அதிர்வெண் களத்தைத் திறத்தல்: ஃபோரியர் உருமாற்றப் பகுப்பாய்விற்கான ஒரு விரிவான வழிகாட்டி

ஒரு சிம்பொனி இசைக்குழுவைக் கேட்பதை கற்பனை செய்து பாருங்கள். உங்கள் காதுகள் காலப்போக்கில் ஒலியளவு மாறுபடும் ஒரு ஒற்றை, குழப்பமான ஒலிச் சுவரை மட்டும் உணர்வதில்லை. மாறாக, செல்லோவின் ஆழமான, அதிர்வுறும் குறிப்புகளையும், வயலினின் கூர்மையான, தெளிவான தொனிகளையும், எக்காளத்தின் பிரகாசமான அழைப்பையும் உங்களால் வேறுபடுத்தி அறிய முடிகிறது. நீங்கள், சாராம்சத்தில், ஒரு இயற்கையான அதிர்வெண் பகுப்பாய்வைச் செய்கிறீர்கள். ஒரு சிக்கலான சிக்னலை—இசைக்குழுவின் இசையை—அதன் உட்கூறுகளாகப் பிரிக்கிறீர்கள். விஞ்ஞானிகள், பொறியாளர்கள் மற்றும் ஆய்வாளர்கள் எந்தவொரு சிக்னலையும் கொண்டு இதைச் செய்ய அனுமதிக்கும் கணிதக் கருவி ஃபோரியர் உருமாற்றம் ஆகும்.

ஃபோரியர் உருமாற்றம் இதுவரை உருவாக்கப்பட்ட மிக ஆழமான மற்றும் பல்துறை கணிதக் கருத்துக்களில் ஒன்றாகும். இது நாம் உலகை காலப்போக்கில் நடக்கும் நிகழ்வுகளின் தொடராகப் பார்க்காமல், தூய்மையான, காலமற்ற அதிர்வுகளின் கலவையாகப் பார்க்க ஒரு லென்ஸை வழங்குகிறது. இது ஒரு சிக்னலைப் புரிந்துகொள்வதற்கான இரண்டு அடிப்படை வழிகளுக்கு இடையேயான ஒரு பாலம்: நேரக் களம் மற்றும் அதிர்வெண் களம். இந்த வலைப்பதிவு இடுகை அந்தப் பாலத்தின் மீது உங்களை வழிநடத்தி, ஃபோரியர் உருமாற்றத்தை எளிமைப்படுத்தி, பரந்த அளவிலான உலகளாவிய தொழில்களில் சிக்கல்களைத் தீர்க்க அதன் நம்பமுடியாத ஆற்றலை ஆராயும்.

ஒரு சிக்னல் என்றால் என்ன? நேரக் களப் பார்வை

அதிர்வெண் களத்தைப் பாராட்டுவதற்கு முன், நாம் முதலில் அதன் எதிர்முனையான நேரக் களத்தைப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். இது நாம் இயற்கையாகவே பெரும்பாலான நிகழ்வுகளை அனுபவிக்கும் மற்றும் பதிவு செய்யும் வழியாகும். நேரக் களம் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட காலப்பகுதியில் எடுக்கப்பட்ட அளவீடுகளின் தொடராக ஒரு சிக்னலைக் குறிக்கிறது.

இந்த எடுத்துக்காட்டுகளைக் கவனியுங்கள்:

• ஒரு ஆடியோ பதிவு: ஒரு மைக்ரோஃபோன் காலப்போக்கில் காற்று அழுத்தத்தில் ஏற்படும் மாற்றங்களைப் பதிவு செய்கிறது. இதன் வரைபடம் y- அச்சில் வீச்சு (ஒலியுடன் தொடர்புடையது) மற்றும் x- அச்சில் நேரத்தைக் காண்பிக்கும்.
• ஒரு பங்கு விலை விளக்கப்படம்: இது ஒரு பங்கின் மதிப்பை y- அச்சில் நேரத்திற்கு (நாட்கள், மணிநேரம், நிமிடங்கள்) எதிராக x- அச்சில் வரைகிறது.
• ஒரு எலக்ட்ரோ கார்டியோகிராம் (ECG/EKG): இந்த மருத்துவ கண்டறியும் கருவி இதயத்தின் மின் செயல்பாட்டைப் பதிவுசெய்து, காலப்போக்கில் மின்னழுத்த ஏற்ற இறக்கங்களைக் காட்டுகிறது.
• ஒரு நில அதிர்வு அளவீடு: ஒரு நில அதிர்வு வரைபடம் பூகம்பத்தின் போது காலப்போக்கில் தரை இயக்கத்தை அளவிடுகிறது.

நேரக் களம் உள்ளுணர்வு சார்ந்தது மற்றும் அவசியமானது. அது எப்போது ஒன்று நடந்தது மற்றும் என்ன தீவிரத்துடன் நடந்தது என்று நமக்குச் சொல்கிறது. இருப்பினும், அதற்கு குறிப்பிடத்தக்க வரம்புகள் உள்ளன. நேரக் களத்தில் ஒரு சிக்கலான ஆடியோ அலைவடிவத்தைப் பார்க்கும்போது, தனிப்பட்ட இசைக்குறிப்புகள், குறைந்த அதிர்வெண் இரைச்சலின் இருப்பு, அல்லது ஒரு இசைக்கருவிக்கு அதன் தனித்துவமான தன்மையைக் கொடுக்கும் ஹார்மோனிக் கட்டமைப்பை அடையாளம் காண்பது கிட்டத்தட்ட சாத்தியமற்றது. நீங்கள் இறுதி, கலந்த முடிவைப் பார்க்கிறீர்கள், ஆனால் அதன் உட்பொருட்கள் மறைக்கப்பட்டுள்ளன.

அதிர்வெண் களத்தில் நுழைதல்: ஃபோரியர் உருமாற்றத்திற்குப் பின்னால் உள்ள 'ஏன்'

இங்குதான் ஜீன்-பாப்டிஸ்ட் ஜோசப் ஃபோரியரின் மேதைத்தனம் வெளிப்படுகிறது. 19 ஆம் நூற்றாண்டின் முற்பகுதியில், அவர் ஒரு புரட்சிகரமான யோசனையை முன்மொழிந்தார்: எந்தவொரு சிக்கலான சிக்னலும், அது எவ்வளவு நுணுக்கமாக இருந்தாலும், வெவ்வேறு அதிர்வெண்கள், வீச்சுகள் மற்றும் கட்டங்களைக் கொண்ட எளிய சைன் மற்றும் கோசைன் அலைகளின் தொடரை ஒன்றாகச் சேர்ப்பதன் மூலம் உருவாக்கப்படலாம்.

இது ஃபோரியர் பகுப்பாய்வின் அடிப்படைக் கொள்கையாகும். ஃபோரியர் உருமாற்றம் என்பது நமது நேரக் கள சிக்னலை எடுத்து, அதை உருவாக்கத் தேவையான சைன் மற்றும் கோசைன் அலைகள் எவை என்பதைக் கண்டறியும் கணிதச் செயல்பாடாகும். இது அடிப்படையில் சிக்னலுக்கான ஒரு 'செய்முறை' வழங்குகிறது.

இதை இப்படி நினைத்துப் பாருங்கள்:

• நேரக் கள சிக்னல்: சுடப்பட்ட, முடிக்கப்பட்ட கேக். நீங்கள் அதைச் சுவைக்கலாம் மற்றும் அதன் ஒட்டுமொத்த அமைப்பை விவரிக்கலாம், ஆனால் அதன் சரியான கலவை உங்களுக்குத் தெரியாது.
• ஃபோரியர் உருமாற்றம்: கேக்கில் 500 கிராம் மாவு, 200 கிராம் சர்க்கரை, 3 முட்டைகள் மற்றும் பல உள்ளன என்று சொல்லும் இரசாயன பகுப்பாய்வு செயல்முறை.
• அதிர்வெண் கள பிரதிநிதித்துவம் (ஸ்பெக்ட்ரம்): உட்பொருட்கள் மற்றும் அவற்றின் அளவுகளின் பட்டியல். இது உங்களுக்கு அடிப்பட அதிர்வெண்களை ('உட்பொருட்கள்') மற்றும் அவற்றின் தொடர்புடைய வீச்சுகளை ('அளவுகள்') காட்டுகிறது.

நமது பார்வையை நேரக் களத்திலிருந்து அதிர்வெண் களத்திற்கு மாற்றுவதன் மூலம், நாம் முற்றிலும் புதிய கேள்விகளைக் கேட்கலாம்: இந்த சிக்னலில் ஆதிக்கம் செலுத்தும் அதிர்வெண்கள் யாவை? தேவையற்ற, உயர் அதிர்வெண் இரைச்சல் உள்ளதா? இந்த நிதித் தரவுகளில் மறைக்கப்பட்டிருக்கும் காலமுறை சுழற்சிகள் உள்ளனவா? நேரக் களத்தில் பெரும்பாலும் கண்ணுக்குத் தெரியாத பதில்கள், அதிர்வெண் களத்தில் குறிப்பிடத்தக்க வகையில் தெளிவாகின்றன.

மாயத்திற்குப் பின்னால் உள்ள கணிதம்: ஒரு மென்மையான அறிமுகம்

அடிப்படை கணிதம் கடினமாக இருந்தாலும், முக்கியக் கருத்துக்கள் அணுகக்கூடியவை. ஃபோரியர் பகுப்பாய்வு பல முக்கிய வடிவங்களாகப் பரிணமித்துள்ளது, ஒவ்வொன்றும் வெவ்வேறு வகையான சிக்னல்களுக்குப் பொருத்தமானவை.

ஃபோரியர் தொடர்: காலமுறை சிக்னல்களுக்கு

பயணம் ஃபோரியர் தொடரில் தொடங்குகிறது, இது ஒரு குறிப்பிட்ட காலத்தில் தங்களைத் தாங்களே மீண்டும் மீண்டும் செய்யும் சிக்னல்களுக்குப் பொருந்தும். ஒரு சின்தசைசரிலிருந்து வரும் ஒரு சரியான இசைக்குறிப்பு அல்லது எலக்ட்ரானிக்ஸில் ஒரு இலட்சிய சதுர அலையை நினைத்துப் பாருங்கள். ஃபோரியர் தொடர், அத்தகைய ஒரு காலமுறை சிக்னலை (முடிவற்றதாக இருக்கக்கூடிய) சைன் மற்றும் கோசைன் அலைகளின் தொடரின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடலாம் என்று கூறுகிறது. இந்த அலைகள் அனைத்தும் ஒரு அடிப்படை அதிர்வெண்ணின் முழு எண் மடங்குகளாகும். இந்த மடங்குகள் ஹார்மோனிக்ஸ் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

உதாரணமாக, ஒரு சதுர அலையை, ஒரு அடிப்படை சைன் அலையுடன் அதன் 3 வது, 5 வது, 7 வது மற்றும் அடுத்தடுத்த ஒற்றைப்படை ஹார்மோனிக்குகளின் சிறிய அளவுகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் உருவாக்கலாம். நீங்கள் எவ்வளவு ஹார்மோனிக்குகளைச் சேர்க்கிறீர்களோ, அவ்வளவு அதிகமாக அதன் விளைவான கூட்டுத்தொகை ஒரு சரியான சதுர அலையை ஒத்திருக்கும்.

ஃபோரியர் உருமாற்றம்: காலமுறை அல்லாத சிக்னல்களுக்கு

ஆனால் கைகளின் ஒரு ஒற்றைத் தட்டல் அல்லது ஒரு குறுகிய பேச்சுப் பகுதி போன்ற, மீண்டும் மீண்டும் வராத சிக்னல்களைப் பற்றி என்ன? இவற்றுக்கு, நமக்கு ஃபோரியர் உருமாற்றம் தேவை. இது காலமுறை அல்லாத சிக்னல்களுக்கு ஃபோரியர் தொடரின் கருத்தை பொதுமைப்படுத்துகிறது, அவற்றின் காலம் முடிவில்லாமல் நீளமாக இருப்பது போலக் கருதுகிறது. ஹார்மோனிக்குகளின் ஒரு தனித்த கூட்டுத்தொகைக்கு பதிலாக, இதன் விளைவாக ஸ்பெக்ட்ரம் எனப்படும் ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு கிடைக்கிறது, இது சிக்னலுக்கு பங்களிக்கும் ஒவ்வொரு சாத்தியமான அதிர்வெண்ணின் வீச்சு மற்றும் கட்டத்தைக் காட்டுகிறது.

தனித்த ஃபோரியர் உருமாற்றம் (DFT): டிஜிட்டல் உலகிற்கு

நமது நவீன உலகில், நாம் அரிதாகவே தொடர்ச்சியான, அனலாக் சிக்னல்களுடன் வேலை செய்கிறோம். மாறாக, நாம் டிஜிட்டல் தரவுகளுடன் வேலை செய்கிறோம்—காலத்தின் தனித்த புள்ளிகளில் மாதிரிகள் எடுக்கப்பட்ட சிக்னல்கள். தனித்த ஃபோரியர் உருமாற்றம் (DFT) என்பது இந்த டிஜிட்டல் யதார்த்தத்திற்காக வடிவமைக்கப்பட்ட ஃபோரியர் உருமாற்றத்தின் பதிப்பாகும். இது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தரவுப் புள்ளிகளின் வரிசையை (எ.கா., ஒரு வினாடி ஆடியோ கிளிப்பின் மாதிரிகள்) எடுத்து, அதிர்வெண் கூறுகளின் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையைத் தருகிறது. DFT என்பது ஃபோரியரின் கோட்பாட்டு உலகத்திற்கும் கணினிகளின் நடைமுறை உலகத்திற்கும் இடையிலான நேரடி இணைப்பு.

வேகமான ஃபோரியர் உருமாற்றம் (FFT): நவீன சிக்னல் செயலாக்கத்தின் இயந்திரம்

DFT-ஐ நேரடியாகக் கணக்கிடுவது கணக்கீட்டு ரீதியாக தீவிரமானது. 'N' மாதிரிகள் கொண்ட ஒரு சிக்னலுக்கு, தேவைப்படும் கணக்கீடுகளின் எண்ணிக்கை N² விகிதத்தில் வளர்கிறது. 44.1 kHz (44,100 மாதிரிகள்) இல் மாதிரிகள் எடுக்கப்பட்ட ஒரு வினாடி ஆடியோ கிளிப்பிற்கு, இது பில்லியன் கணக்கான கணக்கீடுகளை உள்ளடக்கியிருக்கும், இது நிகழ்நேர பகுப்பாய்வை சாத்தியமற்றதாக்கும். வேகமான ஃபோரியர் உருமாற்றம் (FFT) வளர்ச்சியுடன் ஒரு திருப்புமுனை ஏற்பட்டது. FFT ஒரு புதிய உருமாற்றம் அல்ல, ஆனால் DFT-ஐ கணக்கிடுவதற்கான ஒரு குறிப்பிடத்தக்க திறமையான வழிமுறையாகும். இது கணக்கீட்டு சிக்கலான தன்மையை N*log(N) ஆகக் குறைக்கிறது, இது ஒரு மகத்தான முன்னேற்றமாகும், இது ஃபோரியர் உருமாற்றத்தை ஒரு தத்துவார்த்த ஆர்வத்திலிருந்து நவீன டிஜிட்டல் சிக்னல் செயலாக்கத்தின் (DSP) ஆற்றல் மையமாக மாற்றியது.

அதிர்வெண் களத்தைக் காட்சிப்படுத்துதல்: ஸ்பெக்ட்ரத்தைப் புரிந்துகொள்ளுதல்

ஒரு FFT-இன் வெளியீடு சிக்கலான எண்களின் தொகுப்பாகும். இந்த எண்கள் எல்லா தகவல்களையும் கொண்டிருந்தாலும், அவற்றை நேரடியாகப் புரிந்துகொள்வது எளிதல்ல. மாறாக, அவற்றை ஸ்பெக்ட்ரம் அல்லது ஸ்பெக்ட்ரோகிராம் எனப்படும் ஒரு வரைபடத்தில் நாம் காட்சிப்படுத்துகிறோம்.

• x-அச்சு அதிர்வெண்ணைக் குறிக்கிறது, பொதுவாக ஹெர்ட்ஸ் (Hz) இல் அளவிடப்படுகிறது, அதாவது வினாடிக்கு சுழற்சிகள்.
• y-அச்சு ஒவ்வொரு அதிர்வெண் கூறுகளின் பருமன் (அல்லது வீச்சு) ஐக் குறிக்கிறது. இது சிக்னலில் அந்த குறிப்பிட்ட அதிர்வெண் எவ்வளவு உள்ளது என்பதை நமக்குச் சொல்கிறது.

சில எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்:

• ஒரு தூய சைன் அலை: ஒரு சரியான 440 Hz சைன் அலையாக (இசைக் குறிப்பு 'A') இருக்கும் ஒரு சிக்னல், நேரக் களத்தில் ஒரு மென்மையான, மீண்டும் மீண்டும் வரும் அலையாகத் தோன்றும். அதிர்வெண் களத்தில், அதன் ஸ்பெக்ட்ரம் நம்பமுடியாத அளவிற்கு எளிமையாக இருக்கும்: சரியாக 440 Hz இல் ஒரு ஒற்றை, கூர்மையான முனை மற்றும் வேறு எதுவும் இல்லை.
• ஒரு சதுர அலை: முன்பு குறிப்பிட்டபடி, ஒரு 100 Hz சதுர அலை அதன் அடிப்படை அதிர்வெண் 100 Hz இல் ஒரு பெரிய முனையையும், அதைத் தொடர்ந்து அதன் ஒற்றைப்படை ஹார்மோனிக்குகளில் சிறிய முனைகளையும் காட்டும்: 300 Hz, 500 Hz, 700 Hz, மற்றும் பல, இந்த ஹார்மோனிக்குகளின் வீச்சுகள் அதிர்வெண் அதிகரிக்கும்போது குறையும்.
• வெள்ளை இரைச்சல்: சீரற்ற இரைச்சலைக் குறிக்கும் ஒரு சிக்னல் (பழைய அனலாக் டிவியின் ஸ்டேடிக் போன்றது) அனைத்து அதிர்வெண்களிலும் சமமான ஆற்றலைக் கொண்டுள்ளது. அதன் ஸ்பெக்ட்ரம் முழு அதிர்வெண் வரம்பிலும் ஒப்பீட்டளவில் தட்டையான, உயர்ந்த கோடு போல இருக்கும்.
• மனிதப் பேச்சு: பேசப்பட்ட ஒரு வார்த்தையின் ஸ்பெக்ட்ரம் சிக்கலானதாக இருக்கும், இது பேச்சாளரின் குரலின் அடிப்படை அதிர்வெண் மற்றும் அதன் ஹார்மோனிக்குகளில் (இது சுருதியை தீர்மானிக்கிறது) உச்சங்களைக் காட்டும், அத்துடன் வெவ்வேறு உயிர் மற்றும் மெய் ஒலிகளுக்கு ஒத்த பரந்த அதிர்வெண் கொத்துகளையும் காட்டும்.

உலகளாவிய தொழில்களில் நடைமுறைப் பயன்பாடுகள்

ஃபோரியர் உருமாற்றத்தின் உண்மையான அழகு அதன் எங்கும் நிறைந்திருப்பதில் உள்ளது. இது நமது அன்றாட வாழ்க்கையை வடிவமைக்கும் எண்ணற்ற தொழில்நுட்பங்களில் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு அடிப்படைக் கருவியாகும், நாம் உலகில் எங்கிருந்தாலும் சரி.

ஆடியோ பொறியியல் மற்றும் இசை உற்பத்தி

இது ஒருவேளை மிகவும் உள்ளுணர்வு சார்ந்த பயன்பாடாகும். ஒவ்வொரு ஆடியோ கலவை கன்சோல் மற்றும் டிஜிட்டல் ஆடியோ பணிநிலையம் (DAW) அதிர்வெண் கையாளுதலைச் சுற்றி கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது.

• ஈக்வலைசர்கள் (EQ): ஒரு EQ என்பது ஃபோரியர் பகுப்பாய்வின் நேரடிப் பயன்பாடாகும். இது ஒரு பொறியாளரை ஒரு டிராக்கின் அதிர்வெண் ஸ்பெக்ட்ரத்தைப் பார்க்கவும், குறிப்பிட்ட அதிர்வெண் பட்டைகளை அதிகரிக்கவும் அல்லது குறைக்கவும் அனுமதிக்கிறது—உதாரணமாக, 200-300 Hz சுற்றியுள்ள ஒரு மந்தமான ஒலியைக் குறைப்பது அல்லது 10 kHz க்கும் அதிகமான அதிர்வெண்களை அதிகரிப்பதன் மூலம் 'காற்றையும்' தெளிவையும் சேர்ப்பது.
• இரைச்சல் குறைப்பு: உலகெங்கிலும் ஒரு பொதுவான பிரச்சனை மின் இணைப்புகளிலிருந்து வரும் மின்சார ஹம் ஆகும், இது சில பிராந்தியங்களில் (எ.கா., வட அமெரிக்கா) 60 Hz ஆகவும் மற்றவற்றில் (எ.கா., ஐரோப்பா, ஆசியா) 50 Hz ஆகவும் ஏற்படுகிறது. ஒரு FFT-ஐப் பயன்படுத்தி, இந்த குறிப்பிட்ட அதிர்வெண்ணை அடையாளம் கண்டு, அறுவை சிகிச்சை துல்லியத்துடன் வடிகட்டலாம், மீதமுள்ள ஆடியோவைப் பாதிக்காமல் பதிவை சுத்தம் செய்யலாம்.
• ஆடியோ விளைவுகள்: ஆட்டோ-டியூன் போன்ற பிட்ச் திருத்தும் கருவிகள் ஒரு பாடகரின் குரலின் ஆதிக்க அதிர்வெண்ணைக் கண்டுபிடிக்க FFT-களைப் பயன்படுத்துகின்றன மற்றும் அதை அருகிலுள்ள விரும்பிய இசைக் குறிப்புக்கு மாற்றுகின்றன.

தொலைத்தொடர்பு

நவீனத் தொடர்பு ஃபோரியர் உருமாற்றம் இல்லாமல் சாத்தியமில்லை. இது குறுக்கீடு இல்லாமல் ஒரே சேனல் வழியாக பல சிக்னல்களை அனுப்ப அனுமதிக்கிறது.

• பண்பேற்றம் (Modulation): வானொலி குறைந்த அதிர்வெண் ஆடியோ சிக்னலை எடுத்து உயர் அதிர்வெண் ரேடியோ அலையில் (கேரியர் அதிர்வெண்) 'சுமந்து' செல்வதன் மூலம் செயல்படுகிறது. பண்பேற்றம் எனப்படும் இந்த செயல்முறை, அதிர்வெண் களக் கொள்கைகளில் ஆழமாக வேரூன்றியுள்ளது.
• OFDM (Orthogonal Frequency-Division Multiplexing): இது 4G, 5G, Wi-Fi மற்றும் டிஜிட்டல் தொலைக்காட்சி போன்ற நவீன தரநிலைகளுக்குப் பின்னால் உள்ள முக்கிய தொழில்நுட்பமாகும். ஒரே, வேகமான கேரியரில் தரவை அனுப்புவதற்குப் பதிலாக, OFDM தரவை ஆயிரக்கணக்கான மெதுவான, நெருக்கமாக இடைவெளியிடப்பட்ட, செங்குத்தான துணை-கேரியர்களில் பிரிக்கிறது. இது சிக்னலை குறுக்கீட்டிற்கு எதிராக நம்பமுடியாத அளவிற்கு வலுவாக ஆக்குகிறது மற்றும் முற்றிலும் FFT-கள் மற்றும் அவற்றின் நேர்மாறுகளைப் பயன்படுத்தி நிர்வகிக்கப்படுகிறது.

மருத்துவப் படமெடுத்தல் மற்றும் கண்டறிதல்

ஃபோரியர் உருமாற்றம் சக்திவாய்ந்த கண்டறியும் கருவிகளை இயக்குவதன் மூலம் உயிர்களைக் காப்பாற்றுகிறது.

• காந்த ஒத்ததிர்வு படமெடுத்தல் (MRI): ஒரு MRI இயந்திரம் உடலின் நேரடி 'படத்தை' எடுக்காது. இது சக்திவாய்ந்த காந்தப்புலங்கள் மற்றும் ரேடியோ அலைகளைப் பயன்படுத்தி திசுக்களின் இடஞ்சார்ந்த அதிர்வெண்கள் பற்றிய தரவைச் சேகரிக்கிறது. 'k-space' (படங்களுக்கான அதிர்வெண் களம்) என்று அழைக்கப்படும் இடத்தில் சேகரிக்கப்படும் இந்த மூலத் தரவு, பின்னர் 2D நேர்மாறு ஃபோரியர் உருமாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு விரிவான உடற்கூறியல் படமாக மாற்றப்படுகிறது.
• ECG/EEG பகுப்பாய்வு: மூளை அலைகள் (EEG) அல்லது இதயத் துடிப்புகளின் (ECG) அதிர்வெண் ஸ்பெக்ட்ரத்தை பகுப்பாய்வு செய்வதன் மூலம், மருத்துவர்கள் சில நிலைமைகளைக் குறிக்கும் வடிவங்களை அடையாளம் காண முடியும். உதாரணமாக, ஒரு EEG இல் உள்ள குறிப்பிட்ட அதிர்வெண் பட்டைகள் தூக்கத்தின் வெவ்வேறு நிலைகள் அல்லது கால்-கை வலிப்பு இருப்புடன் தொடர்புடையவை.

படச் செயலாக்கம்

ஒரு 1D சிக்னலை அதிர்வெண்களாகப் பிரிக்க முடிவது போலவே, ஒரு 2D படத்தை வெவ்வேறு அதிர்வெண்கள் மற்றும் நோக்குநிலைகளின் 2D சைன்/கோசைன் அலைகளாகப் பிரிக்கலாம்.

• படச் சுருக்கம் (JPEG): JPEG வடிவம் ஃபோரியர் உருமாற்றத்தின் (குறிப்பாக, டிஸ்கிரீட் கோசைன் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் எனப்படும் தொடர்புடைய உருமாற்றம்) ஒரு தலைசிறந்த பயன்பாடாகும். ஒரு படம் சிறிய தொகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டு, ஒவ்வொரு தொகுதியும் அதிர்வெண் களத்திற்கு மாற்றப்படுகிறது. உயர் அதிர்வெண் கூறுகள், மனிதக் கண்ணுக்குக் குறைவாகத் தெரியும் நுணுக்கமான விவரங்களுடன் தொடர்புடையவை, குறைந்த துல்லியத்துடன் சேமிக்கப்படலாம் அல்லது முற்றிலும் நிராகரிக்கப்படலாம். இது குறைந்தபட்சம் உணரக்கூடிய தர இழப்புடன் மிகப்பெரிய கோப்பு அளவு குறைப்பிற்கு அனுமதிக்கிறது.
• வடிகட்டுதல் மற்றும் மேம்படுத்துதல்: அதிர்வெண் களத்தில், குறைந்த அதிர்வெண்கள் ஒரு படத்தில் மென்மையான, படிப்படியான மாற்றங்களுடன் தொடர்புடையவை, அதே நேரத்தில் உயர் அதிர்வெண்கள் கூர்மையான விளிம்புகள் மற்றும் விவரங்களுடன் தொடர்புடையவை. ஒரு படத்தை மங்கலாக்க, அதிர்வெண் களத்தில் ஒரு லோ-பாஸ் ஃபில்டரைப் பயன்படுத்தலாம் (உயர் அதிர்வெண்களை அகற்றுதல்). ஒரு படத்தை கூர்மையாக்க, உயர் அதிர்வெண்களை அதிகரிக்கலாம்.

முக்கியக் கருத்துக்கள் மற்றும் பொதுவான இடர்ப்பாடுகள்

ஃபோரியர் உருமாற்றத்தை திறம்படப் பயன்படுத்த, சில அடிப்படைக் கொள்கைகள் மற்றும் சாத்தியமான சவால்கள் குறித்து அறிந்திருப்பது முக்கியம்.

நைக்விஸ்ட்-ஷானன் மாதிரித் தேற்றம்

இது டிஜிட்டல் சிக்னல் செயலாக்கத்தில் மிக முக்கியமான ஒற்றை விதி. ஒரு சிக்னலை டிஜிட்டல் முறையில் துல்லியமாகப் பிடிக்க, உங்கள் மாதிரி விகிதம் சிக்னலில் இருக்கும் மிக உயர்ந்த அதிர்வெண்ணை விட குறைந்தது இரண்டு மடங்கு இருக்க வேண்டும் என்று அது கூறுகிறது. இந்த குறைந்தபட்ச மாதிரி விகிதம் நைக்விஸ்ட் விகிதம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

இந்த விதியை மீறினால், அலியாசிங் எனப்படும் ஒரு நிகழ்வு ஏற்படுகிறது. போதுமான வேகமாக மாதிரிகள் எடுக்கப்படாத உயர் அதிர்வெண்கள் 'மடிந்து' உங்கள் தரவுகளில் குறைந்த அதிர்வெண்களாகத் தவறாகத் தோன்றும், இது செயல்தவிர்க்க முடியாத ஒரு மாயையை உருவாக்கும். இதனால்தான் சிடிக்கள் 44.1 kHz மாதிரி விகிதத்தைப் பயன்படுத்துகின்றன—இது மனிதர்கள் கேட்கக்கூடிய மிக உயர்ந்த அதிர்வெண்ணை (சுமார் 20 kHz) விட இரண்டு மடங்கு அதிகமாகும், இதனால் கேட்கக்கூடிய வரம்பில் அலியாசிங்கைத் தடுக்கிறது.

விண்டோயிங் மற்றும் ஸ்பெக்ட்ரல் லீக்கேஜ்

நீங்கள் வழங்கும் வரையறுக்கப்பட்ட தரவுத் துண்டு ஒரு முடிவில்லாமல் மீண்டும் மீண்டும் வரும் சிக்னலின் ஒரு காலம் என்று FFT கருதுகிறது. உங்கள் சிக்னல் அந்தத் துண்டிற்குள் சரியாக காலமுறையில் இல்லாவிட்டால் (இது கிட்டத்தட்ட எப்போதும் அப்படித்தான்), இந்த அனுமானம் எல்லைகளில் கூர்மையான தொடர்ச்சியின்மைகளை உருவாக்குகிறது. இந்த செயற்கையான கூர்மையான விளிம்புகள் உங்கள் ஸ்பெக்ட்ரத்தில் போலியான அதிர்வெண்களை அறிமுகப்படுத்துகின்றன, இது ஸ்பெக்ட்ரல் லீக்கேஜ் எனப்படும் ஒரு நிகழ்வாகும். இது நீங்கள் அளவிட முயற்சிக்கும் உண்மையான அதிர்வெண்களை மறைக்கக்கூடும்.

இதற்குத் தீர்வு விண்டோயிங் ஆகும். ஒரு விண்டோ செயல்பாடு (ஹான் அல்லது ஹேமிங் விண்டோ போன்றவை) நேரக் களத் தரவுகளுக்குப் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு கணிதச் செயல்பாடாகும். இது சிக்னலை ஆரம்பத்திலும் முடிவிலும் மெதுவாக பூஜ்ஜியத்திற்குத் தணித்து, செயற்கையான தொடர்ச்சியின்மையைக் குறைத்து, ஸ்பெக்ட்ரல் லீக்கேஜை கணிசமாகக் குறைக்கிறது, இதன் விளைவாக ஒரு சுத்தமான, மிகவும் துல்லியமான ஸ்பெக்ட்ரம் கிடைக்கிறது.

கட்டம் மற்றும் பருமன்

குறிப்பிட்டபடி, ஒரு FFT-இன் வெளியீடு சிக்கலான எண்களின் தொடராகும். இவற்றிலிருந்து, ஒவ்வொரு அதிர்வெண்ணுக்கும் இரண்டு முக்கியத் தகவல்களைப் பெறுகிறோம்:

• பருமன் (Magnitude): இது நாம் வழக்கமாக வரையும் விஷயம். இது அந்த அதிர்வெண்ணின் வலிமை அல்லது வீச்சைக் கூறுகிறது.
• கட்டம் (Phase): இது அந்த அதிர்வெண்ணுக்கான சைன் அலையின் தொடக்க நிலை அல்லது ஆஃப்செட்டைக் கூறுகிறது.

பருமன் ஸ்பெக்ட்ரம் பெரும்பாலும் பகுப்பாய்வின் மையமாக இருந்தாலும், கட்டம் மிகவும் முக்கியமானது. சரியான கட்டத் தகவல் இல்லாமல், அசல் நேரக் கள சிக்னலை நீங்கள் புனரமைக்க முடியாது. இரண்டு சிக்னல்கள் ஒரே பருமன் ஸ்பெக்ட்ரத்தைக் கொண்டிருக்கலாம், ஆனால் அவற்றின் கட்டத் தகவல் வேறுபட்டிருப்பதால் முற்றிலும் வித்தியாசமாக ஒலிக்கலாம் அல்லது தோன்றலாம். கட்டம் சிக்னலின் அம்சங்களின் அனைத்து நேர மற்றும் நிலைத் தகவல்களையும் கொண்டுள்ளது.

செயல்படுத்தக்கூடிய நுண்ணறிவு: ஃபோரியர் பகுப்பாய்வைத் தொடங்குவது எப்படி

ஃபோரியர் உருமாற்றத்தைப் பயன்படுத்தத் தொடங்க நீங்கள் ஒரு கணிதவியலாளராக இருக்க வேண்டியதில்லை. சக்திவாய்ந்த, மிகவும் உகந்ததாக்கப்பட்ட FFT நூலகங்கள் கிட்டத்தட்ட ஒவ்வொரு முக்கிய நிரலாக்க மற்றும் தரவு பகுப்பாய்வு சூழலிலும் கிடைக்கின்றன.

• பைத்தான்: `numpy.fft` தொகுதி (எ.கா., `np.fft.fft()`) மற்றும் மேலும் விரிவான `scipy.fft` தொகுதி ஆகியவை அறிவியல் கணக்கீட்டிற்கான தொழில் தரநிலைகளாகும்.
• MATLAB: அதன் சிக்னல் செயலாக்கக் கருவிகளின் மையமாக இருக்கும் `fft()` மற்றும் `ifft()` உள்ளமைக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது.
• R: `stats` தொகுப்பு நேரத் தொடர் பகுப்பாய்விற்கான `fft()` செயல்பாட்டை உள்ளடக்கியது.

ஒரு பொதுவான பணிப்பாய்வு இப்படி இருக்கலாம்:

1. ஒரு சிக்னலைப் பெறுதல் அல்லது உருவாக்குதல்: ஒரு ஆடியோ கோப்பை ஏற்றவும், பங்குத் தரவுகளின் CSV-ஐ ஏற்றவும், அல்லது நீங்களே ஒரு சிக்னலை உருவாக்கவும் (எ.கா., சில சைன் அலைகளின் கலவை மற்றும் சில இரைச்சலுடன்).
2. ஒரு விண்டோ செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துதல்: ஸ்பெக்ட்ரல் லீக்கேஜைக் குறைக்க உங்கள் சிக்னலை ஒரு விண்டோ செயல்பாட்டால் பெருக்கவும் (எ.கா., `numpy.hanning()`).
3. FFT-ஐக் கணக்கிடுதல்: உங்கள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட நூலகத்திலிருந்து FFT செயல்பாட்டை உங்கள் விண்டோ செய்யப்பட்ட சிக்னலுக்குப் பயன்படுத்தவும்.
4. பருமனை கணக்கிடுதல்: FFT வெளியீடு சிக்கலான எண்களாக இருக்கும். பருமனைப் பெற அவற்றின் தனி மதிப்பை (absolute value) கணக்கிடுங்கள் (எ.கா., `np.abs()`).
5. அதிர்வெண் அச்சினை உருவாக்குதல்: உங்கள் x-அச்சுக்கு தொடர்புடைய அதிர்வெண் மதிப்புகளின் ஒரு வரிசையை உருவாக்கவும். அதிர்வெண்கள் 0 முதல் நைக்விஸ்ட் அதிர்வெண் வரை இருக்கும்.
6. வரைந்து பகுப்பாய்வு செய்தல்: ஸ்பெக்ட்ரத்தைக் காட்சிப்படுத்த அதிர்வெண் அச்சிற்கு எதிராக பருமனை வரையவும். உச்சங்கள், வடிவங்கள் மற்றும் இரைச்சல் தளங்களைத் தேடுங்கள்.

முடிவுரை: ஒரு வித்தியாசமான கண்ணோட்டத்தின் நீடித்த சக்தி

ஃபோரியர் உருமாற்றம் ஒரு கணிதக் கருவியை விட மேலானது; அது ஒரு புதிய பார்வை. சிக்கலான நிகழ்வுகளை எளிய, அடிப்படை அதிர்வுகளின் ஒரு சிம்பொனியாகப் புரிந்து கொள்ளலாம் என்று அது நமக்குக் கற்பிக்கிறது. இது நேரக் களத்தில் ஒரு சிக்கலான, குழப்பமான தோற்றமுடைய சிக்னலை எடுத்து, அதை ஒரு ஒழுங்கான, வெளிப்படுத்தும் அதிர்வெண்களின் ஸ்பெக்ட்ரமாக மாற்றுகிறது.

இந்த வார்த்தைகளை உங்கள் சாதனத்திற்குக் கொண்டு செல்லும் Wi-Fi சிக்னலில் இருந்து, மனித உடலுக்குள் பார்க்கும் மருத்துவ ஸ்கேன்கள் வரை, நிதிச் சந்தைகளைப் புரிந்துகொள்ள உதவும் வழிமுறைகள் வரை, ஜோசப் ஃபோரியரின் மரபு நமது நவீன தொழில்நுட்ப உலகின் கட்டமைப்பில் பதிக்கப்பட்டுள்ளது. அதிர்வெண்களின் அடிப்படையில் சிந்திக்கக் கற்றுக்கொள்வதன் மூலம், நாம் ஒரு சக்திவாய்ந்த கண்ணோட்டத்தைத் திறக்கிறோம், இது நம்மைச் சுற்றியுள்ள தரவுகளின் மேற்பரப்பிற்கு அடியில் இருக்கும் மறைக்கப்பட்ட ஒழுங்கையும் கட்டமைப்பையும் காண உதவுகிறது.