எண் கோட்பாடு: பகா எண்களை வெளிப்படுத்துதல் மற்றும் நவீன குறியாக்கவியலில் அவற்றின் பங்கு

எண் கோட்பாடு, பெரும்பாலும் "கணிதத்தின் ராணி" என்று கருதப்படுவது, முழு எண்கள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகளைப் படிப்பதற்கு முதன்மையாக அர்ப்பணிக்கப்பட்ட தூய கணிதத்தின் ஒரு கிளை ஆகும். இது சுருக்கமாகத் தோன்றினாலும், எண் கோட்பாடு பல நிஜ-உலகப் பயன்பாடுகளுக்கு அடிப்படையாக உள்ளது, குறிப்பாக குறியாக்கவியல் துறையில். இந்தக் கட்டுரை எண் கோட்பாட்டின் அடிப்படைக் கருத்துக்களை, குறிப்பாக பகா எண்களை ஆராய்ந்து, நமது டிஜிட்டல் உலகைப் பாதுகாப்பதில் அவற்றின் முக்கியப் பங்கை விளக்குகிறது.

எண் கோட்பாடு என்றால் என்ன?

எண் கோட்பாடு பரந்த அளவிலான தலைப்புகளை உள்ளடக்கியது, அவற்றுள்:

• வகுபடும் தன்மை மற்றும் பகா எண்கள்
• ஒன்றிசைவுகள் மற்றும் மட்டு எண்கணிதம்
• டியோபான்டைன் சமன்பாடுகள்
• இயற்கணித எண் கோட்பாடு
• பகுப்பாய்வு எண் கோட்பாடு

அதன் மையத்தில், எண் கோட்பாடு முழு எண்களின் பண்புகள் மற்றும் உறவுகளை ஆராய்கிறது. அதன் நேர்த்தியான சான்றுகள் மற்றும் கணிதம் மற்றும் கணினி அறிவியலின் பிற பகுதிகளுடனான எதிர்பாராத தொடர்புகள் இதை ஒரு வசீகரிக்கும் பாடமாக ஆக்குகின்றன.

பகா எண்கள்: முழு எண்களின் கட்டுமானத் தொகுதிகள்

ஒரு பகா எண் என்பது 1-ஐ விடப் பெரிய ஒரு இயல் எண் ஆகும், இது 1 மற்றும் தன்னையன்றி வேறு எந்த நேர்மறை வகுப்பிகளையும் கொண்டிருக்காது. பகா எண்களின் எடுத்துக்காட்டுகள் 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 மற்றும் பல. பகா எண்களாக இல்லாத எண்கள் பகு எண்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

பகா எண்கள் அடிப்படையானவை, ஏனெனில் அவை மற்ற அனைத்து முழு எண்களின் கட்டுமானத் தொகுதிகளாகும். எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம் (Fundamental Theorem of Arithmetic) கூறுகிறது, 1-ஐ விடப் பெரிய ஒவ்வொரு முழு எண்ணையும் காரணிகளின் வரிசையைத் தவிர்த்து, பகா எண்களின் பெருக்கலாகத் தனித்துவமாக வெளிப்படுத்த முடியும். எடுத்துக்காட்டாக:

12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3

30 = 2 × 3 × 5

100 = 2 × 2 × 5 × 5 = 2² × 5²

இந்தத் தனித்துவமான பகா காரணியாக்கமே பல குறியாக்கவியல் நெறிமுறைகள் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ள அடித்தளமாகும்.

பகா எண்களைக் கண்டறிதல்

பகா எண்களை அடையாளம் காண்பது பல நூற்றாண்டுகளாக கணிதவியலாளர்களைக் கவர்ந்துள்ளது. பகா எண்களைக் கண்டறிய பல முறைகள் உள்ளன, அவற்றுள்:

• சோதனை வகுத்தல்: ஒரு எண் n-ஐ 2 முதல் √n வரையிலான அனைத்து முழு எண்களாலும் வகுக்கவும். இவற்றில் எதுவும் n-ஐ மீதமின்றி வகுக்கவில்லை என்றால், n ஒரு பகா எண் ஆகும். இது எளிமையானது ஆனால் பெரிய எண்களுக்குத் திறனற்றது.
• எரடோஸ்தனிஸ் சல்லடை: ஒரு குறிப்பிட்ட முழு எண் வரை உள்ள அனைத்து பகா எண்களையும் கண்டறிய ஒரு திறமையான நெறிமுறை. இது ஒவ்வொரு பகா எண்ணின் மடங்குகளை, முதல் பகா எண்ணான 2-இல் இருந்து தொடங்கி, படிப்படியாகக் குறிப்பதன் மூலம் செயல்படுகிறது.
• பகாத்தன்மை சோதனைகள்: மில்லர்-ராபின் பகாத்தன்மை சோதனை (ஒரு நிகழ்தகவு சோதனை) மற்றும் AKS பகாத்தன்மை சோதனை (ஒரு தீர்மானகரமான சோதனை) போன்ற மிகவும் நுட்பமான நெறிமுறைகள் மிகப் பெரிய எண்கள் பகா எண்களா என்பதைத் தீர்மானிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

பகா எண்களின் பரவல்

பகா எண்கள் முழு எண்களிடையே சமமாகப் பரவவில்லை. எண்கள் பெரிதாகும்போது, பகா எண்களின் அடர்த்தி குறைகிறது. பகா எண் தேற்றம் (Prime Number Theorem) ஒரு கொடுக்கப்பட்ட எண் x-க்குச் சமமான அல்லது குறைவான பகா எண்களின் எண்ணிக்கைக்கு ஒரு அணுகுமுறை மதிப்பீட்டைக் கொடுக்கிறது, இது π(x) எனக் குறிக்கப்படுகிறது:

π(x) ≈ x / ln(x)

இந்தத் தேற்றம் பகா எண் பரவலின் நீண்ட கால நடத்தை குறித்த பார்வைகளை வழங்குகிறது.

குறியாக்கவியல்: பகா எண்களைக் கொண்டு தகவல்களைப் பாதுகாத்தல்

குறியாக்கவியல் என்பது எதிரிகளின் முன்னிலையில் பாதுகாப்பான தகவல்தொடர்புக்கான நுட்பங்களின் பயிற்சி மற்றும் ஆய்வு ஆகும். நவீன குறியாக்கவியல் கணிதக் கருத்துக்களைப் பெரிதும் நம்பியுள்ளது, மேலும் பகா எண்கள் பல மறையாக்க நெறிமுறைகளில் மையப் பங்கு வகிக்கின்றன.

பல குறியாக்கவியல் அமைப்புகளின் பாதுகாப்பு சில எண்-கோட்பாட்டு பிரச்சனைகளின் கணக்கீட்டுச் சிரமத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது, குறிப்பாக பகா காரணியாக்கப் பிரச்சனை மற்றும் தனித்த மடக்கைப் பிரச்சனை. இந்தப் பிரச்சனைகள் “கடினமானவை” என்று கருதப்படுகின்றன, ஏனெனில் அவற்றை பாரம்பரியக் கணினிகளில் தீர்க்க திறமையான (பல்லுறுப்புக்கோவை-நேர) நெறிமுறைகள் எதுவும் அறியப்படவில்லை.

ஆர்எஸ்ஏ: பொது-திறவி குறியாக்கவியலின் ஒரு மூலைக்கல்

ஆர்எஸ்ஏ (ரிவெஸ்ட்-ஷமிர்-ஆடில்மேன்) நெறிமுறை மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் பொது-திறவி குறியாக்க அமைப்புகளில் ஒன்றாகும். அதன் பாதுகாப்பு, பெரிய பகு எண்களை அவற்றின் பகா காரணிகளாகப் பிரிப்பதில் உள்ள சிரமத்தை நம்பியுள்ளது.

ஆர்எஸ்ஏ எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதன் எளிமையான கண்ணோட்டம் இங்கே:

1. திறவி உருவாக்கம்:
   • p மற்றும் q என்ற இரண்டு வெவ்வேறு பெரிய பகா எண்களைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.
   • n = p × q என்று கணக்கிடவும். இது மட்டு (modulus) ஆகும்.
   • φ(n) = (p - 1) × (q - 1) என்று கணக்கிடவும், இங்கு φ என்பது ஆய்லரின் டோஷண்ட் சார்பு.
   • 1 < e < φ(n) மற்றும் gcd(e, φ(n)) = 1 (e மற்றும் φ(n) சார்பகா எண்கள்) என்றவாறு ஒரு முழு எண் e-ஐத் தேர்ந்தெடுக்கவும். e என்பது பொது அடுக்குக்குறி.
   • e-இன் மட்டு φ(n)-க்கான மட்டு பெருக்கல் நேர்மாறான d-ஐக் கணக்கிடவும். அதாவது, d × e ≡ 1 (mod φ(n)). d என்பது தனி அடுக்குக்குறி.
   • பொதுத் திறவி (n, e) ஆகும்.
   • தனித் திறவி (n, d) ஆகும்.
2. மறையாக்கம்:
   • ஒரு செய்தி m-ஐ (ஒரு முழு எண்ணாகக் குறிக்கப்படுகிறது) மறையாக்கம் செய்ய, c = m^e mod n என்று கணக்கிடவும், இங்கு c என்பது மறைக்கப்பட்ட உரை.
3. மறைகுறியீடு நீக்கம்:
   • மறைக்கப்பட்ட உரை c-ஐ மறைகுறியீடு நீக்கம் செய்ய, m = c^d mod n என்று கணக்கிடவும்.

ஆர்எஸ்ஏ-வின் பாதுகாப்பு, பெரிய எண் n-ஐ அதன் பகா காரணிகளான p மற்றும் q ஆகப் பிரிப்பது கணக்கீட்டு ரீதியாக கடினமானது என்ற உண்மையைச் சார்ந்துள்ளது, குறிப்பாக p மற்றும் q போதுமான அளவு பெரியதாக (நூற்றுக்கணக்கான அல்லது ஆயிரக்கணக்கான இலக்கங்கள்) இருக்கும்போது. ஒரு தாக்குபவர் n-ஐ காரணிப்படுத்த முடிந்தால், அவர்கள் எளிதாக φ(n)-ஐக் கணக்கிட்டு, பின்னர் தனித் திறவி d-ஐத் தீர்மானிக்க முடியும்.

எடுத்துக்காட்டு: நாம் p = 61 மற்றும் q = 53 என்று தேர்ந்தெடுப்பதாகக் கொள்வோம்.

• n = 61 * 53 = 3233
• φ(n) = (61-1) * (53-1) = 60 * 52 = 3120
• e = 17 என்று தேர்ந்தெடுப்போம் (3120-க்கு சார்பகா எண்).
• (17 * d) mod 3120 = 1 என்றவாறு d-ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். நீட்டிக்கப்பட்ட யூக்ளிடியன் நெறிமுறையைப் பயன்படுத்தி, d = 2753 என்று காண்கிறோம்.
• பொதுத் திறவி: (3233, 17)
• தனித் திறவி: (3233, 2753)

நாம் செய்தி m = 123-ஐ மறையாக்கம் செய்ய விரும்பினால்:

c = 123¹⁷ mod 3233 = 855

மறைகுறியீடு நீக்கம் செய்ய:

m = 855²⁷⁵³ mod 3233 = 123

இந்த எடுத்துக்காட்டு விளக்கத்திற்காக சிறிய எண்களைப் பயன்படுத்துகிறது. நிஜ-உலக ஆர்எஸ்ஏ செயலாக்கங்கள் பாதுகாப்பை உறுதிப்படுத்த மிகப் பெரிய பகா எண்களைப் பயன்படுத்துகின்றன.

டிஃபீ-ஹெல்மேன் திறவி பரிமாற்றம்

டிஃபீ-ஹெல்மேன் திறவி பரிமாற்றம் என்பது ஒரு குறியாக்கவியல் நெறிமுறையாகும், இது இரண்டு தரப்பினரை ஒரு பாதுகாப்பற்ற சேனல் மூலம் ஒரு பகிரப்பட்ட ரகசியத் திறவியை நிறுவ அனுமதிக்கிறது. இந்தப் பகிரப்பட்ட ரகசியம் பின்னர் ஒரு சமச்சீர்-திறவி நெறிமுறையைப் பயன்படுத்தி அடுத்தடுத்த தகவல்தொடர்புகளை மறையாக்கம் செய்யப் பயன்படுத்தப்படலாம்.

டிஃபீ-ஹெல்மேன் பாதுகாப்பு தனித்த மடக்கைப் பிரச்சனையின் சிரமத்தை நம்பியுள்ளது, இது பகா எண்கள் மற்றும் மட்டு எண்கணிதத்துடன் தொடர்புடையது.

இங்கே ஒரு எளிமையான விளக்கம்:

1. ஆலிஸ் மற்றும் பாப் ஒரு பெரிய பகா எண் p மற்றும் ஒரு அடிப்படை g (இங்கு g என்பது மட்டு p-இன் முதன்மை மூலம்) மீது ஒப்புக்கொள்கிறார்கள். p மற்றும் g பொதுவானவை.
2. ஆலிஸ் ஒரு ரகசிய முழு எண் a-ஐத் தேர்ந்தெடுத்து A = g^a mod p-ஐக் கணக்கிடுகிறார். ஆலிஸ் A-ஐ பாபிற்கு அனுப்புகிறார்.
3. பாப் ஒரு ரகசிய முழு எண் b-ஐத் தேர்ந்தெடுத்து B = g^b mod p-ஐக் கணக்கிடுகிறார். பாப் B-ஐ ஆலிஸுக்கு அனுப்புகிறார்.
4. ஆலிஸ் பகிரப்பட்ட ரகசியத் திறவி s = B^a mod p-ஐக் கணக்கிடுகிறார்.
5. பாப் பகிரப்பட்ட ரகசியத் திறவி s = A^b mod p-ஐக் கணக்கிடுகிறார்.

ஆலிஸ் மற்றும் பாப் இருவரும் தங்கள் ரகசிய முழு எண்களான a மற்றும் b-ஐ நேரடியாகப் பரிமாறிக்கொள்ளாமலேயே ஒரே பகிரப்பட்ட ரகசியத் திறவி s-ஐ அடைகிறார்கள். p, g, A, மற்றும் B-ஐ அறிந்த ஒரு ஒட்டுக்கேட்பாளர், பகிரப்பட்ட ரகசியத் திறவி s-ஐத் தீர்மானிக்க, a அல்லது b-ஐக் கணக்கிட தனித்த மடக்கைப் பிரச்சனையைத் தீர்க்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு: p = 23 மற்றும் g = 5 என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

• ஆலிஸ் a = 6-ஐத் தேர்ந்தெடுக்கிறார். A = 5⁶ mod 23 = 8
• பாப் b = 15-ஐத் தேர்ந்தெடுக்கிறார். B = 5¹⁵ mod 23 = 19
• ஆலிஸ் 8-ஐ பாபிற்கும், பாப் 19-ஐ ஆலிஸுக்கும் அனுப்புகிறார்கள்.
• ஆலிஸ் கணக்கிடுவது s = 19⁶ mod 23 = 2
• பாப் கணக்கிடுவது s = 8¹⁵ mod 23 = 2

பகிரப்பட்ட ரகசியம் 2. மீண்டும், நிஜ-உலக செயலாக்கங்கள் மிகப் பெரிய பகா எண்களைப் பயன்படுத்துகின்றன.

நீள்வட்ட வளைவு குறியாக்கவியல் (ECC)

நீள்வட்ட வளைவு குறியாக்கவியல் (ECC) என்பது ஒரு பொது-திறவி குறியாக்க அமைப்பாகும், இது வரையறுக்கப்பட்ட புலங்களின் மீது நீள்வட்ட வளைவுகளின் இயற்கணித கட்டமைப்பை அடிப்படையாகக் கொண்டது. ECC, ஆர்எஸ்ஏ-விற்கு ஒப்பிடக்கூடிய பாதுகாப்பை சிறிய திறவி அளவுகளுடன் வழங்குகிறது, இது மொபைல் சாதனங்கள் மற்றும் உட்பொதிக்கப்பட்ட அமைப்புகள் போன்ற வள-கட்டுப்படுத்தப்பட்ட சூழல்களுக்கு ஏற்றதாக அமைகிறது. ECC மேலும் எண் கோட்பாடு மற்றும் நீள்வட்ட வளைவு தனித்த மடக்கைப் பிரச்சனையின் சிரமத்தை நம்பியுள்ளது.

ECC-இல், மட்டு அடுக்குக்குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவதற்குப் பதிலாக, குறியாக்கவியல் செயல்பாடுகள் நீள்வட்ட வளைவு எண்கணிதத்தை (புள்ளி கூட்டல் மற்றும் ஸ்கேலார் பெருக்கல்) அடிப்படையாகக் கொண்டவை. ECC-இன் பாதுகாப்பு, நீள்வட்ட வளைவு தனித்த மடக்கைப் பிரச்சனையைத் தீர்ப்பது கணக்கீட்டு ரீதியாக கடினமானது என்ற உண்மையை நம்பியுள்ளது, இது ஒரு நீள்வட்ட வளைவில் உள்ள இரண்டு புள்ளிகளைத் தொடர்புபடுத்தும் ஸ்கேலார் பெருக்கலைக் கண்டுபிடிப்பதை உள்ளடக்கியது.

ECC பல்வேறு பயன்பாடுகளில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, அவற்றுள்:

• டிஜிட்டல் கையொப்பங்கள் (எ.கா., ECDSA)
• திறவி பரிமாற்றம் (எ.கா., ECDH)
• மறையாக்கம்

குறியாக்கவியல் மற்றும் பகா எண்களின் எதிர்காலம்

குவாண்டம் கணினிகளின் தொடர்ச்சியான வளர்ச்சி தற்போதைய பல குறியாக்கவியல் நெறிமுறைகளுக்கு ஒரு குறிப்பிடத்தக்க அச்சுறுத்தலாக உள்ளது. ஷோரின் நெறிமுறை, ஒரு குவாண்டம் நெறிமுறை, பெரிய எண்களைத் திறமையாகக் காரணிப்படுத்தவும் மற்றும் தனித்த மடக்கைப் பிரச்சனையைத் தீர்க்கவும் முடியும், இது ஆர்எஸ்ஏ, டிஃபீ-ஹெல்மேன், மற்றும் ECC-ஐ திறம்பட உடைக்கிறது.

இந்த அச்சுறுத்தலுக்கு பதிலளிக்கும் விதமாக, ஆராய்ச்சியாளர்கள் குவாண்டம்-பிறகு குறியாக்கவியலை (PQC) தீவிரமாக உருவாக்கி வருகின்றனர், இதில் பாரம்பரிய மற்றும் குவாண்டம் கணினிகளின் தாக்குதல்களுக்கு எதிர்ப்புத் தெரிவிக்கும் என்று நம்பப்படும் குறியாக்கவியல் நெறிமுறைகள் அடங்கும். பல PQC நெறிமுறைகள் ஆர்எஸ்ஏ மற்றும் ECC-இல் பயன்படுத்தப்படுபவற்றிலிருந்து வேறுபட்ட கணிதப் பிரச்சனைகளை அடிப்படையாகக் கொண்டவை, அதாவது பின்னல்-அடிப்படை குறியாக்கவியல், குறியீடு-அடிப்படை குறியாக்கவியல், பன்மாறி குறியாக்கவியல், மற்றும் ஹாஷ்-அடிப்படை குறியாக்கவியல்.

குவாண்டம் கணினி யுகத்தில்கூட, எண் கோட்பாடு, மற்றும் குறிப்பாக பகா எண்கள், குறியாக்கவியலில் ஒரு பங்கு வகிக்க வாய்ப்புள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, பின்னல்-அடிப்படை குறியாக்கவியலுக்கான பின்னல்களைக் கட்டமைப்பதில் அல்லது ஹாஷ்-அடிப்படை குறியாக்கவியலுக்கான ஹாஷ் சார்புகளை வடிவமைப்பதில் பகா எண்கள் பயன்படுத்தப்படலாம்.

நிஜ-உலகப் பயன்பாடுகள்

விவாதிக்கப்பட்ட கொள்கைகள் உலகளவில் செயல்படுத்தப்படுகின்றன. இங்கே சில மாறுபட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்:

• பாதுகாப்பான ஆன்லைன் பரிவர்த்தனைகள்: நீங்கள் கிரெடிட் கார்டைப் பயன்படுத்தி ஆன்லைனில் ஒரு பொருளை வாங்கும்போது, பரிவர்த்தனை பொதுவாக HTTPS ஐப் பயன்படுத்திப் பாதுகாக்கப்படுகிறது, இது TLS/SSL நெறிமுறைகளை நம்பியுள்ளது. இந்த நெறிமுறைகள் பெரும்பாலும் உங்கள் உலாவிக்கும் வலை சேவையகத்திற்கும் இடையில் ஒரு பாதுகாப்பான இணைப்பை நிறுவ ஆர்எஸ்ஏ அல்லது ECC-ஐப் பயன்படுத்துகின்றன, இது உங்கள் முக்கியத் தகவல்களை ஒட்டுக்கேட்பிலிருந்து பாதுகாக்கிறது.
• டிஜிட்டல் கையொப்பங்கள்: டிஜிட்டல் கையொப்பங்கள் டிஜிட்டல் ஆவணங்களின் நம்பகத்தன்மை மற்றும் ஒருமைப்பாட்டைச் சரிபார்க்கப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஆர்எஸ்ஏ மற்றும் ECDSA (நீள்வட்ட வளைவு டிஜிட்டல் கையொப்ப நெறிமுறை) போன்ற நெறிமுறைகள் பகா எண்கள் மற்றும் மட்டு எண்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி மோசடி செய்யக் கடினமான டிஜிட்டல் கையொப்பங்களை உருவாக்குகின்றன. இது சிங்கப்பூர் போன்ற நாடுகளில் சட்டப்பூர்வமாக பிணைக்கப்பட்ட ஒப்பந்தங்களுக்கும், ஐரோப்பிய ஒன்றியத்தில் மின்னணு ஆவண சரிபார்ப்புக்கும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
• பாதுகாப்பான தகவல்தொடர்பு செயலிகள்: சிக்னல் மற்றும் வாட்ஸ்அப் போன்ற பல செய்தியிடல் செயலிகள், உங்கள் உரையாடல்களின் தனியுரிமையைப் பாதுகாக்க முழுமையான மறையாக்கத்தைப் பயன்படுத்துகின்றன. இந்த செயலிகள் பெரும்பாலும் பாதுகாப்பான தகவல்தொடர்பு சேனல்களை நிறுவ டிஃபீ-ஹெல்மேன் திறவி பரிமாற்றம் அல்லது ECC-ஐப் பயன்படுத்துகின்றன.
• கிரிப்டோகரன்சிகள்: பிட்காயின் போன்ற கிரிப்டோகரன்சிகள், பரிவர்த்தனைகளைப் பாதுகாக்கவும் டிஜிட்டல் சொத்துக்களின் உரிமையைக் கட்டுப்படுத்தவும் நீள்வட்ட வளைவு குறியாக்கவியலைப் (குறிப்பாக, secp256k1 வளைவுடன் ECDSA) பயன்படுத்துகின்றன. பிட்காயினின் உலகளாவிய அணுகல் மற்றும் பரவலாக்கம் இந்தக் கொள்கைகளின் பரந்த பயன்பாட்டிற்கு எடுத்துக்காட்டாகும்.
• VPN-கள் (மெய்நிகர் தனியார் நெட்வொர்க்குகள்): VPN-கள் உங்கள் சாதனம் மற்றும் ஒரு தொலைநிலை சேவையகத்திற்கு இடையில் பாதுகாப்பான சுரங்கப்பாதைகளை உருவாக்க குறியாக்கவியல் நெறிமுறைகளைப் பயன்படுத்துகின்றன, இது உங்கள் இணைய போக்குவரத்தை இடைமறிப்பிலிருந்து பாதுகாக்கிறது. VPN-கள் பொதுவாக சமச்சீர் மறையாக்கத்திற்கு AES (மேம்பட்ட மறையாக்கத் தரம்) போன்ற நெறிமுறைகளையும், திறவி பரிமாற்றத்திற்கு ஆர்எஸ்ஏ அல்லது ECC-ஐயும் பயன்படுத்துகின்றன. கடுமையான தணிக்கை உள்ள நாடுகளில் பாதுகாப்பான இணைய அணுகலுக்கு VPN-கள் முக்கியமானவை.
• பாதுகாப்பான ஷெல் (SSH): SSH என்பது ஒரு குறியாக்கவியல் பிணைய நெறிமுறையாகும், இது தொலைநிலை சேவையகங்களை பாதுகாப்பாக அணுகவும் நிர்வகிக்கவும் உங்களை அனுமதிக்கிறது. SSH அங்கீகாரம் மற்றும் திறவி பரிமாற்றத்திற்கு ஆர்எஸ்ஏ மற்றும் ECC போன்ற நெறிமுறைகளைப் பயன்படுத்துகிறது.

முடிவுரை

எண் கோட்பாடு, அதன் பகா எண்கள் மீதான கவனத்துடன், ஒரு வெறும் சுருக்கமான கணிதத் துறை மட்டுமல்ல; இது நவீன குறியாக்கவியலின் ஒரு அடிப்படைக் தூணாகும். ஆன்லைன் பரிவர்த்தனைகளைப் பாதுகாப்பது முதல் முக்கியத் தகவல்தொடர்புகளைப் பாதுகாப்பது வரை, பகா எண்கள் நமது டிஜிட்டல் உலகின் ரகசியத்தன்மை, ஒருமைப்பாடு மற்றும் நம்பகத்தன்மையை உறுதி செய்வதில் ஒரு முக்கியப் பங்கு வகிக்கின்றன. தொழில்நுட்பம் தொடர்ந்து வளர்ச்சியடைந்து வருவதால், எண் கோட்பாடு மற்றும் குறியாக்கவியல் இடையேயான தொடர்பு, தகவல்களைப் பாதுகாப்பதற்கும், பெருகிய முறையில் ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்ட சமூகத்தில் நம்பிக்கையை நிலைநாட்டுவதற்கும் அவசியமாக இருக்கும். குவாண்டம்-பிறகு குறியாக்கவியலில் தற்போதைய ஆராய்ச்சி மற்றும் மேம்பாடு, வளர்ந்து வரும் அச்சுறுத்தல்களுக்கு முகங்கொடுத்து நமது டிஜிட்டல் எதிர்காலத்தைப் பாதுகாப்பதற்கான உறுதிப்பாட்டை நிரூபிக்கிறது.

மேலும் கற்க

• புத்தகங்கள்:
  • "An Introduction to the Theory of Numbers" by G.H. Hardy and E.M. Wright
  • "Elementary Number Theory" by David M. Burton
  • "Cryptography Theory and Practice" by Douglas Stinson and Maura Paterson
• ஆன்லைன் படிப்புகள்:
  • Coursera: Cryptography I & II by Dan Boneh (Stanford University)
  • edX: Introduction to Cryptography by Christof Paar (Ruhr University Bochum)
• இணையதளங்கள்:
  • Wikipedia: Number Theory, Prime Number, Cryptography, RSA
  • Khan Academy: Number Theory