ஃபைபோனச்சி தொடர்: இயற்கையின் எண் வடிவங்களை வெளிப்படுத்துதல்

ஃபைபோனச்சி தொடர் கணிதத்தின் ஒரு அடித்தளமாகும், இது இயற்கை உலகம் முழுவதும் மறைந்துள்ள எண் வடிவங்களை வெளிப்படுத்துகிறது. இது வெறும் ஒரு தத்துவார்த்த கருத்து அல்ல; கலை மற்றும் கட்டிடக்கலை முதல் கணினி அறிவியல் மற்றும் நிதி வரை பல்வேறு துறைகளில் நடைமுறைப் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. இந்த ஆய்வு, ஃபைபோனச்சி தொடரின் கவர்ச்சிகரமான தோற்றம், கணிதப் பண்புகள் மற்றும் பரவலான வெளிப்பாடுகளை ஆராய்கிறது.

ஃபைபோனச்சி தொடர் என்றால் என்ன?

ஃபைபோனச்சி தொடர் என்பது ஒரு எண் வரிசையாகும், இதில் ஒவ்வொரு எண்ணும் அதற்கு முந்தைய இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகையாகும், பொதுவாக 0 மற்றும் 1 இலிருந்து தொடங்குகிறது. எனவே, தொடர் பின்வருமாறு தொடங்குகிறது:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

கணித ரீதியாக, இந்தத் தொடரை மறுநிகழ்வு தொடர்பு மூலம் வரையறுக்கலாம்:

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

இதில் F(0) = 0 மற்றும் F(1) = 1.

வரலாற்றுச் சூழல்

இந்தத் தொடர், சுமார் 1170 முதல் 1250 வரை வாழ்ந்த இத்தாலிய கணிதவியலாளரான லியோனார்டோ பிசானோ (ஃபைபோனச்சி என்றும் அழைக்கப்படுபவர்) பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. ஃபைபோனச்சி இந்தத் தொடரை மேற்கு ஐரோப்பிய கணிதத்திற்கு தனது 1202 ஆம் ஆண்டு புத்தகமான லிபர் அபாசி (கணக்கீட்டு புத்தகம்) மூலம் அறிமுகப்படுத்தினார். இந்தத் தொடர் பல நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்பே இந்திய கணிதத்தில் அறியப்பட்டிருந்தாலும், ஃபைபோனச்சியின் பணி அதை பிரபலப்படுத்தி அதன் முக்கியத்துவத்தை எடுத்துக்காட்டியது.

ஃபைபோனச்சி முயல் எண்ணிக்கையின் வளர்ச்சியைப் பற்றிய ஒரு சிக்கலை முன்வைத்தார்: ஒரு ஜோடி முயல்கள் ஒவ்வொரு மாதமும் ஒரு புதிய ஜோடியை உருவாக்குகின்றன, அது இரண்டாவது மாதத்திலிருந்து இனப்பெருக்கம் செய்யத் தொடங்குகிறது. ஒவ்வொரு மாதமும் உள்ள முயல்களின் ஜோடிகளின் எண்ணிக்கை ஃபைபோனச்சி தொடரைப் பின்பற்றுகிறது.

கணிதப் பண்புகள் மற்றும் தங்க விகிதம்

ஃபைபோனச்சி தொடர் பல சுவாரஸ்யமான கணிதப் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது. அவற்றில் மிகவும் குறிப்பிடத்தக்க ஒன்று தங்க விகிதத்துடனான அதன் நெருங்கிய தொடர்பு ஆகும். இது பெரும்பாலும் கிரேக்க எழுத்தான பை (φ) மூலம் குறிக்கப்படுகிறது, இதன் மதிப்பு தோராயமாக 1.6180339887... ஆகும்.

தங்க விகிதம்

தங்க விகிதம் என்பது ஒரு விகிதமுறா எண் ஆகும், இது கணிதம், கலை மற்றும் இயற்கையில் அடிக்கடி தோன்றும். இது இரண்டு அளவுகளின் விகிதமாக வரையறுக்கப்படுகிறது, அதாவது அவற்றின் விகிதம், அவற்றின் கூட்டுத்தொகைக்கும் இரண்டு அளவுகளில் பெரியதற்கும் உள்ள விகிதத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.

φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.6180339887...

நீங்கள் ஃபைபோனச்சி தொடரில் முன்னேறும்போது, அடுத்தடுத்த எண்களின் விகிதம் தங்க விகிதத்தை நெருங்குகிறது. உதாரணமாக:

• 3 / 2 = 1.5
• 5 / 3 ≈ 1.667
• 8 / 5 = 1.6
• 13 / 8 = 1.625
• 21 / 13 ≈ 1.615
• 34 / 21 ≈ 1.619

தங்க விகிதத்தை நோக்கிய இந்த ஒருங்கிணைப்பு ஃபைபோனச்சி தொடரின் ஒரு அடிப்படைப் பண்பாகும்.

தங்கச் சுழல்

தங்கச் சுழல் என்பது ஒரு மடக்கைச் சுழல் ஆகும், அதன் வளர்ச்சி காரணி தங்க விகிதத்திற்கு சமம். இதை ஃபைபோனச்சி ஓடுகளில் உள்ள சதுரங்களின் எதிர் மூலைகளை இணைக்கும் வட்ட வளைவுகளை வரைவதன் மூலம் தோராயமாக கணக்கிடலாம். ஒவ்வொரு சதுரமும் ஒரு ஃபைபோனச்சி எண்ணுக்கு இணையான பக்க நீளத்தைக் கொண்டுள்ளது.

சூரியகாந்தியில் உள்ள விதைகளின் அமைப்பு, விண்மீன் திரள்களின் சுழல்கள் மற்றும் கடல் சிப்பிகளின் வடிவம் போன்ற எண்ணற்ற இயற்கை நிகழ்வுகளில் தங்கச் சுழல் காணப்படுகிறது.

இயற்கையில் ஃபைபோனச்சி தொடர்

ஃபைபோனச்சி தொடரும் தங்க விகிதமும் வியக்கத்தக்க வகையில் இயற்கை உலகில் பரவலாகக் காணப்படுகின்றன. அவை பல்வேறு உயிரியல் கட்டமைப்புகள் மற்றும் அமைப்புகளில் வெளிப்படுகின்றன.

தாவர கட்டமைப்புகள்

தாவரங்களில் இலைகள், இதழ்கள் மற்றும் விதைகளின் அமைப்பே மிகவும் பொதுவான உதாரணமாகும். பல தாவரங்கள் ஃபைபோனச்சி எண்களுக்கு இணங்க சுழல் வடிவங்களைக் காட்டுகின்றன. இந்த அமைப்பு தாவரத்தின் சூரிய ஒளி வெளிப்பாட்டை மேம்படுத்துகிறது மற்றும் விதைகளுக்கான இடப் பயன்பாட்டை அதிகரிக்கிறது.

• சூரியகாந்தி: ஒரு சூரியகாந்தியின் தலையில் உள்ள விதைகள் இரண்டு சுழல் தொகுப்புகளாக அமைக்கப்பட்டிருக்கும், ஒன்று கடிகார திசையிலும் மற்றொன்று எதிர்-கடிகார திசையிலும் சுழல்கிறது. சுழல்களின் எண்ணிக்கை பெரும்பாலும் அடுத்தடுத்த ஃபைபோனச்சி எண்களாக இருக்கும் (எ.கா., 34 மற்றும் 55, அல்லது 55 மற்றும் 89).
• பைன் கூம்புகள்: பைன் கூம்புகளின் செதில்கள் சூரியகாந்தியைப் போன்ற ஒரு சுழல் வடிவத்தில் அமைக்கப்பட்டிருக்கும், இதுவும் ஃபைபோனச்சி எண்களைப் பின்பற்றுகிறது.
• பூ இதழ்கள்: பல பூக்களில் உள்ள இதழ்களின் எண்ணிக்கை ஒரு ஃபைபோனச்சி எண்ணாகும். உதாரணமாக, அல்லிகள் பெரும்பாலும் 3 இதழ்களையும், பட்டர்கப்கள் 5, டெல்பினியம்கள் 8, சாமந்திப் பூக்கள் 13, ஆஸ்டர்கள் 21, மற்றும் டெய்ஸி பூக்கள் 34, 55, அல்லது 89 இதழ்களையும் கொண்டிருக்கலாம்.
• மரங்களின் கிளைகள்: சில மரங்களின் கிளைவிடும் முறைகள் ஃபைபோனச்சி தொடரைப் பின்பற்றுகின்றன. பிரதான தண்டு ஒரு கிளையாகப் பிரிகிறது, பின்னர் அந்தக் கிளைகளில் ஒன்று இரண்டாகப் பிரிகிறது, இப்படியே ஃபைபோனச்சி முறையைப் பின்பற்றி தொடர்கிறது.

விலங்குகளின் உடற்கூறியல்

தாவரங்களில் இருப்பது போல் வெளிப்படையாக இல்லாவிட்டாலும், ஃபைபோனச்சி தொடரையும் தங்க விகிதத்தையும் விலங்குகளின் உடற்கூறியலிலும் காணலாம்.

• ஓடுகள்: நாட்டிலஸ் மற்றும் பிற மெல்லுடலிகளின் ஓடுகள் பெரும்பாலும் தங்கச் சுழலை ஒத்த ஒரு மடக்கைச் சுழலைக் காட்டுகின்றன.
• உடல் விகிதாச்சாரங்கள்: சில சந்தர்ப்பங்களில், மனிதர்கள் உட்பட விலங்குகளின் உடல் விகிதாச்சாரங்கள் தங்க விகிதத்துடன் தொடர்புபடுத்தப்பட்டுள்ளன, இருப்பினும் இது விவாதத்திற்குரிய ஒரு விஷயமாகும்.

விண்மீன் திரள்கள் மற்றும் வானிலை வடிவங்களில் சுழல்கள்

ஒரு பெரிய அளவில், விண்மீன் திரள்கள் மற்றும் சூறாவளி போன்ற வானிலை நிகழ்வுகளில் சுழல் வடிவங்கள் காணப்படுகின்றன. இந்த சுழல்கள் தங்கச் சுழலின் சரியான எடுத்துக்காட்டுகள் அல்ல என்றாலும், அவற்றின் வடிவங்கள் பெரும்பாலும் அதை ஒத்திருக்கின்றன.

கலை மற்றும் கட்டிடக்கலையில் ஃபைபோனச்சி தொடர்

கலைஞர்களும் கட்டிடக் கலைஞர்களும் நீண்ட காலமாக ஃபைபோனச்சி தொடர் மற்றும் தங்க விகிதத்தால் ஈர்க்கப்பட்டுள்ளனர். அழகியல் ரீதியாகவும் இணக்கமாகவும் இருக்கும் படைப்புகளை உருவாக்க அவர்கள் இந்தக் கொள்கைகளை தங்கள் பணிகளில் இணைத்துள்ளனர்.

தங்கச் செவ்வகம்

தங்கச் செவ்வகம் என்பது அதன் பக்கங்கள் தங்க விகிதத்தில் (தோராயமாக 1:1.618) இருக்கும் ஒரு செவ்வகமாகும். இது பார்வைக்கு மிகவும் இனிமையான செவ்வகங்களில் ஒன்றாக நம்பப்படுகிறது. பல கலைஞர்களும் கட்டிடக் கலைஞர்களும் தங்கள் வடிவமைப்புகளில் தங்கச் செவ்வகங்களைப் பயன்படுத்தியுள்ளனர்.

கலையில் எடுத்துக்காட்டுகள்

• லியோனார்டோ டா வின்சியின் மோனா லிசா: சில கலை வரலாற்றாசிரியர்கள் மோனா லிசாவின் அமைப்பு தங்கச் செவ்வகங்களையும் தங்க விகிதத்தையும் உள்ளடக்கியுள்ளது என்று வாதிடுகின்றனர். கண்கள் மற்றும் கன்னம் போன்ற முக்கிய அம்சங்களின் இடம் தங்க விகிதாச்சாரங்களுடன் பொருந்தக்கூடும்.
• மைக்கலாஞ்சலோவின் ஆதாமின் படைப்பு: சிஸ்டைன் தேவாலயத்தில் உள்ள இந்த சுவரோவியத்தின் அமைப்பும் சிலரால் தங்க விகிதத்தை உள்ளடக்கியதாக நம்பப்படுகிறது.
• பிற கலைப்படைப்புகள்: வரலாறு முழுவதும் பல கலைஞர்கள் சமநிலை மற்றும் நல்லிணக்கத்தை அடைய தங்கள் படைப்புகளில் தங்க விகிதத்தை உணர்ந்தோ அல்லது உணராமலோ பயன்படுத்தியுள்ளனர்.

கட்டிடக்கலை எடுத்துக்காட்டுகள்

• பார்த்தினான் (கிரீஸ்): ஒரு பண்டைய கிரேக்கக் கோயிலான பார்த்தினானின் பரிமாணங்கள் தங்க விகிதத்தை ஒத்திருப்பதாகக் கூறப்படுகிறது.
• கிசாவின் பெரிய பிரமிட் (எகிப்து): சில கோட்பாடுகள் பெரிய பிரமிடின் விகிதாச்சாரங்களும் தங்க விகிதத்தை உள்ளடக்கியதாகக் கூறுகின்றன.
• நவீன கட்டிடக்கலை: பல நவீன கட்டிடக் கலைஞர்கள் பார்வைக்கு ஈர்க்கும் கட்டமைப்புகளை உருவாக்க தங்கள் வடிவமைப்புகளில் தங்க விகிதத்தைப் பயன்படுத்துவதைத் தொடர்கின்றனர்.

கணினி அறிவியலில் பயன்பாடுகள்

ஃபைபோனச்சி தொடர் கணினி அறிவியலில், குறிப்பாக நெறிமுறைகள் மற்றும் தரவுக் கட்டமைப்புகளில் நடைமுறைப் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது.

ஃபைபோனச்சி தேடல் நுட்பம்

ஃபைபோனச்சி தேடல் என்பது ஒரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட வரிசையில் ஒரு உறுப்பைக் கண்டுபிடிக்க ஃபைபோனச்சி எண்களைப் பயன்படுத்தும் ஒரு தேடல் நெறிமுறையாகும். இது இருகூறு தேடலைப் போன்றது, ஆனால் வரிசையை பாதியாகப் பிரிப்பதற்குப் பதிலாக ஃபைபோனச்சி எண்களின் அடிப்படையில் பிரிவுகளாகப் பிரிக்கிறது. ஃபைபோனச்சி தேடல் சில சூழ்நிலைகளில் இருகூறு தேடலை விட திறமையானதாக இருக்கும், குறிப்பாக நினைவகத்தில் சமமாக விநியோகிக்கப்படாத வரிசைகளைக் கையாளும் போது.

ஃபைபோனச்சி குவியல்கள்

ஃபைபோனச்சி குவியல்கள் என்பது ஒரு வகை குவியல் தரவுக் கட்டமைப்பாகும், இது செருகுதல், குறைந்தபட்ச உறுப்பைக் கண்டறிதல் மற்றும் ஒரு முக்கிய மதிப்பை குறைத்தல் போன்ற செயல்பாடுகளுக்கு மிகவும் திறமையானது. அவை டிஜிக்ஸ்ட்ராவின் குறுகிய பாதை நெறிமுறை மற்றும் பிரிமின் குறைந்தபட்ச பரவல் மரம் நெறிமுறை உள்ளிட்ட பல்வேறு நெறிமுறைகளில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

சீரற்ற எண் உருவாக்கம்

ஃபைபோனச்சி எண்கள் போலி-சீரற்ற தொடர்களை உருவாக்க சீரற்ற எண் ஜெனரேட்டர்களில் பயன்படுத்தப்படலாம். இந்த ஜெனரேட்டர்கள் உருவகப்படுத்துதல்கள் மற்றும் சீரற்ற தன்மை தேவைப்படும் பிற பயன்பாடுகளில் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

நிதியில் பயன்பாடுகள்

நிதியில், ஃபைபோனச்சி எண்கள் மற்றும் தங்க விகிதம் தொழில்நுட்ப பகுப்பாய்வில் சாத்தியமான ஆதரவு மற்றும் எதிர்ப்பு நிலைகளை அடையாளம் காணவும், விலை நகர்வுகளை கணிக்கவும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

ஃபைபோனச்சி பின்வாங்கல்கள்

ஃபைபோனச்சி பின்வாங்கல் நிலைகள் என்பது ஒரு விலை வரைபடத்தில் உள்ள கிடைமட்ட கோடுகளாகும், அவை ஆதரவு அல்லது எதிர்ப்பின் சாத்தியமான பகுதிகளைக் குறிக்கின்றன. அவை 23.6%, 38.2%, 50%, 61.8%, மற்றும் 100% போன்ற ஃபைபோனச்சி விகிதங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. வர்த்தகர்கள் இந்த நிலைகளை வர்த்தகங்களுக்கான சாத்தியமான நுழைவு மற்றும் வெளியேறும் புள்ளிகளை அடையாளம் காண பயன்படுத்துகின்றனர்.

ஃபைபோனச்சி நீட்டிப்புகள்

ஃபைபோனச்சி நீட்டிப்பு நிலைகள் தற்போதைய விலை வரம்பிற்கு அப்பால் சாத்தியமான விலை இலக்குகளைக் கணிக்கப் பயன்படுகின்றன. அவையும் ஃபைபோனச்சி விகிதங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டவை மற்றும் ஒரு பின்வாங்கலுக்குப் பிறகு விலை எங்கு நகரக்கூடும் என்பதைக் கண்டறிய வர்த்தகர்களுக்கு உதவக்கூடும்.

எலியட் அலை கோட்பாடு

எலியட் அலை கோட்பாடு என்பது சந்தை விலைகளில் வடிவங்களை அடையாளம் காண ஃபைபோனச்சி எண்களைப் பயன்படுத்தும் ஒரு தொழில்நுட்ப பகுப்பாய்வு முறையாகும். சந்தை விலைகள் அலைகள் எனப்படும் குறிப்பிட்ட வடிவங்களில் நகர்கின்றன என்று இந்த கோட்பாடு கூறுகிறது, அவற்றை ஃபைபோனச்சி விகிதங்களைப் பயன்படுத்தி பகுப்பாய்வு செய்யலாம்.

முக்கிய குறிப்பு: ஃபைபோனச்சி பகுப்பாய்வு நிதியில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்பட்டாலும், சந்தை நகர்வுகளைக் கணிப்பதற்கான ஒரு முட்டாள்தனமற்ற முறை அல்ல என்பதை நினைவில் கொள்வது அவசியம். இது மற்ற தொழில்நுட்ப மற்றும் அடிப்படை பகுப்பாய்வு நுட்பங்களுடன் இணைந்து பயன்படுத்தப்பட வேண்டும்.

விமர்சனங்கள் மற்றும் தவறான கருத்துக்கள்

ஃபைபோனச்சி தொடர் மீதான பரவலான ஈர்ப்பு இருந்தபோதிலும், சில பொதுவான விமர்சனங்கள் மற்றும் தவறான கருத்துக்களைக் குறிப்பிடுவது முக்கியம்.

அதிகப்படியான விளக்கம்

ஒரு பொதுவான விமர்சனம் என்னவென்றால், ஃபைபோனச்சி தொடரும் தங்க விகிதமும் பெரும்பாலும் மிகைப்படுத்தப்பட்டு மிகத் தாராளமாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அவை பல இயற்கை நிகழ்வுகளில் தோன்றினாலும், அவை உண்மையாக இல்லாத சூழ்நிலைகளில் வடிவங்களை திணிப்பதைத் தவிர்ப்பது முக்கியம். தொடர்பு என்பது காரணத்தைக் குறிக்காது.

தேர்வு சார்பு

மற்றொரு கவலை தேர்வு சார்பு. மக்கள் ஃபைபோனச்சி தொடர் தோன்றும் நிகழ்வுகளைத் தேர்ந்தெடுத்து முன்னிலைப்படுத்தலாம் மற்றும் அது இல்லாதவற்றை புறக்கணிக்கலாம். இந்த விஷயத்தை ஒரு விமர்சன மற்றும் புறநிலை மனநிலையுடன் அணுகுவது முக்கியம்.

தோராய வாதம்

இயற்கையிலும் கலையிலும் காணப்படும் விகிதங்கள் தங்க விகிதத்தின் தோராயங்களே என்றும், இலட்சிய மதிப்பிலிருந்து ஏற்படும் விலகல்கள் தொடரின் பொருத்தத்தைக் கேள்விக்குள்ளாக்கும் அளவுக்கு குறிப்பிடத்தக்கவை என்றும் சிலர் வாதிடுகின்றனர். இருப்பினும், இந்த எண்களும் விகிதாச்சாரங்களும் பல துறைகளில் அடிக்கடி தோன்றுவது, அதன் வெளிப்பாடு கணித ரீதியாக சரியானதாக இல்லாவிட்டாலும், அதன் முக்கியத்துவத்திற்கு வாதிடுகிறது.

முடிவுரை

ஃபைபோனச்சி தொடர் ஒரு கணித ஆர்வம் மட்டுமல்ல; இது இயற்கை உலகத்தில் ஊடுருவி, பல நூற்றாண்டுகளாக கலைஞர்கள், கட்டிடக் கலைஞர்கள் மற்றும் விஞ்ஞானிகளை ஊக்கப்படுத்திய ஒரு அடிப்படை வடிவமாகும். பூக்களில் உள்ள இதழ்களின் அமைப்பிலிருந்து விண்மீன் திரள்களின் சுழல்கள் வரை, ஃபைபோனச்சி தொடரும் தங்க விகிதமும் பிரபஞ்சத்தின் உள்ளார்ந்த ஒழுங்கு மற்றும் அழகைப் பற்றிய ஒரு பார்வையை வழங்குகின்றன. இந்தக் கருத்துக்களைப் புரிந்துகொள்வது உயிரியல் மற்றும் கலை முதல் கணினி அறிவியல் மற்றும் நிதி வரை பல்வேறு துறைகளில் மதிப்புமிக்க நுண்ணறிவுகளை வழங்க முடியும். இந்த விஷயத்தை ஒரு விமர்சனக் கண்ணுடன் அணுகுவது அவசியமானாலும், ஃபைபோனச்சி தொடரின் நீடித்த இருப்பு அதன் ஆழ்ந்த முக்கியத்துவத்தைப் பேசுகிறது.

மேலும் ஆராய

ஃபைபோனச்சி தொடரை ஆழமாக ஆராய, பின்வரும் ஆதாரங்களைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள்:

• புத்தகங்கள்:
  • The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number by Mario Livio
  • Fibonacci Numbers by Nicolai Vorobiev
• இணையதளங்கள்:
  • ஃபைபோனச்சி சங்கம்: https://www.fibonacciassociation.org/
  • பிளஸ் இதழ்: https://plus.maths.org/content/fibonacci-numbers-and-golden-section

தொடர்ந்து ஆராய்ந்து விசாரிப்பதன் மூலம், இந்த குறிப்பிடத்தக்க கணிதத் தொடரின் ரகசியங்களையும் பயன்பாடுகளையும் நீங்கள் மேலும் திறக்கலாம்.