Teselācija: Atkārtojošos rakstu matemātikas izpēte

Teselācija, zināma arī kā plaknes klājums, ir virsmas pārklāšana ar vienu vai vairākām ģeometriskām figūrām, ko sauc par elementiem, bez pārklāšanās un bez spraugām. Matemātiski tā ir aizraujoša joma, kas savieno ģeometriju, mākslu un pat fiziku. Šis raksts sniedz visaptverošu teselāciju izpēti, aptverot to matemātiskos pamatus, vēsturisko kontekstu, māksliniecisko pielietojumu un reālās pasaules piemērus.

Kas ir teselācija?

Būtībā teselācija ir raksts, ko veido, atkārtojot vienu figūru vai figūru kopu, lai pārklātu plakni. Galvenās iezīmes ir:

• Bez spraugām: Elementiem ir jāsaliekas kopā perfekti, neatstājot tukšas vietas starp tiem.
• Bez pārklāšanās: Elementi nedrīkst pārklāties viens ar otru.
• Pilnīgs pārklājums: Elementiem ir jāpārklāj visa virsma.

Teselācijas var klasificēt, pamatojoties uz izmantoto figūru veidiem un to izkārtojumu. Vienkāršās teselācijās tiek izmantota viena figūra, savukārt sarežģītās teselācijās tiek izmantotas vairākas figūras.

Teselāciju veidi

Teselācijas var plaši iedalīt šādās kategorijās:

Regulāras teselācijas

Regulāru teselāciju veido tikai viena veida regulārs daudzstūris (daudzstūris ar visām vienādām malām un leņķiem). Ir tikai trīs regulāri daudzstūri, ar kuriem var teselēt plakni:

• Vienādmalu trijstūri: Tie veido ļoti bieži sastopamu un stabilu teselāciju. Padomājiet par trijstūra balsta konstrukcijām tiltos vai atomu izvietojumu dažās kristāliskajās restēs.
• Kvadrāti: Iespējams, visuresoša teselācija, kas redzama grīdas flīzēs, rūtiņu papīrā un pilsētu tīklos visā pasaulē. Kvadrātu perfekti ortogonālā daba padara tos ideālus praktiskiem pielietojumiem.
• Regulāri sešstūri: Atrasti bišu šūnās un dažās molekulārajās struktūrās, sešstūri nodrošina efektīvu telpas izmantošanu un strukturālo integritāti. To seškārtīgā simetrija piedāvā unikālas īpašības.

Šīs trīs ir vienīgās iespējamās regulārās teselācijas, jo daudzstūra iekšējam leņķim ir jābūt 360 grādu dalītājam, lai tie satiktos virsotnē. Piemēram, vienādmalu trijstūrim leņķi ir 60 grādi, un seši trijstūri var satikties vienā punktā (6 * 60 = 360). Kvadrātam leņķi ir 90 grādi, un četri var satikties vienā punktā. Sešstūrim leņķi ir 120 grādi, un trīs var satikties vienā punktā. Regulārs piecstūris ar 108 grādu leņķiem nevar veidot teselāciju, jo 360 nedalās ar 108 bez atlikuma.

Pusregulāras teselācijas

Pusregulāras teselācijas (sauc arī par Arhimēda teselācijām) izmanto divus vai vairākus dažādus regulārus daudzstūrus. Daudzstūru izvietojumam katrā virsotnē jābūt vienādam. Pastāv astoņas iespējamās pusregulārās teselācijas:

• Trijstūris-kvadrāts-kvadrāts (3.4.4.6)
• Trijstūris-kvadrāts-sešstūris (3.6.3.6)
• Trijstūris-trijstūris-kvadrāts-kvadrāts (3.3.4.3.4)
• Trijstūris-trijstūris-trijstūris-kvadrāts (3.3.3.4.4)
• Trijstūris-trijstūris-trijstūris-trijstūris-sešstūris (3.3.3.3.6)
• Kvadrāts-kvadrāts-kvadrāts (4.8.8)
• Trijstūris-divpadsmitstūris-divpadsmitstūris (4.6.12)
• Trijstūris-kvadrāts-divpadsmitstūris (3.12.12)

Apzīmējums iekavās apzīmē daudzstūru secību ap virsotni, virzoties pulksteņrādītāja vai pretpulksteņrādītāja virzienā.

Neregulāras teselācijas

Neregulāras teselācijas veido neregulāri daudzstūri (daudzstūri, kuru malas un leņķi nav vienādi). Jebkurš trijstūris vai četrstūris (izliekts vai ieliekts) var teselēt plakni. Šī elastība ļauj izmantot plašu māksliniecisku un praktisku pielietojumu klāstu.

Aperiodiskas teselācijas

Aperiodiskas teselācijas ir klājumi, kas izmanto noteiktu elementu kopu, ar kuru plakni var pārklāt tikai neperiodiski. Tas nozīmē, ka raksts nekad neatkārtojas precīzi. Visslavenākais piemērs ir Penrouza klājums, ko 1970. gados atklāja Rodžers Penrouzs. Penrouza klājumi ir aperiodiski, izmantojot divus dažādus rombus. Šiem klājumiem ir interesantas matemātiskas īpašības, un tie ir atrasti pārsteidzošās vietās, piemēram, rakstos uz dažām senām islāma ēkām.

Teselāciju matemātiskie principi

Lai izprastu matemātiku, kas slēpjas aiz teselācijām, ir nepieciešami jēdzieni no ģeometrijas, tostarp leņķi, daudzstūri un simetrija. Galvenais princips ir, ka leņķu summai ap virsotni jābūt 360 grādiem.

Leņķu summas īpašība

Kā minēts iepriekš, leņķu summai katrā virsotnē jābūt 360 grādiem. Šis princips nosaka, kuri daudzstūri var veidot teselācijas. Regulāriem daudzstūriem iekšējiem leņķiem ir jābūt 360 dalītājiem.

Simetrija

Simetrijai ir izšķiroša loma teselācijās. Teselācijā var būt vairāki simetrijas veidi:

• Translācija: Rakstu var pārvietot (translatēt) pa līniju, un tas joprojām izskatīsies tāpat.
• Rotācija: Rakstu var pagriezt ap punktu, un tas joprojām izskatīsies tāpat.
• Atspoguļošana: Rakstu var atspoguļot pāri līnijai, un tas joprojām izskatīsies tāpat.
• Slīdošā atspoguļošana: Atspoguļošanas un translācijas kombinācija.

Šīs simetrijas apraksta tā saucamās tapešu grupas. Pastāv 17 tapešu grupas, no kurām katra pārstāv unikālu simetriju kombināciju, kas var pastāvēt 2D atkārtojošā rakstā. Tapešu grupu izpratne ļauj matemātiķiem un māksliniekiem sistemātiski klasificēt un radīt dažādus teselāciju veidus.

Eiklīda un neeiklīda ģeometrija

Tradicionāli teselācijas tiek pētītas Eiklīda ģeometrijas ietvaros, kas nodarbojas ar plakanām virsmām. Tomēr teselācijas var pētīt arī neeiklīda ģeometrijās, piemēram, hiperboliskajā ģeometrijā. Hiperboliskajā ģeometrijā paralēlas līnijas diverģē, un leņķu summa trijstūrī ir mazāka par 180 grādiem. Tas ļauj izveidot teselācijas ar daudzstūriem, kas Eiklīda telpā nebūtu iespējams. M. K. Ešers savos vēlākajos darbos slaveni pētīja hiperboliskās teselācijas, balstoties uz H. S. M. Koksetera matemātiskajām atziņām.

Vēsturiskā un kultūras nozīme

Teselāciju izmantošana aizsākās senajās civilizācijās un ir atrodama dažādās mākslas, arhitektūras un dekoratīvo rakstu formās visā pasaulē.

Senās civilizācijas

• Senā Roma: Romiešu mozaīkas bieži ietver sarežģītas teselācijas, izmantojot mazas krāsainas flīzes (tesserae), lai radītu dekoratīvus rakstus un ainu attēlojumus. Šīs mozaīkas ir atrastas visā Romas impērijā, no Itālijas līdz Ziemeļāfrikai un Lielbritānijai.
• Senā Grieķija: Grieķu arhitektūrā un keramikā bieži tiek izmantoti ģeometriski raksti un teselācijas. Meandra raksti, piemēram, ir teselācijas forma, kas bieži parādās grieķu mākslā.
• Islāma māksla: Islāma māksla ir slavena ar saviem sarežģītajiem ģeometriskajiem rakstiem un teselācijām. Teselāciju izmantošana islāma mākslā sakņojas reliģiskos uzskatos, kas uzsver bezgalību un visu lietu vienotību. Mošejas un pilis visā islāma pasaulē demonstrē satriecošus teselāciju piemērus, izmantojot dažādas ģeometriskas formas. Alhambra pils Granadā, Spānijā, ir galvenais piemērs, kas lepojas ar sarežģītām mozaīkām un flīžu darbiem ar dažādiem teselētiem rakstiem.

Mūsdienu pielietojums

Teselācijas joprojām ir aktuālas arī mūsdienās, atrodot pielietojumu dažādās jomās:

• Arhitektūra: Teselētas virsmas tiek izmantotas ēku fasādēs, jumtos un interjera dizainā, lai radītu vizuāli pievilcīgas un strukturāli stabilas konstrukcijas. Piemēram, Eden projekts Kornvolā, Lielbritānijā, ar saviem ģeodēziskajiem kupoliem, kas sastāv no sešstūra paneļiem.
• Datorgrafika: Teselācija ir tehnika, ko izmanto datorgrafikā, lai palielinātu 3D modeļu detalizāciju, sadalot daudzstūrus mazākos. Tas ļauj iegūt gludākas virsmas un reālistiskākus attēlus.
• Tekstila dizains: Teselācijas tiek izmantotas tekstila dizainā, lai radītu atkārtojošus rakstus uz audumiem. Šie raksti var būt no vienkāršiem ģeometriskiem dizainiem līdz sarežģītiem un smalkiem motīviem.
• Iepakojums: Teselācijas var izmantot, lai efektīvi iepakotu produktus, samazinot atkritumu daudzumu un maksimāli izmantojot telpu.
• Zinātne: Teselējošas formas ir atrodamas dabā, piemēram, bišu šūnu sešstūra šūnas vai dažu zivju zvīņas. Teselāciju izpratne var palīdzēt zinātniekiem modelēt un izprast šīs dabas parādības.

Teselāciju piemēri mākslā un dabā

Teselācijas nav tikai matemātiski jēdzieni; tās ir atrodamas arī mākslā un dabā, sniedzot iedvesmu un praktisku pielietojumu.

M. K. Ešers

Maurics Kornēlijs Ešers (1898-1972) bija holandiešu grafiķis, kas pazīstams ar saviem matemātiski iedvesmotajiem kokgriezumiem, litogrāfijām un mecotintām. Ešera darbos bieži parādās teselācijas, neiespējamas konstrukcijas un bezgalības izpēte. Viņu fascinēja teselācijas jēdziens, un viņš to plaši izmantoja savā mākslā, lai radītu vizuāli satriecošus un intelektuāli stimulējošus darbus. Viņa darbi, piemēram, "Rāpuļi", "Debesis un ūdens" un "Apļa robeža III", ir slaveni teselāciju piemēri, kas pārveidojas dažādās formās un pēta uztveres robežas. Viņa darbs savienoja plaisu starp matemātiku un mākslu, padarot matemātiskus jēdzienus pieejamus un saistošus plašākai auditorijai.

Bišu šūnas

Bišu šūnas ir klasisks dabas teselācijas piemērs. Bites būvē savas šūnas, izmantojot sešstūra šūnas, kas perfekti savienojas, lai izveidotu spēcīgu un efektīvu struktūru. Sešstūra forma maksimāli palielina uzglabājamā medus daudzumu, vienlaikus samazinot vaska daudzumu, kas nepieciešams šūnu būvēšanai. Šī efektīvā resursu izmantošana ir apliecinājums teselētu struktūru evolucionārajām priekšrocībām.

Žirafes plankumi

Žirafes plankumi, lai arī nav perfektas teselācijas, demonstrē rakstu, kas atgādina teselāciju. Plankumu neregulārās formas savienojas tādā veidā, kas efektīvi pārklāj žirafes ķermeni. Šis raksts nodrošina maskēšanos, palīdzot žirafei saplūst ar vidi. Lai gan plankumi atšķiras pēc izmēra un formas, to izvietojums demonstrē dabiski sastopamu teselācijai līdzīgu rakstu.

Fraktāļu teselācijas

Fraktāļu teselācijas apvieno fraktāļu un teselāciju principus, lai radītu sarežģītus un pašlīdzīgus rakstus. Fraktāļi ir ģeometriskas figūras, kurām piemīt pašlīdzība dažādos mērogos. Kad fraktāļi tiek izmantoti kā elementi teselācijā, iegūtais raksts var būt bezgalīgi sarežģīts un vizuāli satriecošs. Šāda veida teselācijas var atrast matemātiskās vizualizācijās un datorģenerētā mākslā. Fraktāļu teselāciju piemēri ietver tos, kas balstīti uz Serpinska trijstūri vai Koha sniegpārslu.

Kā izveidot savas teselācijas

Teselāciju veidošana var būt jautra un izglītojoša nodarbe. Šeit ir dažas vienkāršas tehnikas, ko varat izmantot, lai izveidotu savas teselācijas:

Pamata translācijas metode

1. Sāciet ar kvadrātu: Sāciet ar kvadrātveida papīra vai kartona gabalu.
2. Izgrieziet un pārvietojiet: Izgrieziet figūru no vienas kvadrāta malas. Pēc tam pārvietojiet (pabīdiet) šo figūru uz pretējo malu un piestipriniet to.
3. Atkārtojiet: Atkārtojiet procesu ar pārējām divām kvadrāta malām.
4. Teselējiet: Jums tagad ir elements, ko var teselēt. Atkārtoti zīmējiet šo elementu uz papīra lapas, lai izveidotu teselētu rakstu.

Rotācijas metode

1. Sāciet ar figūru: Sāciet ar regulāru daudzstūri, piemēram, kvadrātu vai vienādmalu trijstūri.
2. Izgrieziet un pagrieziet: Izgrieziet figūru no vienas daudzstūra malas. Pēc tam pagrieziet šo figūru ap virsotni un piestipriniet to pie citas malas.
3. Atkārtojiet: Atkārtojiet procesu pēc nepieciešamības.
4. Teselējiet: Atkārtoti zīmējiet elementu, lai izveidotu teselētu rakstu.

Programmatūras izmantošana

Ir pieejamas dažādas programmatūras un tiešsaistes rīki, kas var palīdzēt jums izveidot teselācijas. Šie rīki ļauj eksperimentēt ar dažādām formām, krāsām un simetrijām, lai radītu sarežģītus un vizuāli pievilcīgus rakstus. Dažas populāras programmatūras iespējas ietver:

• TesselManiac!
• Adobe Illustrator
• Geogebra

Teselāciju nākotne

Teselācijas joprojām ir aktīvas pētniecības un izpētes joma. Tiek atklāti jauni teselāciju veidi, un tiek atrasti jauni pielietojumi dažādās jomās. Daži potenciālie nākotnes attīstības virzieni ietver:

• Jauni materiāli: Jaunu materiālu izstrāde ar unikālām īpašībām varētu novest pie jauna veida teselētām struktūrām ar uzlabotu izturību, elastību vai funkcionalitāti.
• Robotika: Varētu projektēt teselētus robotus, kas spēj pielāgoties dažādām vidēm un veikt dažādus uzdevumus. Šie roboti varētu sastāvēt no moduļu elementiem, kas var pārkārtoties, lai mainītu robota formu un funkciju.
• Nanotehnoloģija: Teselācijas varētu izmantot nanotehnoloģijā, lai izveidotu pašorganizējošas struktūras ar noteiktām īpašībām. Šīs struktūras varētu izmantot tādos pielietojumos kā zāļu piegāde, enerģijas uzglabāšana un sensorika.

Noslēgums

Teselācija ir bagāta un aizraujoša matemātikas joma, kas savieno ģeometriju, mākslu un zinātni. No vienkāršiem grīdas flīžu rakstiem līdz sarežģītiem islāma mozaīku dizainiem un M. K. Ešera inovatīvajai mākslai, teselācijas ir gadsimtiem ilgi valdzinājušas un iedvesmojušas cilvēkus. Izprotot matemātiskos principus, kas slēpjas aiz teselācijām, mēs varam novērtēt to skaistumu un funkcionalitāti un izpētīt to potenciālos pielietojumus dažādās jomās. Neatkarīgi no tā, vai esat matemātiķis, mākslinieks vai vienkārši ziņkārīgs par pasauli sev apkārt, teselācijas piedāvā unikālu un atalgojošu tēmu izpētei.

Tāpēc, nākamreiz, kad redzat atkārtojošos rakstu, veltiet brīdi, lai novērtētu teselāciju matemātisko eleganci un kultūras nozīmi!