वृक्ष प्रवास अल्गोरिदम: डेप्थ-फर्स्ट सर्च (DFS) वि. ब्रेड्थ-फर्स्ट सर्च (BFS)

संगणक विज्ञानात, वृक्ष प्रवास (ज्याला वृक्ष शोध किंवा वृक्ष भ्रमण असेही म्हणतात) म्हणजे वृक्ष डेटा संरचनेतील प्रत्येक नोडला (तपासणे आणि/किंवा अद्यतनित करणे) एकदाच भेट देण्याची प्रक्रिया होय. झाडे ही मूलभूत डेटा संरचना आहेत जी विविध ॲप्लिकेशन्समध्ये मोठ्या प्रमाणावर वापरली जातात, जसे की श्रेणीबद्ध डेटा (फाइल सिस्टम किंवा संस्थात्मक संरचनांसारखा) दर्शवण्यासाठी ते कार्यक्षम शोध आणि क्रमवारी अल्गोरिदम सुलभ करण्यासाठी. वृक्षाचा प्रवास कसा करावा हे समजून घेणे त्यांच्यासोबत प्रभावीपणे कार्य करण्यासाठी महत्त्वाचे आहे.

वृक्ष प्रवासासाठी दोन प्राथमिक दृष्टिकोन डेप्थ-फर्स्ट सर्च (DFS) आणि ब्रेड्थ-फर्स्ट सर्च (BFS) हे आहेत. प्रत्येक अल्गोरिदमचे स्वतःचे फायदे आहेत आणि ते वेगवेगळ्या प्रकारच्या समस्यांसाठी योग्य आहेत. हे सर्वसमावेशक मार्गदर्शक DFS आणि BFS दोन्ही सविस्तरपणे, त्यांची तत्त्वे, अंमलबजावणी, वापर प्रकरणे आणि कार्यप्रदर्शन वैशिष्ट्यांसह एक्सप्लोर करेल.

वृक्ष डेटा संरचना समजून घेणे

प्रवास अल्गोरिदममध्ये जाण्यापूर्वी, वृक्ष डेटा संरचनांची मूलभूत माहिती थोडक्यात पाहू.

वृक्ष म्हणजे काय?

वृक्ष ही एक श्रेणीबद्ध डेटा संरचना आहे जी कडांनी (edges) जोडलेल्या नोड्सनी बनलेली असते. यात एक मूळ नोड (सर्वात वरचा नोड) असतो आणि प्रत्येक नोडमध्ये शून्य किंवा अधिक चाइल्ड नोड्स असू शकतात. चाइल्ड नोड नसलेल्या नोड्सना लीफ नोड्स म्हणतात. वृक्षाची प्रमुख वैशिष्ट्ये खालीलप्रमाणे आहेत:

• मूळ (Root): वृक्षातील सर्वात वरचा नोड.
• नोड (Node): वृक्षातील एक घटक, ज्यात डेटा आणि चाइल्ड नोड्सचे संदर्भ असू शकतात.
• कडा (Edge): दोन नोड्समधील कनेक्शन.
• जनक (Parent): एक किंवा अधिक चाइल्ड नोड्स असलेला नोड.
• चाइल्ड (Child): वृक्षातील दुसऱ्या नोडशी (त्याच्या जनकाशी) थेट जोडलेला नोड.
• लीफ (Leaf): चाइल्ड नसलेला नोड.
• उपवृक्ष (Subtree): एका नोड आणि त्याच्या सर्व वंशजांनी बनलेला वृक्ष.
• नोडची खोली (Depth of a node): मूळापासून नोडपर्यंतच्या कडांची संख्या.
• वृक्षाची उंची (Height of a tree): वृक्षातील कोणत्याही नोडची कमाल खोली.

वृक्षाचे प्रकार

वृक्षाचे अनेक प्रकार अस्तित्वात आहेत, प्रत्येकाची विशिष्ट गुणधर्म आणि वापर प्रकरणे आहेत. काही सामान्य प्रकारांमध्ये हे समाविष्ट आहे:

• बायनरी वृक्ष (Binary Tree): एक वृक्ष जिथे प्रत्येक नोडमध्ये जास्तीत जास्त दोन चाइल्ड असू शकतात, ज्यांना सामान्यतः डावा चाइल्ड आणि उजवा चाइल्ड असे संबोधले जाते.
• बायनरी सर्च वृक्ष (BST) (Binary Search Tree): एक बायनरी वृक्ष जिथे प्रत्येक नोडची किंमत त्याच्या डाव्या उपवृक्षातील सर्व नोड्सच्या किमतीपेक्षा मोठी किंवा समान असते आणि त्याच्या उजव्या उपवृक्षातील सर्व नोड्सच्या किमतीपेक्षा कमी किंवा समान असते. हा गुणधर्म कार्यक्षम शोधण्यास मदत करतो.
• AVL वृक्ष (AVL Tree): एक स्वयं-संतुलित बायनरी सर्च वृक्ष जो शोध, समावेश आणि विलोपन क्रियान्वित करण्यासाठी लॉगरिदमिक वेळ जटिलता सुनिश्चित करण्यासाठी संतुलित संरचना राखतो.
• रेड-ब्लॅक वृक्ष (Red-Black Tree): आणखी एक स्वयं-संतुलित बायनरी सर्च वृक्ष जो संतुलन राखण्यासाठी रंग गुणधर्म वापरतो.
• N-ary वृक्ष (किंवा K-ary वृक्ष) (N-ary Tree or K-ary Tree): एक वृक्ष जिथे प्रत्येक नोडमध्ये जास्तीत जास्त N चाइल्ड असू शकतात.

डेप्थ-फर्स्ट सर्च (DFS)

डेप्थ-फर्स्ट सर्च (DFS) हा एक वृक्ष प्रवास अल्गोरिदम आहे जो परत येण्यापूर्वी प्रत्येक शाखेच्या शक्य तितक्या खोलवर शोध घेतो. तो सह-नोड्स तपासण्यापूर्वी वृक्षाच्या खोलवर जाण्याला प्राधान्य देतो. DFS पुनरावृत्तीने (recursively) किंवा स्टॅक वापरून पुनरावृत्तीने (iteratively) अंमलात आणला जाऊ शकतो.

DFS अल्गोरिदम

DFS प्रवासाचे तीन सामान्य प्रकार आहेत:

• इनऑर्डर प्रवास (डावीकडे-मूळ-उजवीकडे) (Inorder Traversal - Left-Root-Right): डाव्या उपवृक्षाला, नंतर मूळ नोडला आणि शेवटी उजव्या उपवृक्षाला भेट देतो. याचा उपयोग सामान्यतः बायनरी सर्च वृक्षांसाठी केला जातो कारण तो नोड्सना क्रमवार क्रमाने भेट देतो.
• प्रीऑर्डर प्रवास (मूळ-डावीकडे-उजवीकडे) (Preorder Traversal - Root-Left-Right): मूळ नोडला, नंतर डाव्या उपवृक्षाला आणि शेवटी उजव्या उपवृक्षाला भेट देतो. याचा उपयोग अनेकदा वृक्षाची प्रत तयार करण्यासाठी केला जातो.
• पोस्टऑर्डर प्रवास (डावीकडे-उजवीकडे-मूळ) (Postorder Traversal - Left-Right-Root): डाव्या उपवृक्षाला, नंतर उजव्या उपवृक्षाला आणि शेवटी मूळ नोडला भेट देतो. याचा उपयोग सामान्यतः वृक्ष हटवण्यासाठी केला जातो.

अंमलबजावणीची उदाहरणे (पायथन)

प्रत्येक प्रकारच्या DFS प्रवासाचे प्रात्यक्षिक दाखवणारी पायथन उदाहरणे येथे आहेत:

            
class Node:
    def __init__(self, data):
        self.data = data
        self.left = None
        self.right = None

# Inorder Traversal (Left-Root-Right)
def inorder_traversal(root):
    if root:
        inorder_traversal(root.left)
        print(root.data, end=" ")
        inorder_traversal(root.right)

# Preorder Traversal (Root-Left-Right)
def preorder_traversal(root):
    if root:
        print(root.data, end=" ")
        preorder_traversal(root.left)
        preorder_traversal(root.right)

# Postorder Traversal (Left-Right-Root)
def postorder_traversal(root):
    if root:
        postorder_traversal(root.left)
        postorder_traversal(root.right)
        print(root.data, end=" ")

# Example Usage
root = Node(1)
root.left = Node(2)
root.right = Node(3)
root.left.left = Node(4)
root.left.right = Node(5)

print("Inorder traversal:")
inorder_traversal(root)  # Output: 4 2 5 1 3
print("\\nPreorder traversal:")
preorder_traversal(root) # Output: 1 2 4 5 3
print("\\nPostorder traversal:")
postorder_traversal(root) # Output: 4 5 2 3 1

            

              
                Copy
              
            
          

पुनरावृत्ती DFS (स्टॅकसह)

DFS स्टॅक वापरून पुनरावृत्तीने देखील अंमलात आणला जाऊ शकतो. पुनरावृत्ती प्रीऑर्डर प्रवासाचे उदाहरण येथे दिले आहे:

            
def iterative_preorder(root):
    if root is None:
        return

    stack = [root]

    while stack:
        node = stack.pop()
        print(node.data, end=" ")

        # Push right child first so left child is processed first
        if node.right:
            stack.append(node.right)
        if node.left:
            stack.append(node.left)

#Example Usage (same tree as before)
print("\\nIterative Preorder traversal:")
iterative_preorder(root)

            

              
                Copy
              
            
          

DFS ची वापर प्रकरणे

• दोन नोड्स दरम्यान मार्ग शोधणे: DFS ग्राफ किंवा वृक्षातील मार्ग कार्यक्षमतेने शोधू शकतो. नेटवर्कमध्ये (ग्राफ म्हणून दर्शविलेले) डेटा पॅकेट्सचे राउटिंग विचारात घ्या. एकाधिक मार्ग अस्तित्वात असले तरीही, DFS दोन सर्व्हर दरम्यान मार्ग शोधू शकतो.
• टोपॉलॉजिकल क्रमवारी (Topological sorting): DFS चा वापर डिरेक्टेड एसायक्लिक ग्राफ्स (DAGs) च्या टोपॉलॉजिकल क्रमवारीमध्ये केला जातो. काही कार्ये इतरांवर अवलंबून असलेल्या कार्यांचे वेळापत्रक तयार करण्याची कल्पना करा. टोपॉलॉजिकल क्रमवारी ही कार्ये अशा क्रमाने मांडते जी या अवलंबनांचे आदर करते.
• ग्राफमधील चक्रे शोधणे: DFS ग्राफमधील चक्रे शोधू शकतो. संसाधन वाटपामध्ये चक्र शोधणे महत्त्वाचे आहे. जर प्रक्रिया A प्रक्रिया B ची वाट पाहत असेल आणि प्रक्रिया B प्रक्रिया A ची वाट पाहत असेल, तर यामुळे डेडलॉक होऊ शकतो.
• भूलभुलैया सोडवणे: भूलभुलैयातून मार्ग शोधण्यासाठी DFS चा वापर केला जाऊ शकतो.
• अभिव्यक्तींचे पार्सिंग आणि मूल्यांकन (Parsing and evaluating expressions): कंपाइलर्स (Compilers) गणितीय अभिव्यक्तींचे पार्सिंग आणि मूल्यांकन करण्यासाठी DFS-आधारित दृष्टिकोन वापरतात.

DFS चे फायदे आणि तोटे

फायदे:

• अंमलबजावणी करण्यास सोपे: पुनरावृत्ती अंमलबजावणी अनेकदा खूप संक्षिप्त आणि समजण्यास सोपी असते.
• विशिष्ट वृक्षांसाठी मेमरी-कार्यक्षम: अत्यंत खोलवरच्या वृक्षांसाठी DFS ला BFS पेक्षा कमी मेमरी लागते कारण त्याला केवळ सध्याच्या मार्गावरील नोड्स साठवण्याची आवश्यकता असते.
• लवकर उपाय शोधू शकते: जर इच्छित उपाय वृक्षाच्या खोलवर असेल, तर DFS तो BFS पेक्षा जलद शोधू शकतो.

तोटे:

• सर्वात लहान मार्ग शोधण्याची हमी नाही: DFS मार्ग शोधू शकतो, परंतु तो सर्वात लहान मार्ग असेल याची हमी नाही.
• अनंत लूपची शक्यता: जर वृक्षाची रचना काळजीपूर्वक केली नसेल (उदा. त्यात चक्रे असतील), तर DFS अनंत लूपमध्ये अडकू शकतो.
• स्टॅक ओव्हरफ्लो (Stack Overflow): पुनरावृत्ती अंमलबजावणीमुळे खूप खोल वृक्षांसाठी स्टॅक ओव्हरफ्लो त्रुटी येऊ शकतात.

ब्रेड्थ-फर्स्ट सर्च (BFS)

ब्रेड्थ-फर्स्ट सर्च (BFS) हा एक वृक्ष प्रवास अल्गोरिदम आहे जो पुढील स्तरावरील नोड्सकडे जाण्यापूर्वी वर्तमान स्तरावरील सर्व शेजारी नोड्स तपासतो. तो मूळापासून सुरुवात करून वृक्षाचा स्तरानुसार शोध घेतो. BFS सामान्यतः रांग (queue) वापरून पुनरावृत्तीने (iteratively) अंमलात आणला जातो.

BFS अल्गोरिदम

1. मूळ नोडला रांगेत घाला (Enqueue).
2. जोपर्यंत रांग रिकामी नाही:
1. रांगेतून एक नोड काढा (Dequeue).
2. नोडला भेट द्या (उदा. त्याचे मूल्य प्रिंट करा).
3. नोडच्या सर्व चाइल्ड्सना रांगेत घाला (Enqueue).

अंमलबजावणीचे उदाहरण (पायथन)

            
from collections import deque

def bfs_traversal(root):
    if root is None:
        return

    queue = deque([root])

    while queue:
        node = queue.popleft()
        print(node.data, end=" ")

        if node.left:
            queue.append(node.left)
        if node.right:
            queue.append(node.right)

#Example Usage (same tree as before)
print("BFS traversal:")
bfs_traversal(root) # Output: 1 2 3 4 5

            

              
                Copy
              
            
          

BFS ची वापर प्रकरणे

• सर्वात लहान मार्ग शोधणे: BFS ला अभारित ग्राफमध्ये (unweighted graph) दोन नोड्स दरम्यान सर्वात लहान मार्ग शोधण्याची हमी आहे. सोशल नेटवर्किंग साइट्सची कल्पना करा. BFS दोन वापरकर्त्यांमधील सर्वात लहान कनेक्शन शोधू शकतो.
• ग्राफ प्रवास: ग्राफचा प्रवास करण्यासाठी BFS चा वापर केला जाऊ शकतो.
• वेब क्रॉलिंग (Web crawling): सर्च इंजिन वेब क्रॉल करण्यासाठी आणि पेजेस इंडेक्स करण्यासाठी BFS चा वापर करतात.
• जवळचे शेजारी शोधणे: भौगोलिक मॅपिंगमध्ये, BFS दिलेल्या स्थानाजवळची रेस्टॉरंट्स, पेट्रोल स्टेशन्स किंवा रुग्णालये शोधू शकतो.
• फ्लड फिल अल्गोरिदम (Flood fill algorithm): इमेज प्रोसेसिंगमध्ये, BFS फ्लड फिल अल्गोरिदमचा आधार बनवतो (उदा. "पेंट बकेट" टूल).

BFS चे फायदे आणि तोटे

फायदे:

• सर्वात लहान मार्ग शोधण्याची हमी: BFS नेहमी अभारित ग्राफमध्ये सर्वात लहान मार्ग शोधतो.
• जवळचे नोड्स शोधण्यासाठी योग्य: सुरुवातीच्या नोडच्या जवळचे नोड्स शोधण्यासाठी BFS कार्यक्षम आहे.
• अनंत लूप टाळतो: BFS स्तरानुसार शोध घेत असल्याने, तो ग्राफमध्ये चक्रे असली तरीही अनंत लूपमध्ये अडकणे टाळतो.

तोटे:

• मेमरी-सधन: BFS ला मोठ्या प्रमाणात मेमरीची आवश्यकता असू शकते, विशेषतः विस्तृत वृक्षांसाठी, कारण त्याला सध्याच्या स्तरावरील सर्व नोड्स रांगेत साठवण्याची आवश्यकता असते.
• DFS पेक्षा हळू असू शकते: जर इच्छित उपाय वृक्षाच्या खोलवर असेल, तर BFS DFS पेक्षा हळू असू शकते कारण तो खोलवर जाण्यापूर्वी प्रत्येक स्तरावरील सर्व नोड्स तपासतो.

DFS आणि BFS ची तुलना

येथे DFS आणि BFS मधील मुख्य फरकांचा सारांश देणारी सारणी दिली आहे:

DFS आणि BFS मधून निवड करणे

DFS आणि BFS मधून निवड तुम्ही सोडवण्याचा प्रयत्न करत असलेल्या विशिष्ट समस्येवर आणि तुम्ही ज्या वृक्ष किंवा ग्राफवर काम करत आहात त्याच्या वैशिष्ट्यांवर अवलंबून असते. तुम्हाला निवड करण्यात मदत करण्यासाठी येथे काही मार्गदर्शक तत्त्वे दिली आहेत:

• DFS चा वापर कधी करावा:
  • जेव्हा वृक्ष खूप खोल असतो आणि तुम्हाला वाटते की उपाय खोलवर आहे.
  • मेमरीचा वापर ही एक मोठी चिंता असते आणि वृक्ष जास्त विस्तृत नसतो.
  • तुम्हाला ग्राफमध्ये चक्रे शोधण्याची आवश्यकता असते.
• BFS चा वापर कधी करावा:
  • तुम्हाला अभारित ग्राफमध्ये सर्वात लहान मार्ग शोधायचा असेल.
  • तुम्हाला सुरुवातीच्या नोडच्या जवळचे नोड्स शोधायचे असतील.
  • मेमरी हे मोठे बंधन नसते आणि वृक्ष विस्तृत असतो.

बायनरी वृक्षांच्या पलीकडे: ग्राफमधील DFS आणि BFS

आम्ही प्रामुख्याने वृक्षांच्या संदर्भात DFS आणि BFS ची चर्चा केली असली तरी, हे अल्गोरिदम ग्राफला देखील तितकेच लागू आहेत, जे अधिक सामान्य डेटा संरचना आहेत जिथे नोड्समध्ये अनियंत्रित कनेक्शन असू शकतात. मुख्य तत्त्वे समान राहतात, परंतु ग्राफमध्ये चक्रे असू शकतात, ज्यामुळे अनंत लूप टाळण्यासाठी अतिरिक्त लक्ष देण्याची आवश्यकता असते.

ग्राफवर DFS आणि BFS लागू करताना, आधीच तपासलेल्या नोड्सचा मागोवा ठेवण्यासाठी "भेट दिलेले" (visited) सेट किंवा ॲरे राखणे सामान्य आहे. हे अल्गोरिदमला नोड्सना पुन्हा भेट देण्यापासून आणि चक्रेमध्ये अडकण्यापासून प्रतिबंधित करते.

निष्कर्ष

डेप्थ-फर्स्ट सर्च (DFS) आणि ब्रेड्थ-फर्स्ट सर्च (BFS) हे मूलभूत वृक्ष आणि ग्राफ प्रवास अल्गोरिदम आहेत, ज्यांची विशिष्ट वैशिष्ट्ये आणि वापर प्रकरणे आहेत. त्यांची तत्त्वे, अंमलबजावणी आणि कार्यप्रदर्शन व्यापार-बंद (trade-offs) समजून घेणे कोणत्याही संगणक शास्त्रज्ञ किंवा सॉफ्टवेअर अभियंत्यासाठी आवश्यक आहे. हातातील विशिष्ट समस्येचा काळजीपूर्वक विचार करून, तुम्ही ती कार्यक्षमतेने सोडवण्यासाठी योग्य अल्गोरिदम निवडू शकता. DFS मेमरी कार्यक्षमतेत आणि खोल शाखांचा शोध घेण्यात उत्कृष्ट असताना, BFS सर्वात लहान मार्ग शोधण्याची हमी देतो आणि अनंत लूप टाळतो, ज्यामुळे त्यांच्यातील फरक समजून घेणे महत्त्वाचे ठरते. या अल्गोरिदममध्ये प्रभुत्व मिळवल्याने तुमच्या समस्या सोडवण्याच्या कौशल्यांमध्ये वाढ होईल आणि तुम्हाला जटिल डेटा संरचनेच्या आव्हानांना आत्मविश्वासाने सामोरे जाण्याची संधी मिळेल.