: ปัญหาทั่วไปทั่วโลกคือเสียงฮัมทางไฟฟ้าจากสายส่งไฟฟ้า ซึ่งเกิดขึ้นที่ 60 Hz ในบางภูมิภาค (เช่น อเมริกาเหนือ) และ 50 Hz ในภูมิภาคอื่น ๆ (เช่น ยุโรป เอเชีย) การใช้ FFT ทำให้สามารถระบุความถี่เฉพาะนี้และกรองออกได้อย่างแม่นยำอย่างยิ่ง ทำให้การบันทึกสะอาดขึ้นโดยไม่ส่งผลกระทบต่อเสียงส่วนที่เหลือ
• เอฟเฟกต์เสียง: เครื่องมือแก้ไขระดับเสียง เช่น Auto-Tune ใช้ FFT เพื่อค้นหาความถี่เด่นของเสียงนักร้องและปรับเปลี่ยนให้เป็นโน้ตดนตรีที่ต้องการที่ใกล้ที่สุด

โทรคมนาคม

การสื่อสารสมัยใหม่เป็นไปไม่ได้หากไม่มีฟูเรียร์ทรานส์ฟอร์ม มันช่วยให้เราสามารถส่งสัญญาณหลายสัญญาณผ่านช่องทางเดียวได้โดยไม่มีการรบกวน

• การกล้ำสัญญาณ (Modulation): วิทยุทำงานโดยการนำสัญญาณเสียงความถี่ต่ำไป 'พาไป' บนคลื่นวิทยุความถี่สูง (ความถี่พาหะ) กระบวนการนี้เรียกว่าการกล้ำสัญญาณ ซึ่งมีรากฐานลึกซึ้งในหลักการของโดเมนความถี่
• OFDM (Orthogonal Frequency-Division Multiplexing): นี่คือเทคโนโลยีหลักเบื้องหลังมาตรฐานสมัยใหม่ เช่น 4G, 5G, Wi-Fi และโทรทัศน์ดิจิทัล แทนที่จะส่งข้อมูลบนพาหะเดี่ยวที่รวดเร็ว OFDM จะแบ่งข้อมูลออกเป็นพาหะย่อยหลายพันตัวที่ช้ากว่า อยู่ใกล้กัน และเป็นออร์โธโกนอล ซึ่งทำให้สัญญาณมีความทนทานต่อการรบกวนอย่างน่าเหลือเชื่อ และจัดการทั้งหมดโดยใช้ FFT และอินเวอร์สของมัน

การถ่ายภาพทางการแพทย์และการวินิจฉัย

ฟูเรียร์ทรานส์ฟอร์มช่วยชีวิตผู้คนด้วยการทำให้เครื่องมือวินิจฉัยอันทรงพลังเป็นไปได้

• การถ่ายภาพด้วยคลื่นสนามแม่เหล็ก (MRI): เครื่อง MRI ไม่ได้ถ่าย 'ภาพ' ร่างกายโดยตรง มันใช้สนามแม่เหล็กไฟฟ้ากำลังสูงและคลื่นวิทยุเพื่อรวบรวมข้อมูลเกี่ยวกับความถี่เชิงพื้นที่ของเนื้อเยื่อ ข้อมูลดิบนี้ ซึ่งรวบรวมในสิ่งที่เรียกว่า 'k-space' (โดเมนความถี่สำหรับภาพ) จะถูกแปลงเป็นภาพทางกายวิภาคที่มีรายละเอียดโดยใช้ 2D Inverse Fourier Transform
• การวิเคราะห์ ECG/EEG: โดยการวิเคราะห์สเปกตรัมความถี่ของคลื่นสมอง (EEG) หรือจังหวะการเต้นของหัวใจ (ECG) แพทย์สามารถระบุรูปแบบที่บ่งชี้ถึงภาวะบางอย่างได้ ตัวอย่างเช่น แถบความถี่เฉพาะใน EEG จะเกี่ยวข้องกับระยะการนอนหลับที่แตกต่างกันหรือการมีอยู่ของโรคลมบ้าหมู

การประมวลผลภาพ

เช่นเดียวกับสัญญาณ 1 มิติที่สามารถแยกออกเป็นความถี่ต่าง ๆ ได้ ภาพ 2 มิติก็สามารถแยกออกเป็นคลื่นไซน์/โคไซน์ 2 มิติที่มีความถี่และทิศทางต่าง ๆ ได้

• การบีบอัดภาพ (JPEG): รูปแบบ JPEG คือการใช้ฟูเรียร์ทรานส์ฟอร์มอย่างเชี่ยวชาญ (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การแปลงที่เกี่ยวข้องที่เรียกว่า Discrete Cosine Transform) ภาพจะถูกแบ่งออกเป็นบล็อกเล็ก ๆ และแต่ละบล็อกจะถูกแปลงเข้าสู่โดเมนความถี่ ส่วนประกอบความถี่สูง ซึ่งสอดคล้องกับรายละเอียดเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่สายตาของมนุษย์มีความไวต่อน้อยกว่า สามารถเก็บด้วยความแม่นยำน้อยลงหรือทิ้งไปโดยสิ้นเชิง สิ่งนี้ช่วยให้ลดขนาดไฟล์ได้อย่างมหาศาลโดยมีการสูญเสียคุณภาพที่รับรู้ได้น้อยที่สุด
• การกรองและปรับปรุง: ในโดเมนความถี่ ความถี่ต่ำจะสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงที่ราบรื่นและค่อยเป็นค่อยไปในภาพ ในขณะที่ความถี่สูงจะสอดคล้องกับขอบที่คมชัดและรายละเอียด เพื่อทำให้ภาพเบลอ สามารถใช้ฟิลเตอร์กรองความถี่ต่ำในโดเมนความถี่ (กำจัดความถี่สูง) เพื่อทำให้ภาพคมชัดขึ้น สามารถเพิ่มความถี่สูงได้

แนวคิดหลักและข้อผิดพลาดทั่วไป

เพื่อให้ใช้ฟูเรียร์ทรานส์ฟอร์มได้อย่างมีประสิทธิภาพ สิ่งสำคัญคือต้องตระหนักถึงหลักการพื้นฐานบางประการและความท้าทายที่อาจเกิดขึ้น

ทฤษฎีการสุ่มตัวอย่างของไนควิสต์-แชนนอน

นี่คือกฎที่สำคัญที่สุดเพียงข้อเดียวในการประมวลผลสัญญาณดิจิทัล มันระบุว่าในการบันทึกสัญญาณแบบดิจิทัลอย่างแม่นยำ อัตราการสุ่มตัวอย่างของคุณต้อง อย่างน้อยสองเท่าของความถี่สูงสุด ที่มีอยู่ในสัญญาณ อัตราการสุ่มตัวอย่างขั้นต่ำนี้เรียกว่าอัตราไนควิสต์

หากคุณละเมิดกฎนี้ ปรากฏการณ์ที่เรียกว่า aliasing จะเกิดขึ้น ความถี่สูงที่ไม่ได้รับการสุ่มตัวอย่างเร็วพอจะ 'พับซ้อน' และปรากฏเป็นความถี่ที่ต่ำลงในข้อมูลของคุณอย่างผิดพลาด สร้างภาพลวงตาที่ไม่สามารถย้อนกลับได้ นี่คือเหตุผลที่แผ่นซีดีใช้อัตราการสุ่มตัวอย่างที่ 44.1 kHz — ซึ่งมากกว่าสองเท่าของความถี่สูงสุดที่มนุษย์ได้ยิน (ประมาณ 20 kHz) จึงป้องกันการเกิด aliasing ในช่วงความถี่ที่ได้ยิน

การใช้ฟังก์ชันหน้าต่างและการรั่วไหลของสเปกตรัม

FFT สมมติว่าข้อมูลช่วงจำกัดที่คุณให้มาเป็นหนึ่งรอบของสัญญาณที่ซ้ำกันไม่รู้จบ หากสัญญาณของคุณไม่เป็นคาบอย่างสมบูรณ์ภายในช่วงนั้น (ซึ่งมักจะเป็นเช่นนั้น) ข้อสมมตินี้จะสร้างความไม่ต่อเนื่องที่คมชัดที่ขอบเขต ขอบคมที่สร้างขึ้นนี้จะนำความถี่ปลอมเข้าไปในสเปกตรัมของคุณ ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่เรียกว่า การรั่วไหลของสเปกตรัม (spectral leakage) สิ่งนี้สามารถบดบังความถี่ที่แท้จริงที่คุณพยายามวัดได้

วิธีแก้ปัญหาคือ การใช้ฟังก์ชันหน้าต่าง (windowing) ฟังก์ชันหน้าต่าง (เช่น ฟังก์ชันหน้าต่าง Hann หรือ Hamming) เป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่ใช้กับข้อมูลในโดเมนเวลา มันจะลดทอนสัญญาณอย่างราบรื่นให้เป็นศูนย์ที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด ช่วยลดความไม่ต่อเนื่องที่เกิดจากการสร้างขึ้น และลดการรั่วไหลของสเปกตรัมได้อย่างมาก ส่งผลให้ได้สเปกตรัมที่สะอาดและแม่นยำยิ่งขึ้น

เฟสเทียบกับขนาด

ดังที่กล่าวไว้ ผลลัพธ์ของ FFT คือชุดของจำนวนเชิงซ้อน จากสิ่งเหล่านี้ เราได้ข้อมูลสำคัญสองส่วนสำหรับแต่ละความถี่:

• ขนาด (Magnitude): นี่คือสิ่งที่เรามักจะพล็อต มันบอกเราถึงความแรงหรือแอมพลิจูดของความถี่นั้น ๆ
• เฟส (Phase): นี่บอกเราถึงตำแหน่งเริ่มต้นหรือการเลื่อนของคลื่นไซน์สำหรับความถี่นั้น ๆ

แม้ว่าสเปกตรัมขนาดมักจะเป็นจุดเน้นของการวิเคราะห์ แต่เฟสมีความสำคัญอย่างยิ่ง หากไม่มีข้อมูลเฟสที่ถูกต้อง คุณจะไม่สามารถสร้างสัญญาณโดเมนเวลาเดิมขึ้นมาใหม่ได้ สัญญาณสองสัญญาณสามารถมีสเปกตรัมขนาดที่เหมือนกันทุกประการ แต่เสียงหรือรูปลักษณ์แตกต่างกันโดยสิ้นเชิงเนื่องจากข้อมูลเฟสของมันแตกต่างกัน เฟสประกอบด้วยข้อมูลเวลาและตำแหน่งทั้งหมดของคุณสมบัติของสัญญาณ

ข้อมูลเชิงลึกที่นำไปใช้ได้จริง: วิธีเริ่มต้นกับการวิเคราะห์ฟูเรียร์

คุณไม่จำเป็นต้องเป็นนักคณิตศาสตร์เพื่อเริ่มต้นใช้ฟูเรียร์ทรานส์ฟอร์ม ไลบรารี FFT ที่ทรงพลังและได้รับการปรับแต่งอย่างสูงมีอยู่ในเกือบทุกสภาพแวดล้อมการเขียนโปรแกรมและการวิเคราะห์ข้อมูลหลัก ๆ

• Python: โมดูล `numpy.fft` (เช่น `np.fft.fft()`) และโมดูล `scipy.fft` ที่ครอบคลุมมากขึ้นเป็นมาตรฐานอุตสาหกรรมสำหรับการคำนวณทางวิทยาศาสตร์
• MATLAB: มีฟังก์ชัน `fft()` และ `ifft()` ในตัวซึ่งเป็นส่วนสำคัญของกล่องเครื่องมือประมวลผลสัญญาณ
• R: แพ็กเกจ `stats` มีฟังก์ชัน `fft()` สำหรับการวิเคราะห์อนุกรมเวลา

ขั้นตอนการทำงานโดยทั่วไปอาจมีลักษณะดังนี้:

1. รับหรือสร้างสัญญาณ: โหลดไฟล์เสียง, ไฟล์ CSV ของข้อมูลหุ้น, หรือสร้างสัญญาณด้วยตนเอง (เช่น การรวมกันของคลื่นไซน์หลายลูกกับสัญญาณรบกวนบางอย่าง)
2. ใช้ฟังก์ชันหน้าต่าง: คูณสัญญาณของคุณด้วยฟังก์ชันหน้าต่าง (เช่น `numpy.hanning()`) เพื่อลดการรั่วไหลของสเปกตรัม
3. คำนวณ FFT: ใช้ฟังก์ชัน FFT จากไลบรารีที่คุณเลือกกับสัญญาณที่ใช้ฟังก์ชันหน้าต่างแล้ว
4. คำนวณขนาด: ผลลัพธ์ FFT จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน คำนวณค่าสัมบูรณ์ของมัน (เช่น `np.abs()`) เพื่อให้ได้ขนาด
5. สร้างแกนความถี่: สร้างอาร์เรย์ของค่าความถี่ที่สอดคล้องกันสำหรับแกน x ของคุณ ความถี่จะอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 จนถึงความถี่ Nyquist
6. พล็อตและวิเคราะห์: พล็อตขนาดเทียบกับแกนความถี่เพื่อแสดงภาพสเปกตรัม มองหายอด, รูปแบบ, และระดับสัญญาณรบกวน

บทสรุป: พลังอันยั่งยืนของมุมมองที่แตกต่าง

ฟูเรียร์ทรานส์ฟอร์มเป็นมากกว่าเครื่องมือทางคณิตศาสตร์; มันเป็นวิธีใหม่ในการมองเห็น มันสอนให้เราเข้าใจว่าปรากฏการณ์ที่ซับซ้อนสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นซิมโฟนีของการสั่นสะเทือนพื้นฐานที่เรียบง่าย มันนำสัญญาณที่ดูยุ่งเหยิงและวุ่นวายในโดเมนเวลามาแปลงเป็นสเปกตรัมความถี่ที่เป็นระเบียบและเปิดเผย

ตั้งแต่สัญญาณ Wi-Fi ที่นำคำเหล่านี้ไปยังอุปกรณ์ของคุณ ไปจนถึงการสแกนทางการแพทย์ที่ส่องเข้าไปในร่างกายมนุษย์ ไปจนถึงอัลกอริทึมที่ช่วยให้เราเข้าใจตลาดการเงิน มรดกของ Joseph Fourier ได้ฝังลึกอยู่ในโครงสร้างของโลกเทคโนโลยีสมัยใหม่ของเรา ด้วยการเรียนรู้ที่จะคิดในแง่ของความถี่ เราจะปลดล็อกมุมมองอันทรงพลัง ทำให้เราสามารถเห็นระเบียบและโครงสร้างที่ซ่อนอยู่ภายใต้พื้นผิวของข้อมูลรอบตัวเรา