Криптография эллиптических кривых JavaScript BigInt: глубокое погружение в расширенные операции

В эпоху, когда доминирует цифровое взаимодействие, от децентрализованных финансов (DeFi) до сквозного зашифрованного обмена сообщениями, прочность наших криптографических основ никогда не была более критичной. Криптография эллиптических кривых (ECC) является основой современной криптографии с открытым ключом, обеспечивая надежную безопасность с меньшими размерами ключей по сравнению с ее предшественниками, такими как RSA. В течение многих лет выполнение этих сложных математических операций непосредственно в JavaScript было проблемой, часто требующей специализированных библиотек, которые абстрагировали детали низкого уровня или имели дело с ограничениями стандартного типа чисел JavaScript.

Введение нативного типа BigInt в JavaScript (ES2020) стало революционным моментом. Это освободило разработчиков от ограничений 64-битного числа с плавающей запятой Number, предоставив механизм для обработки целых чисел произвольной длины. Эта единственная функция открыла потенциал для производительных, нативных и более прозрачных криптографических реализаций непосредственно в средах JavaScript, таких как браузеры и Node.js.

Хотя многие разработчики знакомы с основами ECC — генерацией пар ключей и подписанием сообщений — истинная сила этой технологии заключается в ее более продвинутых операциях. Эта статья выходит за рамки основ, чтобы изучить сложные криптографические протоколы и методы, которые теперь доступны благодаря BigInt. Мы углубимся в криптографию Диффи-Хеллмана на эллиптической кривой (ECDH) для безопасного обмена ключами, восстановление открытого ключа из подписей и мощные, удобные для агрегации подписи Шнорра.

Революция BigInt в криптографии JavaScript

Прежде чем мы углубимся в расширенные операции, важно понять, почему BigInt является таким переломным моментом для криптографии в JavaScript.

Проблема с типом Number

Традиционный тип Number в JavaScript — это число с плавающей запятой двойной точности IEEE 754, 64-битное число. Этот формат отлично подходит для широкого спектра приложений, но имеет критическое ограничение для криптографии: он может безопасно представлять целые числа только до Number.MAX_SAFE_INTEGER, который равен 2⁵³ - 1.

Криптографические ключи и промежуточные значения в ECC значительно больше. Например, популярная кривая secp256k1, используемая Bitcoin и Ethereum, работает в поле простых чисел длиной 256 бит. Эти числа на порядки больше, чем может обработать стандартный тип Number, не теряя точности. Попытка выполнить вычисления с такими числами приведет к неверным и небезопасным результатам.

Встречайте BigInt: целые числа произвольной точности

BigInt элегантно решает эту проблему. Это отдельный числовой тип, который предоставляет способ представления целых чисел любого размера. Вы можете создать BigInt, добавив `n` в конец целочисленного литерала или вызвав конструктор BigInt().

Пример:

const aLargeNumber = 9007199254740991n; // Безопасно с BigInt
const anEvenLargerNumber = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007908834671663n; // Простое 256-битное число

С BigInt все стандартные арифметические операторы (+, -, *, /, %, **) работают, как и ожидалось, с этими огромными целыми числами. Эта возможность является основой, на которой построены нативные реализации JavaScript ECC, что позволяет выполнять прямые, точные и безопасные вычисления криптографических алгоритмов, не полагаясь на внешние модули WebAssembly или громоздкие многокомпонентные числовые библиотеки.

Обновление основных принципов криптографии эллиптических кривых

Чтобы оценить расширенные операции, давайте кратко рассмотрим основные концепции ECC.

В своей основе ECC основана на алгебраической структуре эллиптических кривых над конечными полями. Эти кривые определяются уравнением Вейерштрасса:

y² = x³ + ax + b (mod p)

Где `a` и `b` — константы, определяющие форму кривой, а `p` — большое простое число, определяющее конечное поле.

Ключевые понятия

• Точка на кривой: Пара координат (x, y), удовлетворяющая уравнению кривой. Все наши криптографические операции по сути являются «арифметикой точек».
• Базовая точка (G): Общеизвестная, стандартизированная начальная точка на кривой.
• Закрытый ключ (d): Очень большое, криптографически безопасное случайное целое число. Это ваш секрет. В контексте BigInt, `d` — это большой BigInt.
• Открытый ключ (Q): Точка на кривой, полученная из закрытого ключа и базовой точки с помощью операции, называемой скалярным умножением: Q = d * G. Это означает сложение точки G с самой собой `d` раз.

Безопасность ECC зависит от проблемы дискретного логарифмирования на эллиптической кривой (ECDLP). Легко вычислить открытый ключ `Q` с учетом закрытого ключа `d` и базовой точки `G`. Однако вычислительно невозможно определить закрытый ключ `d`, имея только открытый ключ `Q` и базовую точку `G`.

Расширенная операция 1: обмен ключами Диффи-Хеллмана на эллиптической кривой (ECDH)

Одним из самых мощных применений ECC является установление общего секрета между двумя сторонами по небезопасному каналу связи. Это достигается с помощью протокола обмена ключами Диффи-Хеллмана на эллиптической кривой (ECDH).

Цель

Представьте себе двух людей, Алису и Боба, которые хотят общаться безопасно. Им необходимо договориться об общем симметричном ключе шифрования, который известен только им, но их единственное средство связи — это общедоступный канал, который может отслеживать злоумышленник Ева. ECDH позволяет им вычислять идентичный общий секрет, никогда не передавая его напрямую.

Протокол шаг за шагом

1. Генерация ключей:
   • Алиса генерирует свой закрытый ключ, `d_A` (большой случайный BigInt), и соответствующий открытый ключ, `Q_A = d_A * G`.
   • Боб генерирует свой закрытый ключ, `d_B` (еще один большой случайный BigInt), и свой открытый ключ, `Q_B = d_B * G`.
2. Обмен открытыми ключами:
   • Алиса отправляет свой открытый ключ, `Q_A`, Бобу.
   • Боб отправляет свой открытый ключ, `Q_B`, Алисе.
   • Ева, злоумышленник, может видеть и `Q_A`, и `Q_B`, но не может получить закрытые ключи `d_A` или `d_B` из-за ECDLP.
3. Вычисление общего секрета:
   • Алиса берет открытый ключ Боба `Q_B` и умножает его на свой закрытый ключ `d_A`, чтобы получить точку S: S = d_A * Q_B.
   • Боб берет открытый ключ Алисы `Q_A` и умножает его на свой закрытый ключ `d_B`, чтобы получить точку S: S = d_B * Q_A.

Магия коммутативности

И Алиса, и Боб приходят к одному и тому же секретному значению `S` на кривой. Это связано с тем, что скалярное умножение ассоциативно и коммутативно:

Расчет Алисы: S = d_A * Q_B = d_A * (d_B * G)

Расчет Боба: S = d_B * Q_A = d_B * (d_A * G)

Поскольку d_A * d_B * G = d_B * d_A * G, они оба вычисляют один и тот же результат, никогда не раскрывая свои закрытые ключи.

От общей точки к симметричному ключу

Полученный общий секрет `S` — это точка на кривой, а не симметричный ключ, подходящий для алгоритмов шифрования, таких как AES. Чтобы получить ключ, стандартной практикой является взятие x-координаты точки `S` и передача ее через функцию вывода ключа (KDF), такую как HKDF (функция вывода ключа на основе HMAC). KDF принимает общий секрет и, при необходимости, соль и другую информацию, и создает криптографически сильный ключ желаемой длины.

Все базовые вычисления — генерация закрытых ключей как случайных BigInt и выполнение скалярного умножения — сильно зависят от арифметики BigInt.

Расширенная операция 2: восстановление открытого ключа из подписей

Во многих системах, особенно в блокчейнах, первостепенное значение имеют эффективность и минимизация данных. Обычно для проверки подписи требуется сообщение, сама подпись и открытый ключ подписывающего. Однако, умное свойство алгоритма цифровой подписи на эллиптической кривой (ECDSA) позволяет восстановить открытый ключ непосредственно из сообщения и подписи. Это означает, что открытый ключ не нужно передавать, что экономит драгоценное место.

Как это работает (высокий уровень)

Подпись ECDSA состоит из двух компонентов (`r`, `s`).

• `r` получено из x-координаты случайной точки `k * G`.
• `s` вычисляется на основе хэша сообщения (`z`), закрытого ключа (`d`) и `r`. Формула: `s = k_inverse * (z + r * d) mod n`, где `n` — порядок кривой.

С помощью алгебраических манипуляций с уравнением проверки подписи можно получить выражение для открытого ключа `Q`. Однако этот процесс дает два возможных допустимых открытых ключа. Чтобы разрешить эту неоднозначность, небольшая часть дополнительной информации, называемая идентификатором восстановления (часто обозначается как `v` или `recid`), включается в подпись. Этот идентификатор, обычно 0, 1, 2 или 3, указывает, какое из возможных решений является правильным и четная или нечетная координата y ключа.

Почему BigInt важен

Математические операции, необходимые для восстановления открытого ключа, интенсивны и включают модульные обратные величины, умножение и сложение 256-битных чисел. Например, ключевой шаг включает вычисление `(r_inverse * (s*k - z)) * G`. Эти операции — именно то, для чего предназначен BigInt. Без него выполнение этих вычислений в нативном JavaScript было бы невозможно без значительной потери точности и безопасности.

Практическое применение: транзакции Ethereum

Эта техника широко используется в Ethereum. Подписанная транзакция не содержит адрес отправителя напрямую. Вместо этого адрес (который получен из открытого ключа) восстанавливается из компонентов подписи `v`, `r` и `s`. Этот выбор дизайна экономит 20 байт в каждой транзакции, что является значительной экономией в масштабе глобального блокчейна.

Расширенная операция 3: подписи Шнорра и агрегация

Хотя ECDSA широко используется, у него есть определенные недостатки, в том числе податливость подписи и отсутствие свойств агрегации. Подписи Шнорра, еще одна схема на основе ECC, предоставляют элегантные решения этих проблем и многими криптографами считаются более совершенными.

Основные преимущества подписей Шнорра

• Доказуемая безопасность: Они имеют более простую и надежную проверку безопасности по сравнению с ECDSA.
• Неподатливость: Третья сторона не может изменить действительную подпись на другую действительную подпись для того же сообщения и ключа.
• Линейность (Суперсила): Это самое значительное преимущество. Подписи Шнорра линейны, что позволяет использовать мощные методы агрегации.

Объяснение агрегации подписи

Свойство линейности означает, что несколько подписей от нескольких подписантов можно объединить в одну компактную подпись. Это меняет правила игры для схем с несколькими подписями (multisig).

Рассмотрим сценарий, когда транзакция требует подписей от 3 из 5 участников. С ECDSA вам потребуется включить все три отдельные подписи в блокчейн, что займет значительное место.

С подписями Шнорра процесс намного эффективнее:

1. Агрегация ключей: 3 участника могут объединить свои отдельные открытые ключи (`Q1`, `Q2`, `Q3`), чтобы создать один агрегированный открытый ключ (`Q_agg`).
2. Агрегация подписей: С помощью протокола совместной работы, такого как MuSig2, участники могут создать одну агрегированную подпись (`S_agg`), которая действительна для агрегированного открытого ключа `Q_agg`.

В результате получается транзакция, которая выглядит идентично стандартной транзакции с одним подписывающим лицом. У него есть один открытый ключ и одна подпись. Это значительно повышает эффективность, масштабируемость и конфиденциальность, поскольку сложные настройки multisig становятся неотличимыми от простых.

Роль BigInt

Магия агрегации основана на простом сложении точек на эллиптической кривой и скалярной арифметике. Создание агрегированного ключа включает в себя `Q_agg = Q1 + Q2 + Q3`, а создание агрегированной подписи включает в себя сложение отдельных компонентов подписи по модулю порядка кривой. Все эти операции — которые составляют основу таких протоколов, как MuSig2, — выполняются над большими целыми числами и координатами кривой, что делает BigInt незаменимым инструментом для реализации подписей Шнорра и схем агрегации в JavaScript.

Рекомендации по реализации и лучшие методы обеспечения безопасности

Хотя BigInt дает нам возможность понимать и реализовывать эти расширенные операции, создание криптографии производственного уровня — опасная задача. Вот некоторые важные соображения.

1. НЕ разрабатывайте свою криптографию для производства

Эта статья направлена на обучение и демонстрацию базовых механизмов. Вы никогда не должны реализовывать эти криптографические примитивы с нуля для производственного приложения. Используйте хорошо проверенные, проверенные и рецензируемые библиотеки, такие как `noble-curves`. Эти библиотеки созданы экспертами и учитывают многочисленные тонкие, но критические проблемы безопасности.

2. Операции с постоянным временем и атаки по сторонним каналам

Одна из самых опасных ловушек — атака по сторонним каналам. Злоумышленник может анализировать нефункциональные аспекты системы — такие как энергопотребление или точное время выполнения операции — чтобы раскрыть информацию о секретных ключах. Например, если умножение с битом '1' в ключе занимает немного больше времени, чем с битом '0', злоумышленник может реконструировать ключ, наблюдая за изменениями времени.

Стандартные операции BigInt в JavaScript не постоянны во времени. Время их выполнения может зависеть от значения операндов. Профессиональные криптографические библиотеки используют узкоспециализированные алгоритмы, чтобы гарантировать, что все операции, включающие закрытые ключи, занимают постоянное количество времени, независимо от значения ключа, тем самым смягчая эту угрозу.

3. Безопасная генерация случайных чисел

Безопасность любой криптографической системы начинается с качества ее случайности. Закрытые ключи должны генерироваться с использованием криптографически безопасного генератора псевдослучайных чисел (CSPRNG). В средах JavaScript всегда используйте встроенные API:

• Браузер: crypto.getRandomValues()
• Node.js: crypto.randomBytes()

Никогда не используйте `Math.random()` в криптографических целях, так как он не предназначен для непредсказуемости.

4. Проверка параметров домена и открытого ключа

При получении открытого ключа из внешнего источника важно проверить его. Злоумышленник может предоставить вредоносную точку, которая на самом деле не находится на указанной эллиптической кривой, что может привести к атакам, раскрывающим ваш закрытый ключ во время обмена ключами ECDH (например, атаки на недопустимую кривую). Авторитетные библиотеки обрабатывают эту проверку автоматически.

Заключение

Появление BigInt коренным образом изменило ландшафт криптографии в экосистеме JavaScript. Он переместил ECC из области непрозрачных, черных ящиков библиотек в нечто, что может быть реализовано и понято изначально, способствуя новому уровню прозрачности и возможностей.

Мы рассмотрели, как эта единственная функция включает в себя расширенные и мощные криптографические операции, которые являются центральными для современных безопасных систем:

• Обмен ключами ECDH: Основа для установления безопасных каналов связи.
• Восстановление открытого ключа: Метод повышения эффективности, критически важный для масштабируемых систем, таких как блокчейны.
• Подписи Шнорра: Схема подписи следующего поколения, предлагающая превосходную эффективность, конфиденциальность и масштабируемость за счет агрегации.

Как разработчики и архитекторы, понимание этих передовых концепций больше не является просто академическим упражнением. Они разворачиваются в глобальных системах сегодня, от обновления Taproot в Bitcoin до протоколов безопасного обмена сообщениями, которые защищают наши ежедневные разговоры. Хотя окончательная реализация всегда должна оставаться за проверенными, рецензируемыми экспертами библиотеками, глубокое понимание механики, сделанное возможным благодаря таким инструментам, как BigInt, дает нам возможность создавать более безопасные, эффективные и инновационные приложения для глобальной аудитории.