Теория чисел: раскрытие простых чисел и их роль в современной криптографии

Теория чисел, часто считающаяся «царицей математики», представляет собой раздел чистой математики, посвященный в первую очередь изучению целых чисел и их свойств. Хотя это может показаться абстрактным, теория чисел лежит в основе многих реальных приложений, наиболее заметно в области криптографии. В этой статье рассматриваются фундаментальные концепции теории чисел, в частности простые числа, и иллюстрируется их решающая роль в обеспечении безопасности нашего цифрового мира.

Что такое теория чисел?

Теория чисел охватывает широкий спектр тем, в том числе:

• Делимость и простые числа
• Сравнения и модульная арифметика
• Диофантовы уравнения
• Алгебраическая теория чисел
• Аналитическая теория чисел

В своей основе теория чисел исследует свойства и взаимосвязи целых чисел. Ее элегантные доказательства и неожиданные связи с другими областями математики и информатики делают ее увлекательным предметом.

Простые числа: строительные блоки целых чисел

Простое число — это натуральное число, большее 1, не имеющее положительных делителей, кроме 1 и самого себя. Примеры простых чисел включают 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и так далее. Числа, не являющиеся простыми, называются составными числами.

Простые числа фундаментальны, потому что они являются строительными блоками всех других целых чисел. Основная теорема арифметики гласит, что каждое целое число, большее 1, может быть единственным образом выражено как произведение простых чисел, вплоть до порядка множителей. Например:

12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3

30 = 2 × 3 × 5

100 = 2 × 2 × 5 × 5 = 2² × 5²

Эта уникальная факторизация простых чисел является основой, на которой построены многие криптографические алгоритмы.

Поиск простых чисел

Определение простых чисел очаровывало математиков на протяжении веков. Существует несколько методов поиска простых чисел, в том числе:

• Метод пробного деления: Разделите число n на все целые числа от 2 до √n. Если ни одно из них не делит n равномерно, то n является простым. Это просто, но неэффективно для больших чисел.
• Решето Эратосфена: Эффективный алгоритм для нахождения всех простых чисел до заданного целого числа. Он работает путем итеративного пометки кратных каждого простого числа, начиная с первого простого числа, 2.
• Тесты простоты: Более сложные алгоритмы, такие как тест простоты Миллера – Рабина (вероятностный тест) и тест простоты AKS (детерминированный тест), используются для определения, являются ли очень большие числа простыми.

Распределение простых чисел

Простые числа распределены среди целых чисел неравномерно. По мере того, как числа становятся больше, плотность простых чисел уменьшается. Теорема о простых числах дает асимптотическую оценку количества простых чисел, меньших или равных заданному числу x, обозначаемому π(x):

π(x) ≈ x / ln(x)

Эта теорема дает представление о долгосрочном поведении распределения простых чисел.

Криптография: защита информации с помощью простых чисел

Криптография — это практика и изучение методов безопасной связи в присутствии противников. Современная криптография в значительной степени полагается на математические концепции, и простые числа играют центральную роль во многих алгоритмах шифрования.

Безопасность многих криптографических систем основана на вычислительной сложности определенных теоретико-числовых задач, в частности на задаче факторизации простых чисел и задаче дискретного логарифма. Эти проблемы считаются «сложными», потому что для их решения на классических компьютерах не известны эффективные (полиномиальные по времени) алгоритмы.

RSA: краеугольный камень криптографии с открытым ключом

Алгоритм RSA (Rivest-Shamir-Adleman) является одним из наиболее широко используемых криптосистем с открытым ключом. Его безопасность зависит от сложности факторизации больших составных чисел на их простые множители.

Вот упрощенный обзор того, как работает RSA:

1. Генерация ключа:
   • Выберите два различных больших простых числа p и q.
   • Вычислите n = p × q. Это модуль.
   • Вычислите φ(n) = (p - 1) × (q - 1), где φ — функция Эйлера.
   • Выберите целое число e такое, что 1 < e < φ(n) и gcd(e, φ(n)) = 1 (e и φ(n) взаимно просты). e — открытая экспонента.
   • Вычислите d, модульный мультипликативный обратный для e по модулю φ(n). То есть d × e ≡ 1 (mod φ(n)). d — секретная экспонента.
   • Открытый ключ — (n, e).
   • Закрытый ключ — (n, d).
2. Шифрование:
   • Чтобы зашифровать сообщение m (представленное в виде целого числа), вычислите c = m^e mod n, где c — шифротекст.
3. Расшифровка:
   • Чтобы расшифровать шифротекст c, вычислите m = c^d mod n.

Безопасность RSA зависит от того, что вычислительно сложно разложить большое число n на его простые множители p и q, особенно когда p и q достаточно велики (сотни или тысячи цифр). Если злоумышленник сможет разложить n, он сможет легко вычислить φ(n), а затем определить закрытый ключ d.

Пример: Предположим, мы выбираем p = 61 и q = 53.

• n = 61 * 53 = 3233
• φ(n) = (61-1) * (53-1) = 60 * 52 = 3120
• Выберем e = 17 (взаимно простое с 3120).
• Нам нужно найти d такое, что (17 * d) mod 3120 = 1. Используя расширенный алгоритм Евклида, мы находим d = 2753.
• Открытый ключ: (3233, 17)
• Закрытый ключ: (3233, 2753)

Если мы хотим зашифровать сообщение m = 123, то:

c = 123¹⁷ mod 3233 = 855

Для расшифровки:

m = 855²⁷⁵³ mod 3233 = 123

В этом примере используются небольшие числа для иллюстрации. Реальные реализации RSA используют гораздо большие простые числа для обеспечения безопасности.

Обмен ключами Диффи-Хеллмана

Обмен ключами Диффи-Хеллмана — это криптографический протокол, который позволяет двум сторонам установить общий секретный ключ по небезопасному каналу. Этот общий секрет затем может быть использован для шифрования последующих сообщений с использованием симметричного алгоритма.

Безопасность Диффи-Хеллмана зависит от сложности проблемы дискретного логарифма, которая связана с простыми числами и модульной арифметикой.

Вот упрощенное объяснение:

1. Алиса и Боб договариваются о большом простом числе p и основании g (где g — первообразный корень по модулю p). p и g являются общедоступными.
2. Алиса выбирает секретное целое число a и вычисляет A = g^a mod p. Алиса отправляет A Бобу.
3. Боб выбирает секретное целое число b и вычисляет B = g^b mod p. Боб отправляет B Алисе.
4. Алиса вычисляет общий секретный ключ s = B^a mod p.
5. Боб вычисляет общий секретный ключ s = A^b mod p.

И Алиса, и Боб приходят к одному и тому же общему секретному ключу s, никогда не обмениваясь своими секретными целыми числами a и b напрямую. Подслушивающий, который знает p, g, A и B, должен будет решить задачу дискретного логарифма, чтобы вычислить a или b и, таким образом, определить общий секретный ключ s.

Пример: Допустим, p = 23 и g = 5.

• Алиса выбирает a = 6. A = 5⁶ mod 23 = 8
• Боб выбирает b = 15. B = 5¹⁵ mod 23 = 19
• Алиса отправляет 8 Бобу, а Боб отправляет 19 Алисе.
• Алиса вычисляет s = 19⁶ mod 23 = 2
• Боб вычисляет s = 8¹⁵ mod 23 = 2

Общий секрет — 2. Опять же, реальные реализации используют гораздо большие простые числа.

Криптография на эллиптических кривых (ECC)

Криптография на эллиптических кривых (ECC) — это криптосистема с открытым ключом, основанная на алгебраической структуре эллиптических кривых над конечными полями. ECC обеспечивает сопоставимую безопасность с RSA при меньших размерах ключей, что делает ее подходящей для сред с ограниченными ресурсами, таких как мобильные устройства и встраиваемые системы. ECC также полагается на теорию чисел и сложность задачи дискретного логарифма эллиптических кривых.

В ECC вместо использования модульного возведения в степень криптографические операции основаны на арифметике эллиптических кривых (сложение точек и скалярное умножение). Безопасность ECC зависит от того факта, что вычислительно сложно решить задачу дискретного логарифма эллиптической кривой, которая включает в себя нахождение скалярного кратного, которое связывает две точки на эллиптической кривой.

ECC широко используется в различных приложениях, в том числе:

• Цифровые подписи (например, ECDSA)
• Обмен ключами (например, ECDH)
• Шифрование

Будущее криптографии и простых чисел

Постоянное развитие квантовых компьютеров представляет собой значительную угрозу для многих современных криптографических алгоритмов. Алгоритм Шора, квантовый алгоритм, может эффективно раскладывать большие числа и решать задачу дискретного логарифма, эффективно взламывая RSA, Диффи-Хеллмана и ECC.

В ответ на эту угрозу исследователи активно разрабатывают постквантовую криптографию (PQC), которая включает криптографические алгоритмы, которые, как считается, устойчивы к атакам как со стороны классических, так и со стороны квантовых компьютеров. Многие алгоритмы PQC основаны на математических задачах, отличных от тех, которые используются в RSA и ECC, таких как криптография на основе решеток, криптография на основе кодов, многомерная криптография и криптография на основе хеширования.

Даже в эпоху квантовых вычислений теория чисел, и в частности простые числа, вероятно, будет продолжать играть роль в криптографии. Например, простые числа могут использоваться при построении решеток для криптографии на основе решеток или при разработке хеш-функций для криптографии на основе хеширования.

Реальные приложения

Обсуждаемые принципы реализуются во всем мире. Вот несколько разнообразных примеров:

• Безопасные онлайн-транзакции: Когда вы совершаете покупку в Интернете с помощью кредитной карты, транзакция обычно защищена с использованием HTTPS, который опирается на протоколы TLS/SSL. Эти протоколы часто используют RSA или ECC для установления безопасного соединения между вашим браузером и веб-сервером, защищая вашу конфиденциальную информацию от подслушивания.
• Цифровые подписи: Цифровые подписи используются для подтверждения подлинности и целостности цифровых документов. Алгоритмы, такие как RSA и ECDSA (алгоритм цифровой подписи на эллиптических кривых), используют простые числа и модульную арифметику для создания цифровых подписей, которые трудно подделать. Это используется для юридически обязательных контрактов в таких странах, как Сингапур, и для проверки электронных документов в Европейском Союзе.
• Приложения для безопасной связи: Многие приложения для обмена сообщениями, такие как Signal и WhatsApp, используют сквозное шифрование для защиты конфиденциальности ваших разговоров. Эти приложения часто используют обмен ключами Диффи-Хеллмана или ECC для установления безопасных каналов связи.
• Криптовалюты: Криптовалюты, такие как Bitcoin, используют криптографию на эллиптических кривых (в частности, ECDSA с кривой secp256k1) для защиты транзакций и контроля владения цифровыми активами. Глобальная доступность и децентрализация Биткойна иллюстрируют широкое применение этих принципов.
• VPN (виртуальные частные сети): VPN используют криптографические протоколы для создания безопасных туннелей между вашим устройством и удаленным сервером, защищая ваш интернет-трафик от перехвата. VPN обычно используют алгоритмы, такие как AES (Advanced Encryption Standard), для симметричного шифрования и RSA или ECC для обмена ключами. VPN необходимы для безопасного доступа в Интернет в странах с жесткой цензурой.
• Secure Shell (SSH): SSH — это криптографический сетевой протокол, который позволяет вам безопасно получать доступ и управлять удаленными серверами. SSH использует алгоритмы, такие как RSA и ECC, для аутентификации и обмена ключами.

Заключение

Теория чисел, с ее акцентом на простые числа, является не просто абстрактной математической дисциплиной; это фундаментальный столп современной криптографии. От защиты онлайн-транзакций до защиты конфиденциальных сообщений простые числа играют решающую роль в обеспечении конфиденциальности, целостности и аутентичности нашего цифрового мира. Поскольку технологии продолжают развиваться, взаимодействие между теорией чисел и криптографией останется важным для защиты информации и поддержания доверия во все более взаимосвязанном обществе. Текущие исследования и разработки в области постквантовой криптографии демонстрируют приверженность обеспечению безопасности нашего цифрового будущего перед лицом возникающих угроз.

Дополнительное обучение

• Книги:
  • «Введение в теорию чисел» Г.Х. Харди и Э.М. Райта
  • «Элементарная теория чисел» Дэвида М. Бертона
  • «Криптография. Теория и практика» Дугласа Стисона и Моры Патерсон
• Онлайн-курсы:
  • Coursera: Криптография I и II от Дэна Бонеха (Стэнфордский университет)
  • edX: Введение в криптографию Кристофа Паара (Рурский университет Бохума)
• Веб-сайты:
  • Википедия: Теория чисел, Простое число, Криптография, RSA
  • Академия Хана: Теория чисел