Criptografia de Curva Elíptica com BigInt em JavaScript: Um Mergulho Profundo em Operações Avançadas

Numa era dominada pela interação digital, desde finanças descentralizadas (DeFi) até mensagens criptografadas de ponta a ponta, a robustez das nossas bases criptográficas nunca foi tão crítica. A Criptografia de Curva Elíptica (ECC) é um pilar da criptografia de chave pública moderna, oferecendo segurança robusta com tamanhos de chave menores em comparação com seus predecessores como RSA. Durante anos, realizar essas operações matemáticas complexas diretamente em JavaScript foi um desafio, muitas vezes exigindo bibliotecas especializadas que abstraíam os detalhes de baixo nível ou lidavam com as limitações do tipo numérico padrão do JavaScript.

A introdução do tipo nativo BigInt no JavaScript (ES2020) foi um momento revolucionário. Ele libertou os desenvolvedores das restrições do tipo Number de ponto flutuante de 64 bits, fornecendo um mecanismo para lidar com inteiros arbitrariamente grandes. Essa única funcionalidade desbloqueou o potencial para implementações criptográficas de alto desempenho, nativas e mais transparentes diretamente em ambientes JavaScript, como navegadores e Node.js.

Embora muitos desenvolvedores estejam familiarizados com o básico da ECC — gerar pares de chaves e assinar mensagens — o verdadeiro poder desta tecnologia reside em suas operações mais avançadas. Este artigo vai além dos fundamentos para explorar protocolos e técnicas criptográficas sofisticadas que agora são acessíveis graças ao BigInt. Vamos nos aprofundar no Elliptic Curve Diffie-Hellman (ECDH) para troca segura de chaves, na recuperação de chaves públicas a partir de assinaturas e nas poderosas assinaturas Schnorr, que são amigáveis à agregação.

A Revolução do BigInt na Criptografia JavaScript

Antes de mergulharmos nas operações avançadas, é essencial entender por que o BigInt é um divisor de águas para a criptografia em JavaScript.

O Problema com o Tipo `Number`

O tipo tradicional Number do JavaScript é um número de ponto flutuante de 64 bits de precisão dupla IEEE 754. Este formato é excelente para uma vasta gama de aplicações, mas tem uma limitação crítica para a criptografia: ele só pode representar inteiros com segurança até Number.MAX_SAFE_INTEGER, que é 2⁵³ - 1.

Chaves criptográficas e valores intermediários em ECC são vastamente maiores. Por exemplo, a popular curva secp256k1 usada pelo Bitcoin e Ethereum opera sobre um corpo de números primos de 256 bits. Esses números são ordens de magnitude maiores do que o tipo Number padrão pode manipular sem perder precisão. Tentar realizar cálculos com tais números levaria a resultados incorretos e inseguros.

A Chegada do `BigInt`: Inteiros de Precisão Arbitrária

O BigInt resolve este problema elegantemente. É um tipo numérico distinto que fornece uma maneira de representar números inteiros de qualquer tamanho. Você pode criar um BigInt anexando `n` ao final de um literal inteiro ou chamando o construtor BigInt().

Exemplo:

const aLargeNumber = 9007199254740991n; // Seguro com BigInt
const anEvenLargerNumber = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007908834671663n; // Um número primo de 256 bits

Com o BigInt, todos os operadores aritméticos padrão (+, -, *, /, %, **) funcionam como esperado nesses inteiros massivos. Essa capacidade é a base sobre a qual as implementações nativas de ECC em JavaScript são construídas, permitindo o cálculo direto, preciso e seguro de algoritmos criptográficos sem depender de módulos WebAssembly externos ou de bibliotecas numéricas multipartes complicadas.

Uma Recapitulação dos Fundamentos da Criptografia de Curva Elíptica

Para apreciar as operações avançadas, vamos revisitar brevemente os conceitos centrais da ECC.

No seu cerne, a ECC é baseada na estrutura algébrica de curvas elípticas sobre corpos finitos. Essas curvas são definidas pela equação de Weierstrass:

y² = x³ + ax + b (mod p)

Onde `a` e `b` são constantes que definem a forma da curva, e `p` é um número primo grande que define o corpo finito.

Conceitos Chave

• Ponto na Curva: Um par de coordenadas (x, y) que satisfaz a equação da curva. Todas as nossas operações criptográficas são essencialmente "aritmética de pontos".
• Ponto Base (G): Um ponto de partida padronizado e publicamente conhecido na curva.
• Chave Privada (d): Um inteiro aleatório muito grande e criptograficamente seguro. Este é o seu segredo. No contexto do BigInt, `d` é um BigInt grande.
• Chave Pública (Q): Um ponto na curva derivado da chave privada e do ponto base através de uma operação chamada multiplicação escalar: Q = d * G. Isso significa somar o ponto G a si mesmo `d` vezes.

A segurança da ECC reside no Problema do Logaritmo Discreto em Curvas Elípticas (ECDLP). É computacionalmente fácil calcular a chave pública `Q` dada a chave privada `d` e o ponto base `G`. No entanto, é computacionalmente inviável determinar a chave privada `d` tendo apenas a chave pública `Q` e o ponto base `G`.

Operação Avançada 1: Troca de Chaves Elliptic Curve Diffie-Hellman (ECDH)

Uma das aplicações mais poderosas da ECC é estabelecer um segredo compartilhado entre duas partes através de um canal de comunicação inseguro. Isso é alcançado usando o protocolo de troca de chaves Elliptic Curve Diffie-Hellman (ECDH).

O Objetivo

Imagine dois indivíduos, Alice e Bob, que querem se comunicar de forma segura. Eles precisam concordar com uma chave de criptografia simétrica que apenas eles conheçam, mas seu único meio de comunicação é um canal público que um bisbilhoteiro, Eve, pode monitorar. O ECDH permite que eles calculem um segredo compartilhado idêntico sem nunca transmiti-lo diretamente.

O Protocolo Passo a Passo

1. Geração de Chaves:
   • Alice gera sua chave privada, `d_A` (um BigInt aleatório grande), e sua chave pública correspondente, `Q_A = d_A * G`.
   • Bob gera sua chave privada, `d_B` (outro BigInt aleatório grande), e sua chave pública, `Q_B = d_B * G`.
2. Troca de Chaves Públicas:
   • Alice envia sua chave pública, `Q_A`, para Bob.
   • Bob envia sua chave pública, `Q_B`, para Alice.
   • Eve, a bisbilhoteira, pode ver tanto `Q_A` quanto `Q_B`, mas não consegue derivar as chaves privadas `d_A` ou `d_B` devido ao ECDLP.
3. Cálculo do Segredo Compartilhado:
   • Alice pega a chave pública de Bob, `Q_B`, e a multiplica por sua própria chave privada, `d_A`, para obter um ponto S: S = d_A * Q_B.
   • Bob pega a chave pública de Alice, `Q_A`, e a multiplica por sua própria chave privada, `d_B`, para obter um ponto S: S = d_B * Q_A.

A Mágica da Comutatividade

Tanto Alice quanto Bob chegam ao mesmo ponto secreto `S` na curva. Isso ocorre porque a multiplicação escalar é associativa e comutativa:

Cálculo de Alice: S = d_A * Q_B = d_A * (d_B * G)

Cálculo de Bob: S = d_B * Q_A = d_B * (d_A * G)

Como d_A * d_B * G = d_B * d_A * G, ambos calculam o mesmo resultado sem nunca revelar suas chaves privadas.

Do Ponto Compartilhado à Chave Simétrica

O segredo compartilhado resultante `S` é um ponto na curva, não uma chave simétrica adequada para algoritmos de criptografia como AES. Para derivar uma chave, uma prática padrão é pegar a coordenada x do ponto `S` e passá-la por uma Função de Derivação de Chave (KDF), como a HKDF (HMAC-based Key Derivation Function). A KDF pega o segredo compartilhado e, opcionalmente, um salt e outras informações, e produz uma chave criptograficamente forte de um comprimento desejado.

Todos os cálculos subjacentes — gerar chaves privadas como BigInts aleatórios e realizar a multiplicação escalar — dependem fortemente da aritmética do BigInt.

Operação Avançada 2: Recuperação de Chave Pública a Partir de Assinaturas

Em muitos sistemas, especialmente blockchains, a eficiência e a minimização de dados são primordiais. Normalmente, para verificar uma assinatura, você precisa da mensagem, da própria assinatura e da chave pública do signatário. No entanto, uma propriedade inteligente do Algoritmo de Assinatura Digital de Curva Elíptica (ECDSA) permite recuperar a chave pública diretamente da mensagem e da assinatura. Isso significa que a chave pública não precisa ser transmitida, economizando espaço valioso.

Como Funciona (Alto Nível)

Uma assinatura ECDSA consiste em dois componentes, (`r`, `s`).

• `r` é derivado da coordenada x de um ponto aleatório `k * G`.
• `s` é calculado com base no hash da mensagem (`z`), na chave privada (`d`) e em `r`. A fórmula é: `s = k_inverso * (z + r * d) mod n`, onde `n` é a ordem da curva.

Através da manipulação algébrica da equação de verificação da assinatura, é possível derivar uma expressão para a chave pública `Q`. No entanto, esse processo gera duas chaves públicas válidas possíveis. Para resolver essa ambiguidade, uma pequena informação extra chamada ID de recuperação (frequentemente denotada como `v` ou `recid`) é incluída com a assinatura. Este ID, tipicamente 0, 1, 2 ou 3, especifica qual das soluções possíveis é a correta e se a coordenada y da chave é par ou ímpar.

Por Que o `BigInt` é Essencial

As operações matemáticas necessárias para a recuperação da chave pública são intensivas e envolvem inversos modulares, multiplicação e adição de números de 256 bits. Por exemplo, um passo chave envolve calcular `(r_inverso * (s*k - z)) * G`. Essas operações são precisamente para o que o `BigInt` foi projetado. Sem ele, realizar esses cálculos em JavaScript nativo seria impossível sem uma perda significativa de precisão e segurança.

Aplicação Prática: Transações Ethereum

Essa técnica é famosamente usada no Ethereum. Uma transação assinada não contém o endereço público do remetente diretamente. Em vez disso, o endereço (que é derivado da chave pública) é recuperado dos componentes `v`, `r` e `s` da assinatura. Essa escolha de design economiza 20 bytes em cada transação, uma economia significativa na escala de uma blockchain global.

Operação Avançada 3: Assinaturas Schnorr e Agregação

Embora o ECDSA seja amplamente utilizado, ele tem certas desvantagens, incluindo a maleabilidade da assinatura e a falta de propriedades de agregação. As assinaturas Schnorr, outro esquema baseado em ECC, fornecem soluções elegantes para esses problemas e são consideradas por muitos criptógrafos como superiores.

Principais Vantagens das Assinaturas Schnorr

• Segurança Comprovável: Elas têm uma prova de segurança mais direta e robusta em comparação com o ECDSA.
• Não Maleabilidade: Não é possível para um terceiro alterar uma assinatura válida para outra assinatura válida para a mesma mensagem e chave.
• Linearidade (O Superpoder): Esta é a vantagem mais significativa. As assinaturas Schnorr são lineares, o que permite técnicas de agregação poderosas.

Agregação de Assinaturas Explicada

A propriedade de linearidade significa que múltiplas assinaturas de múltiplos signatários podem ser combinadas em uma única assinatura compacta. Isso é um divisor de águas para esquemas de múltiplas assinaturas (multisig).

Considere um cenário onde uma transação requer assinaturas de 3 de 5 participantes. Com o ECDSA, você precisaria incluir todas as três assinaturas individuais na blockchain, ocupando um espaço significativo.

Com as assinaturas Schnorr, o processo é muito mais eficiente:

1. Agregação de Chaves: Os 3 participantes podem combinar suas chaves públicas individuais (`Q1`, `Q2`, `Q3`) para criar uma única chave pública agregada (`Q_agg`).
2. Agregação de Assinaturas: Através de um protocolo colaborativo como o MuSig2, os participantes podem criar uma única assinatura agregada (`S_agg`) que é válida para a chave pública agregada `Q_agg`.

O resultado é uma transação que parece idêntica a uma transação padrão de um único signatário por fora. Ela tem uma chave pública e uma assinatura. Isso melhora drasticamente a eficiência, a escalabilidade e a privacidade, pois configurações multisig complexas se tornam indistinguíveis das simples.

O Papel do `BigInt`

A mágica da agregação está enraizada na simples adição de pontos de curva elíptica e na aritmética escalar. Criar a chave agregada envolve `Q_agg = Q1 + Q2 + Q3`, e criar a assinatura agregada envolve somar os componentes individuais da assinatura módulo a ordem da curva. Todas essas operações — que formam a base de protocolos como o MuSig2 — são realizadas em inteiros grandes e coordenadas de curva, tornando o `BigInt` uma ferramenta indispensável para implementar assinaturas Schnorr e esquemas de agregação em JavaScript.

Considerações de Implementação e Melhores Práticas de Segurança

Embora o `BigInt` nos capacite a entender e implementar essas operações avançadas, construir criptografia de nível de produção é uma tarefa perigosa. Aqui estão algumas considerações críticas.

1. NÃO CRIE Sua Própria Criptografia para Produção

Este artigo visa educar e ilustrar a mecânica subjacente. Você nunca deve implementar essas primitivas criptográficas do zero para uma aplicação em produção. Use bibliotecas bem testadas, auditadas e revisadas por pares como `noble-curves`. Essas bibliotecas são construídas por especialistas e levam em conta inúmeras questões de segurança sutis, mas críticas.

2. Operações de Tempo Constante e Ataques de Canal Lateral

Uma das armadilhas mais perigosas é o ataque de canal lateral. Um invasor pode analisar aspectos não funcionais de um sistema — como o consumo de energia ou o tempo preciso que uma operação leva — para vazar informações sobre chaves secretas. Por exemplo, se uma multiplicação com um bit '1' na chave leva um pouco mais de tempo do que com um bit '0', um invasor pode reconstruir a chave observando as variações de tempo.

As operações padrão do `BigInt` em JavaScript não são de tempo constante. Seu tempo de execução pode depender do valor dos operandos. Bibliotecas de criptografia profissionais usam algoritmos altamente especializados para garantir que todas as operações envolvendo chaves privadas levem uma quantidade constante de tempo, independentemente do valor da chave, mitigando assim essa ameaça.

3. Geração Segura de Números Aleatórios

A segurança de qualquer sistema criptográfico começa com a qualidade de sua aleatoriedade. As chaves privadas devem ser geradas usando um gerador de números pseudoaleatórios criptograficamente seguro (CSPRNG). Em ambientes JavaScript, sempre use as APIs integradas:

• Navegador: crypto.getRandomValues()
• Node.js: crypto.randomBytes()

Nunca use `Math.random()` para fins criptográficos, pois não foi projetado para ser imprevisível.

4. Validação de Parâmetros de Domínio e Chave Pública

Ao receber uma chave pública de uma fonte externa, é crucial validá-la. Um invasor pode fornecer um ponto malicioso que não está realmente na curva elíptica especificada, o que pode levar a ataques que revelam sua chave privada durante a troca de chaves ECDH (por exemplo, Ataques de Curva Inválida). Bibliotecas respeitáveis lidam com essa validação automaticamente.

Conclusão

A chegada do `BigInt` transformou fundamentalmente o cenário da criptografia dentro do ecossistema JavaScript. Ele moveu a ECC do reino de bibliotecas opacas e de caixa-preta para algo que pode ser implementado e compreendido nativamente, promovendo um novo nível de transparência e capacidade.

Exploramos como essa única funcionalidade permite operações criptográficas avançadas e poderosas que são centrais para os sistemas seguros modernos:

• Troca de Chaves ECDH: A base para estabelecer canais de comunicação seguros.
• Recuperação de Chave Pública: Uma técnica de aumento de eficiência crucial para sistemas escaláveis como blockchains.
• Assinaturas Schnorr: Um esquema de assinatura de próxima geração que oferece eficiência, privacidade e escalabilidade superiores através da agregação.

Como desenvolvedores e arquitetos, entender esses conceitos avançados não é mais apenas um exercício acadêmico. Eles estão sendo implantados em sistemas globais hoje, desde a atualização Taproot no Bitcoin até os protocolos de mensagens seguras que protegem nossas conversas diárias. Embora a implementação final deva sempre ser deixada para bibliotecas auditadas e revisadas por especialistas, um profundo entendimento da mecânica, tornado possível por ferramentas como o `BigInt`, nos capacita a construir aplicações mais seguras, eficientes e inovadoras para uma audiência global.