Tessellering: Utforska matematiken bakom upprepade mönster

Tessellering, även känt som plattsättning, är täckningen av en yta med en eller flera geometriska former, kallade plattor, utan överlappningar och utan mellanrum. Matematiskt är det ett fascinerande område som förbinder geometri, konst och till och med fysik. Denna artikel ger en omfattande utforskning av tesselleringar, och täcker deras matematiska grunder, historiska sammanhang, konstnärliga tillämpningar och verkliga exempel.

Vad är en tessellering?

I grunden är en tessellering ett mönster som bildas genom att upprepa en form eller en uppsättning former för att täcka ett plan. De viktigaste egenskaperna är:

• Inga mellanrum: Plattorna måste passa ihop perfekt och inte lämna några tomma utrymmen mellan sig.
• Inga överlappningar: Plattorna får inte överlappa varandra.
• Fullständig täckning: Plattorna måste täcka hela ytan.

Tesselleringar kan klassificeras baserat på de typer av former som används och hur de är arrangerade. Enkla tesselleringar involverar en enda form, medan komplexa tesselleringar använder flera former.

Typer av tesselleringar

Tesselleringar kan i stora drag klassificeras i följande kategorier:

Regelbundna tesselleringar

En regelbunden tessellering består av endast en typ av regelbunden polygon (en polygon med alla sidor och vinklar lika). Det finns endast tre regelbundna polygoner som kan tessellera planet:

• Liksidiga trianglar: Dessa bildar en mycket vanlig och stabil tessellering. Tänk på triangulära stödstrukturer i broar eller arrangemanget av atomer i vissa kristallgitter.
• Kvadrater: Kanske den mest allestädes närvarande tesselleringen, som ses i golvplattor, rutat papper och stadsnät runt om i världen. Kvadraternas perfekt ortogonala natur gör dem idealiska för praktiska tillämpningar.
• Regelbundna hexagoner: Finns i bikupor och vissa molekylära strukturer, hexagoner ger effektivt utrymmesutnyttjande och strukturell integritet. Deras sexfaldiga symmetri erbjuder unika egenskaper.

Dessa tre är de enda möjliga regelbundna tesselleringarna eftersom polygonens inre vinkel måste vara en delare av 360 grader för att mötas i ett hörn. Till exempel har en liksidig triangel vinklar på 60 grader, och sex trianglar kan mötas i en punkt (6 * 60 = 360). En kvadrat har vinklar på 90 grader, och fyra kan mötas i en punkt. En hexagon har vinklar på 120 grader, och tre kan mötas i en punkt. En regelbunden pentagon, med vinklar på 108 grader, kan inte tessellera eftersom 360 inte är jämnt delbart med 108.

Semiregelbundna tesselleringar

Semiregelbundna tesselleringar (även kallade Arkimediska tesselleringar) använder två eller flera olika regelbundna polygoner. Arrangemanget av polygoner vid varje hörn måste vara detsamma. Det finns åtta möjliga semiregelbundna tesselleringar:

• Triangel-kvadrat-kvadrat (3.4.4.6)
• Triangel-kvadrat-hexagon (3.6.3.6)
• Triangel-triangel-kvadrat-kvadrat (3.3.4.3.4)
• Triangel-triangel-triangel-kvadrat (3.3.3.4.4)
• Triangel-triangel-triangel-triangel-hexagon (3.3.3.3.6)
• Kvadrat-kvadrat-kvadrat (4.8.8)
• Triangel-dodekagon-dodekagon (4.6.12)
• Triangel-kvadrat-dodekagon (3.12.12)

Notationen inom parentes representerar ordningen på polygonerna runt ett hörn, antingen medurs eller moturs.

Oregelbundna tesselleringar

Oregelbundna tesselleringar bildas av oregelbundna polygoner (polygoner där sidor och vinklar inte är lika). Vilken triangel eller fyrhörning som helst (konvex eller konkav) kan tessellera planet. Denna flexibilitet möjliggör ett brett spektrum av konstnärliga och praktiska tillämpningar.

Aperiodiska tesselleringar

Aperiodiska tesselleringar är plattsättningar som använder en specifik uppsättning plattor som endast kan täcka planet icke-periodiskt. Det betyder att mönstret aldrig upprepar sig exakt. Det mest kända exemplet är Penrose-mönstret, upptäckt av Roger Penrose på 1970-talet. Penrose-mönster är aperiodiska och använder två olika romber. Dessa mönster har intressanta matematiska egenskaper och har hittats på överraskande platser, som mönstren på vissa gamla islamiska byggnader.

Matematiska principer för tesselleringar

Förståelsen av matematiken bakom tesselleringar involverar begrepp från geometri, inklusive vinklar, polygoner och symmetri. Den grundläggande principen är att vinklarna runt ett hörn måste summeras till 360 grader.

Vinkelsummasatsen

Som tidigare nämnts måste summan av vinklarna vid varje hörn vara 360 grader. Denna princip dikterar vilka polygoner som kan bilda tesselleringar. Regelbundna polygoner måste ha inre vinklar som är delare av 360.

Symmetri

Symmetri spelar en avgörande roll i tesselleringar. Det finns flera typer av symmetri som kan finnas i en tessellering:

• Translation: Mönstret kan förskjutas (translateras) längs en linje och fortfarande se likadant ut.
• Rotation: Mönstret kan roteras runt en punkt och fortfarande se likadant ut.
• Reflektion: Mönstret kan speglas över en linje och fortfarande se likadant ut.
• Glidreflektion: En kombination av reflektion och translation.

Dessa symmetrier beskrivs av vad som kallas tapetgrupper. Det finns 17 tapetgrupper, där var och en representerar en unik kombination av symmetrier som kan existera i ett 2D-upprepande mönster. Att förstå tapetgrupper gör det möjligt för matematiker och konstnärer att systematiskt klassificera och generera olika typer av tesselleringar.

Euklidisk och icke-euklidisk geometri

Traditionellt studeras tesselleringar inom ramen för euklidisk geometri, som handlar om plana ytor. Tesselleringar kan dock också utforskas i icke-euklidiska geometrier, såsom hyperbolisk geometri. I hyperbolisk geometri divergerar parallella linjer, och summan av vinklarna i en triangel är mindre än 180 grader. Detta möjliggör skapandet av tesselleringar med polygoner som inte skulle vara möjliga i euklidiskt rum. M.C. Escher utforskade berömt hyperboliska tesselleringar i sina senare verk, med hjälp av matematiska insikter från H.S.M. Coxeter.

Historisk och kulturell betydelse

Användningen av tesselleringar går tillbaka till forntida civilisationer och kan hittas i olika former av konst, arkitektur och dekorativa mönster över hela världen.

Forntida civilisationer

• Antikens Rom: Romerska mosaiker har ofta intrikata tesselleringar med små färgade plattor (tesserae) för att skapa dekorativa mönster och avbildningar av scener. Dessa mosaiker har hittats i hela Romarriket, från Italien till Nordafrika och Britannien.
• Antikens Grekland: Grekisk arkitektur och keramik innehåller ofta geometriska mönster och tesselleringar. Meandermönster är till exempel en form av tessellering som ofta förekommer i grekisk konst.
• Islamisk konst: Islamisk konst är känd för sina komplexa geometriska mönster och tesselleringar. Användningen av tesselleringar i islamisk konst är rotad i religiösa övertygelser som betonar det oändliga och enheten i allt. Moskéer och palats runt om i den islamiska världen visar upp fantastiska exempel på tesselleringar med olika geometriska former. Alhambra-palatset i Granada, Spanien, är ett utmärkt exempel med intrikata mosaiker och kakelverk med olika tessellerade mönster.

Moderna tillämpningar

Tesselleringar fortsätter att vara relevanta i modern tid och finner tillämpningar inom olika områden:

• Arkitektur: Tessellerade ytor används i byggnadsfasader, tak och inredningar för att skapa visuellt tilltalande och strukturellt sunda konstruktioner. Exempel inkluderar Eden Project i Cornwall, Storbritannien, med sina geodetiska kupoler som består av hexagonala paneler.
• Datorgrafik: Tessellering är en teknik som används i datorgrafik för att öka detaljrikedomen i 3D-modeller genom att dela upp polygoner i mindre. Detta möjliggör slätare ytor och mer realistiska renderingar.
• Textildesign: Tesselleringar används i textildesign för att skapa upprepade mönster på tyger. Dessa mönster kan variera från enkla geometriska mönster till komplexa och intrikata motiv.
• Förpackning: Tesselleringar kan användas för att effektivt packa produkter, vilket minimerar avfall och maximerar utrymmesutnyttjandet.
• Vetenskap: Tessellerande former finns i naturen, såsom de hexagonala cellerna i en bikaka eller fjällen på vissa fiskar. Att förstå tesselleringar kan hjälpa forskare att modellera och förstå dessa naturfenomen.

Exempel på tesselleringar i konst och natur

Tesselleringar är inte bara matematiska begrepp; de finns också i konst och natur och ger inspiration och praktiska tillämpningar.

M.C. Escher

Maurits Cornelis Escher (1898-1972) var en nederländsk grafiker känd för sina matematiskt inspirerade träsnitt, litografier och mezzotinter. Eschers verk innehåller ofta tesselleringar, omöjliga konstruktioner och utforskningar av oändligheten. Han var fascinerad av begreppet tessellering och använde det i stor utsträckning i sin konst för att skapa visuellt fantastiska och intellektuellt stimulerande verk. Hans verk som "Reptiles", "Sky and Water" och "Circle Limit III" är berömda exempel på tesselleringar som omvandlas till olika former och utforskar perceptionens gränser. Hans arbete överbryggade klyftan mellan matematik och konst, vilket gjorde matematiska begrepp tillgängliga och engagerande för en bredare publik.

Bikaka

Bikakan är ett klassiskt exempel på en naturlig tessellering. Bin bygger sina bikakor med hexagonala celler, som passar perfekt ihop för att skapa en stark och effektiv struktur. Den hexagonala formen maximerar mängden honung som kan lagras samtidigt som den minimerar mängden vax som behövs för att bygga kakan. Denna effektiva resursanvändning är ett bevis på de evolutionära fördelarna med tessellerade strukturer.

Giraffens fläckar

Fläckarna på en giraff, även om de inte är perfekta tesselleringar, uppvisar ett mönster som liknar en tessellering. Fläckarnas oregelbundna former passar ihop på ett sätt som täcker giraffens kropp effektivt. Detta mönster ger kamouflage och hjälper giraffen att smälta in i sin omgivning. Även om fläckarna varierar i storlek och form, visar deras arrangemang ett naturligt förekommande tesselleringsliknande mönster.

Fraktala tesselleringar

Fraktala tesselleringar kombinerar principerna för fraktaler och tesselleringar för att skapa komplexa och självliknande mönster. Fraktaler är geometriska former som uppvisar självlikhet på olika skalor. När fraktaler används som plattor i en tessellering kan det resulterande mönstret vara oändligt komplext och visuellt fantastiskt. Dessa typer av tesselleringar kan hittas i matematiska visualiseringar och datorgenererad konst. Exempel på fraktala tesselleringar inkluderar de som är baserade på Sierpinskitriangeln eller Koch-snöflingan.

Hur man skapar sina egna tesselleringar

Att skapa tesselleringar kan vara en rolig och lärorik aktivitet. Här är några enkla tekniker du kan använda för att skapa dina egna tesselleringar:

Grundläggande translationsmetod

1. Börja med en kvadrat: Börja med en kvadratisk bit papper eller kartong.
2. Klipp och translatera: Klipp ut en form från ena sidan av kvadraten. Translatera (förskjut) sedan den formen till den motsatta sidan och fäst den.
3. Upprepa: Upprepa processen på de andra två sidorna av kvadraten.
4. Tessellera: Du har nu en platta som kan tesselleras. Rita av plattan upprepade gånger på ett papper för att skapa ett tessellerat mönster.

Rotationsmetod

1. Börja med en form: Börja med en regelbunden polygon som en kvadrat eller en liksidig triangel.
2. Klipp och rotera: Klipp ut en form från ena sidan av polygonen. Rotera sedan den formen runt ett hörn och fäst den på en annan sida.
3. Upprepa: Upprepa processen vid behov.
4. Tessellera: Rita av plattan upprepade gånger för att skapa ett tessellerat mönster.

Använda programvara

Det finns olika program och onlineverktyg som kan hjälpa dig att skapa tesselleringar. Dessa verktyg låter dig experimentera med olika former, färger och symmetrier för att skapa intrikata och visuellt tilltalande mönster. Några populära programalternativ inkluderar:

• TesselManiac!
• Adobe Illustrator
• Geogebra

Framtiden för tesselleringar

Tesselleringar fortsätter att vara ett område för aktiv forskning och utforskning. Nya typer av tesselleringar upptäcks, och nya tillämpningar hittas inom olika områden. Några potentiella framtida utvecklingar inkluderar:

• Nya material: Utvecklingen av nya material med unika egenskaper kan leda till nya typer av tessellerade strukturer med förbättrad styrka, flexibilitet eller funktionalitet.
• Robotik: Tessellerade robotar skulle kunna utformas för att anpassa sig till olika miljöer och utföra olika uppgifter. Dessa robotar skulle kunna bestå av modulära plattor som kan omarrangera sig för att ändra robotens form och funktion.
• Nanoteknik: Tesselleringar skulle kunna användas inom nanoteknik för att skapa självmonterande strukturer med specifika egenskaper. Dessa strukturer skulle kunna användas i tillämpningar som läkemedelsleverans, energilagring och avkänning.

Slutsats

Tessellering är ett rikt och fascinerande område inom matematiken som förbinder geometri, konst och vetenskap. Från de enkla mönstren på golvplattor till de komplexa designerna i islamiska mosaiker och M.C. Eschers innovativa konst, har tesselleringar fängslat och inspirerat människor i århundraden. Genom att förstå de matematiska principerna bakom tesselleringar kan vi uppskatta deras skönhet och funktionalitet och utforska deras potentiella tillämpningar inom olika områden. Oavsett om du är matematiker, konstnär eller helt enkelt nyfiken på världen omkring dig, erbjuder tesselleringar ett unikt och givande ämne att utforska.

Så nästa gång du ser ett upprepat mönster, ta en stund att uppskatta den matematiska elegansen och kulturella betydelsen av tesselleringar!