Izpētiet alkatīgos algoritmus. Uzziniet, kā lokāli optimālas izvēles risina sarežģītas optimizācijas problēmas, ar piemēriem kā Dijkstra un Huffman kodēšana.
Alkatīgie algoritmi: Māksla veikt lokāli optimālas izvēles globāliem risinājumiem
Plašajā datorzinātnes un problēmu risināšanas pasaulē mēs pastāvīgi meklējam efektivitāti. Mēs vēlamies algoritmus, kas ir ne tikai pareizi, bet arī ātri un resursu ziņā efektīvi. Starp dažādām algoritmu izstrādes paradigmām alkatīgā pieeja izceļas ar savu vienkāršību un eleganci. Pēc būtības alkatīgais algoritms izdara izvēli, kas šķiet labākā konkrētajā brīdī. Tā ir stratēģija, kuras mērķis ir veikt lokāli optimālu izvēli, cerot, ka šī lokālo optimālo izvēļu sērija novedīs pie globāli optimāla risinājuma.
Bet kad šī intuitīvā, īstermiņa pieeja patiešām darbojas? Un kad tā mūs noved pa ceļu, kas ir tālu no optimālā? Šis visaptverošais ceļvedis izpētīs alkatīgo algoritmu filozofiju, apskatīs klasiskos piemērus, izcels to reālās pasaules pielietojumus un precizēs kritiskos apstākļus, kuros tie gūst panākumus.
Alkatīgā algoritma pamatfilozofija
Iedomājieties, ka esat kasieris, kuram jāizdod klientam atlikums. Jums jāizsniedz noteikta summa, izmantojot pēc iespējas mazāk monētu. Intuitīvi jūs sāktu, izsniedzot lielākās nomināla monētu (piemēram, ceturtdaļdolāru), kas nepārsniedz nepieciešamo summu. Jūs atkārtotu šo procesu ar atlikušo summu, līdz sasniegtu nulli. Šī ir alkatīgā stratēģija darbībā. Jūs izdarāt labāko pieejamo izvēli tieši tagad, neuztraucoties par nākotnes sekām.
Šis vienkāršais piemērs atklāj alkatīgā algoritma galvenās sastāvdaļas:
- Kandidātu kopa: Priekšmetu vai izvēļu kopums, no kura tiek veidots risinājums (piemēram, pieejamo monētu nominālu kopa).
- Atlases funkcija: Noteikums, kas nosaka labāko izvēli katrā solī. Tas ir alkatīgās stratēģijas kodols (piemēram, izvēlēties lielāko monētu).
- Piemērotības funkcija: Pārbaude, lai noteiktu, vai kandidāta izvēli var pievienot pašreizējam risinājumam, nepārkāpjot problēmas ierobežojumus (piemēram, monētas vērtība nav lielāka par atlikušo summu).
- Mērķa funkcija: Vērtība, ko mēs cenšamies optimizēt—vai nu maksimizēt, vai minimizēt (piemēram, minimizēt izmantoto monētu skaitu).
- Risinājuma funkcija: Funkcija, kas nosaka, vai esam sasnieguši pilnīgu risinājumu (piemēram, atlikusī summa ir nulle).
Kad alkatība patiešām darbojas?
Lielākais izaicinājums ar alkatīgajiem algoritmiem ir to pareizības pierādīšana. Algoritms, kas darbojas vienai ievades kopai, var dramatiski izgāzties citai. Lai alkatīgais algoritms būtu pierādāmi optimāls, problēmai, ko tas risina, parasti jāpiemīt divām galvenajām īpašībām:
- Alkatīgās izvēles īpašība: Šī īpašība nosaka, ka globāli optimāls risinājums var tikt sasniegts, veicot lokāli optimālu (alkatīgu) izvēli. Citiem vārdiem sakot, pašreizējā solī izdarītā izvēle neliedz mums sasniegt labāko kopējo risinājumu. Nākotne netiek kompromitēta ar pašreizējo izvēli.
- Optimālā apakšstruktūra: Problēmai ir optimāla apakšstruktūra, ja optimāls risinājums kopējai problēmai satur sevī optimālus risinājumus tās apakšproblēmām. Pēc alkatīgās izvēles mums paliek mazāka apakšproblēma. Optimālās apakšstruktūras īpašība nozīmē, ka, ja mēs atrisinām šo apakšproblēmu optimāli un apvienojam to ar mūsu alkatīgo izvēli, mēs iegūstam globālo optimumu.
Ja šie nosacījumi tiek izpildīti, alkatīgā pieeja nav tikai heuristika; tas ir garantēts ceļš uz optimālo risinājumu. Apskatīsim to darbībā ar dažiem klasiskiem piemēriem.
Klasiskie alkatīgo algoritmu piemēri
1. piemērs: Naudas izdošanas problēma
Kā jau apspriedām, Naudas izdošanas problēma ir klasiska ievads alkatīgajos algoritmos. Mērķis ir izdot atlikumu par noteiktu summu, izmantojot pēc iespējas mazāk monētu no dotās nominālu kopas.
Alkatīgā pieeja: Katrā solī izvēlieties lielāko monētas nominālu, kas ir mazāks vai vienāds ar atlikušo parādu.
Kad tas darbojas: Standarta kanoniskām monētu sistēmām, piemēram, ASV dolāram (1, 5, 10, 25 centi) vai eiro (1, 2, 5, 10, 20, 50 centi), šī alkatīgā pieeja vienmēr ir optimāla. Izsniedzam atlikumu par 48 centiem:
- Summa: 48. Lielākā monēta ≤ 48 ir 25. Ņem vienu 25c monētu. Atlikums: 23.
- Summa: 23. Lielākā monēta ≤ 23 ir 10. Ņem vienu 10c monētu. Atlikums: 13.
- Summa: 13. Lielākā monēta ≤ 13 ir 10. Ņem vienu 10c monētu. Atlikums: 3.
- Summa: 3. Lielākā monēta ≤ 3 ir 1. Ņem trīs 1c monētas. Atlikums: 0.
Risinājums ir {25, 10, 10, 1, 1, 1}, kopā 6 monētas. Tas patiešām ir optimāls risinājums.
Kad tas izgāžas: Alkatīgās stratēģijas panākumi ir ļoti atkarīgi no monētu sistēmas. Apsveriet sistēmu ar nomināliem {1, 7, 10}. Izsniedzam atlikumu par 15 centiem.
- Alkatīgais risinājums:
- Ņem vienu 10c monētu. Atlikums: 5.
- Ņem piecas 1c monētas. Atlikums: 0.
- Optimālais risinājums:
- Ņem vienu 7c monētu. Atlikums: 8.
- Ņem vienu 7c monētu. Atlikums: 1.
- Ņem vienu 1c monētu. Atlikums: 0.
Šis pretpiemērs demonstrē būtisku mācību: alkatīgais algoritms nav universāls risinājums. Tā pareizība ir jāizvērtē katram konkrētajam problēmas kontekstam. Šai nekanoniskajai monētu sistēmai būtu nepieciešama jaudīgāka metode, piemēram, dinamiskā programmēšana, lai atrastu optimālo risinājumu.
2. piemērs: Daļējās mugursomas problēma
Šī problēma attēlo scenāriju, kurā zaglim ir mugursoma ar maksimālo svara ietilpību un viņš atrod priekšmetu kopumu, katrs ar savu svaru un vērtību. Mērķis ir maksimizēt kopējo priekšmetu vērtību mugursomā. Daļējā versijā zaglis var ņemt tikai daļas no priekšmeta.
Alkatīgā pieeja: Intuitīvākā alkatīgā stratēģija ir prioritāri atlasīt visvērtīgākos priekšmetus. Bet vērtīgi attiecībā pret ko? Liels, smags priekšmets var būt vērtīgs, bet aizņemt pārāk daudz vietas. Galvenā atziņa ir aprēķināt katra priekšmeta vērtības un svara attiecību (vērtība/svars).
Alkatīgā stratēģija ir: Katrā solī paņemiet pēc iespējas vairāk no priekšmeta ar visaugstāko atlikušo vērtības un svara attiecību.
Piemēra caurskate:
- Mugursomas ietilpība: 50 kg
- Priekšmeti:
- A priekšmets: 10 kg, vērtība $60 (attiecība: 6 $/kg)
- B priekšmets: 20 kg, vērtība $100 (attiecība: 5 $/kg)
- C priekšmets: 30 kg, vērtība $120 (attiecība: 4 $/kg)
Risinājuma soļi:
- Sakārtojiet priekšmetus pēc vērtības un svara attiecības dilstošā secībā: A (6), B (5), C (4).
- Paņemiet A priekšmetu. Tam ir visaugstākā attiecība. Paņemiet visus 10 kg. Mugursomā tagad ir 10 kg, vērtība $60. Atlikusī ietilpība: 40 kg.
- Paņemiet B priekšmetu. Tas ir nākamais. Paņemiet visus 20 kg. Mugursomā tagad ir 30 kg, vērtība $160. Atlikusī ietilpība: 20 kg.
- Paņemiet C priekšmetu. Tas ir pēdējais. Mums atlicis tikai 20 kg ietilpības, bet priekšmets sver 30 kg. Mēs paņemam C priekšmeta daļu (20/30). Tas pievieno 20 kg svara un (20/30) * $120 = $80 vērtības.
Galīgais rezultāts: Mugursoma ir pilna (10 + 20 + 20 = 50 kg). Kopējā vērtība ir $60 + $100 + $80 = $240. Tas ir optimālais risinājums. Alkatīgās izvēles īpašība ir spēkā, jo, vienmēr vispirms ņemot visblīvāko vērtību, mēs nodrošinām, ka mēs piepildām savu ierobežoto ietilpību pēc iespējas efektīvāk.
3. piemērs: Aktivitāšu atlases problēma
Iedomājieties, ka jums ir viens resurss (piemēram, sanāksmju telpa vai lekciju zāle) un saraksts ar ierosinātajām aktivitātēm, katra ar noteiktu sākuma un beigu laiku. Jūsu mērķis ir atlasīt maksimālo skaitu savstarpēji neekskluzīvu (nepārklājošu) aktivitāšu.
Alkatīgā pieeja: Kāda būtu laba alkatīgā izvēle? Vai mums vajadzētu izvēlēties īsāko aktivitāti? Vai to, kas sākas agrāk? Pierādīti optimālā stratēģija ir sakārtot aktivitātes pēc to beigu laikiem augošā secībā.
Algoritms ir šāds:
- Sakārtojiet visas aktivitātes, pamatojoties uz to beigu laikiem.
- Atlasiet pirmo aktivitāti no sakārtotā saraksta un pievienojiet to savam risinājumam.
- Iterējiet cauri pārējām sakārtotajām aktivitātēm. Katrai aktivitātei, ja tās sākuma laiks ir lielāks vai vienāds ar iepriekš atlasītās aktivitātes beigu laiku, atlasiet to un pievienojiet to savam risinājumam.
Kāpēc tas darbojas? Izvēloties aktivitāti, kas beidzas visagrāk, mēs atbrīvojam resursu pēc iespējas ātrāk, tādējādi maksimizējot laiku, kas pieejams nākamajām aktivitātēm. Šī izvēle lokāli šķiet optimāla, jo tā atstāj visvairāk iespēju nākotnei, un var pierādīt, ka šī stratēģija noved pie globālā optimuma.
Kur alkatīgie algoritmi spīd: Reālās pasaules pielietojumi
Alkatīgie algoritmi nav tikai akadēmiski vingrinājumi; tie ir pamats daudziem labi zināmiem algoritmiem, kas risina kritiskas problēmas tehnoloģijās un loģistikā.
Dijkstra algoritms īsāko ceļu atrašanai
Kad jūs izmantojat GPS pakalpojumu, lai atrastu ātrāko maršrutu no mājām uz galamērķi, jūs, visticamāk, izmantojat Dijkstra algoritma iedvesmotu algoritmu. Tas ir klasisks alkatīgais algoritms īsāko ceļu atrašanai starp mezgliem svērtā grafā.
Kā tas ir alkatīgs: Dijkstra algoritms uztur apmeklēto virsotņu kopu. Katrā solī tas alkatīgi izvēlas neapmeklēto virsotni, kas ir vistuvāk avotam. Tas pieņem, ka īsākais ceļš uz šo tuvāko virsotni ir atrasts un vēlāk netiks uzlabots. Tas darbojas grafiem ar nenegatīviem malu svariem.
Prim un Kruskal algoritmi minimālo aptverošo koku (MST) veidošanai
Minimālais aptverošais koks ir savienota, malu svērta grafa malu apakškopa, kas savieno visas virsotnes kopā, bez cikliem un ar minimālo iespējamo kopējo malu svaru. Tas ir ārkārtīgi noderīgi tīkla projektēšanā — piemēram, optisko kabeļu tīkla izveidei, lai savienotu vairākas pilsētas ar minimālo kabeļa daudzumu.
- Prim algoritms ir alkatīgs, jo tas veido MST, pievienojot vienu virsotni vienlaikus. Katrā solī tas pievieno lētāko iespējamo malu, kas savieno virsotni augošajā kokā ar virsotni ārpus koka.
- Kruskal algoritms arī ir alkatīgs. Tas sakārto visas grafa malas pēc svara nedilstošā secībā. Pēc tam tas iterē cauri sakārtotajām malām, pievienojot malu kokam tikai tad, ja tā neveido ciklu ar jau atlasītajām malām.
Abi algoritmi veic lokāli optimālas izvēles (izvēloties lētāko malu), kas ir pierādītas, ka tās noved pie globāli optimāla MST.
Huffman kodēšana datu saspiešanai
Huffman kodēšana ir pamata algoritms, ko izmanto bezzaudējumu datu saspiešanā, ar kuru jūs saskaraties tādos formātos kā ZIP faili, JPEG un MP3. Tas piešķir mainīga garuma bināros kodus ievades rakstzīmēm, un piešķirto kodu garumi ir balstīti uz atbilstošo rakstzīmju frekvencēm.
Kā tas ir alkatīgs: Algoritms veido bināru koku no apakšas uz augšu. Tas sāk, uzskatot katru rakstzīmi par lapas mezglu. Pēc tam tas alkatīgi paņem divus mezglus ar viszemākajām frekvencēm, apvieno tos jaunā iekšējā mezglā, kura frekvence ir tā bērnu summas, un atkārto šo procesu, līdz paliek tikai viens mezgls (sakne). Šī alkatīgā vismazāk bieži sastopamo rakstzīmju apvienošana nodrošina, ka visbiežāk sastopamajām rakstzīmēm ir īsākie binārie kodi, tādējādi panākot optimālu saspiešanu.
Kļūdas: Kad nevajadzētu būt alkatīgam
Alkatīgo algoritmu spēks slēpjas to ātrumā un vienkāršībā, taču tam ir sava cena: tie ne vienmēr darbojas. Apzināties, kad alkatīga pieeja ir neatbilstoša, ir tikpat svarīgi kā zināt, kad to izmantot.
Visbiežāk sastopamais kļūmes scenārijs ir tad, kad lokāli optimāla izvēle vēlāk novērš labāku globālu risinājumu. Mēs jau redzējām to ar nekanonisko monētu sistēmu. Citi slaveni piemēri ietver:
- 0/1 Mugursomas problēma: Šī ir mugursomas problēmas versija, kurā jums jāpaņem priekšmets pilnībā vai vispār ne. Vērtības un svara attiecības alkatīgā stratēģija var izgāzties. Iedomājieties, ka jums ir 10 kg mugursoma. Jums ir viens priekšmets, kas sver 10 kg un maksā $100 (attiecība 10), un divi priekšmeti, katrs sver 6 kg un maksā $70 (attiecība ~11.6). Alkatīgā pieeja, pamatojoties uz attiecību, paņemtu vienu no 6 kg priekšmetiem, atstājot 4 kg vietas, par kopējo vērtību $70. Optimālais risinājums ir paņemt vienu 10 kg priekšmetu par vērtību $100. Šai problēmai optimālam risinājumam ir nepieciešama dinamiskā programmēšana.
- Ceļojošā tirgotāja problēma (TSP): Mērķis ir atrast īsāko iespējamo maršrutu, kas apmeklē pilsētu kopumu un atgriežas izcelsmes punktā. Vienkārša alkatīga pieeja, ko sauc par "Tuvākā kaimiņa" heuristiku, ir vienmēr ceļot uz tuvāko neapmeklēto pilsētu. Lai gan tas ir ātrs, tas bieži rada maršrutus, kas ir ievērojami garāki par optimālo, jo agrīna izvēle var piespiest ļoti garus braucienus vēlāk.
Alkatīgie algoritmi pret citām algoritmu paradigmām
Izpratne par to, kā alkatīgie algoritmi salīdzinās ar citām metodēm, sniedz skaidrāku priekšstatu par to vietu jūsu problēmu risināšanas rīku komplektā.
Alkatīgie algoritmi pret Dinamisko programmēšanu (DP)
Šis ir vissvarīgākais salīdzinājums. Abas metodes bieži tiek piemērotas optimizācijas problēmām ar optimālu apakšstruktūru. Galvenā atšķirība slēpjas lēmumu pieņemšanas procesā.
- Alkatīgais: Izdara vienu izvēli – lokāli optimālo – un pēc tam atrisina iegūto apakšproblēmu. Tas nekad nepārskata savas izvēles. Tas ir virs-apakšā, vienvirziena ceļš.
- Dinamiskā programmēšana: Izpēta visas iespējamās izvēles. Tā atrisina visas attiecīgās apakšproblēmas un pēc tam izvēlas labāko variantu starp tām. Tā ir apakš-virsā pieeja, kas bieži izmanto memoizāciju vai tabulēšanu, lai izvairītos no apakšproblēmu risinājumu atkārtotas aprēķināšanas.
Būtībā DP ir jaudīgāka un robustāka, taču bieži vien computationally dārgāka. Izmantojiet alkatīgo algoritmu, ja varat pierādīt, ka tas ir pareizs; pretējā gadījumā DP bieži ir drošāka izvēle optimizācijas problēmām.
Alkatīgie algoritmi pret Brutālo spēku
Brutālais spēks ietver katras iespējamās kombinācijas izmēģināšanu, lai atrastu risinājumu. Tas ir garantēti pareizs, taču bieži ir neiespējami lēns netriviāliem problēmu izmēriem (piemēram, iespējamo maršrutu skaits TSP gadījumā pieaug faktoriāli). Alkatīgais algoritms ir heuristikas vai īsceļa veids. Tas dramatiski samazina meklēšanas telpu, katrā solī pieņemot vienu izvēli, padarot to daudz efektīvāku, lai gan ne vienmēr optimālu.
Secinājums: Spēcīgs, bet divējāds ierocis
Alkatīgie algoritmi ir datorzinātnes pamatkoncepcija. Tie atspoguļo spēcīgu un intuitīvu pieeju optimizācijai: izdariet izvēli, kas šobrīd šķiet labākā. Problēmām ar pareizu struktūru — alkatīgās izvēles īpašību un optimālo apakšstruktūru — šī vienkāršā stratēģija nodrošina efektīvu un elegantu ceļu uz globālo optimumu.
Algoritmi, piemēram, Dijkstra, Kruskal un Huffman kodēšana, ir apliecinājums alkatīgās projektēšanas reālajai ietekmei. Tomēr vienkāršības vilinājums var būt lamatas. Alkatīgā algoritma piemērošana bez rūpīgas problēmas struktūras apsvēršanas var novest pie nepareiziem, suboptimāliem risinājumiem.
Galvenā mācība no alkatīgo algoritmu pētīšanas ir ne tikai par kodu; tā ir par analītisko stingrību. Tā māca mums apšaubīt savus pieņēmumus, meklēt pretpiemērus un izprast problēmas dziļo struktūru pirms risinājuma pieņemšanas. Optimizācijas pasaulē zināt, kad nevajadzētu būt alkatīgam, ir tikpat vērtīgi, cik zināt, kad būt.