Teseliacija: pasikartojančių raštų matematikos tyrinėjimas

Teseliacija, taip pat žinoma kaip klojimas, yra paviršiaus padengimas viena ar keliomis geometrinėmis figūromis, vadinamomis plytelėmis, be persidengimų ir be tarpų. Matematiškai tai yra įdomi sritis, jungianti geometriją, meną ir net fiziką. Šiame straipsnyje pateikiamas išsamus teseliacijų tyrinėjimas, apimantis jų matematinius pagrindus, istorinį kontekstą, meninį pritaikymą ir realius pavyzdžius.

Kas yra teseliacija?

Iš esmės, teseliacija yra raštas, sudarytas kartojant vieną ar kelias figūras plokštumai padengti. Pagrindinės savybės yra šios:

• Be tarpų: Plytelės turi puikiai derėti viena su kita, nepaliekant tarp jų tuščių erdvių.
• Be persidengimų: Plytelės negali persidengti viena su kita.
• Visiškas padengimas: Plytelės turi padengti visą paviršių.

Teseliacijas galima klasifikuoti pagal naudojamų figūrų tipus ir jų išdėstymo būdą. Paprastos teseliacijos apima vieną figūrą, o sudėtingos teseliacijos naudoja kelias figūras.

Teseliacijų tipai

Teseliacijas galima grubiai skirstyti į šias kategorijas:

Taisyklingosios teseliacijos

Taisyklingoji teseliacija yra sudaryta tik iš vieno tipo taisyklingųjų daugiakampių (daugiakampis, kurio visos kraštinės ir kampai yra lygūs). Yra tik trys taisyklingieji daugiakampiai, kuriais galima padengti plokštumą:

• Lygiakraščiai trikampiai: Jie sudaro labai paplitusią ir stabilią teseliaciją. Pagalvokite apie trikampes atramines konstrukcijas tiltuose ar atomų išsidėstymą kai kuriose kristalinėse gardelėse.
• Kvadratai: Turbūt labiausiai paplitusi teseliacija, matoma grindų plytelėse, milimetriniame popieriuje ir miestų tinkluose visame pasaulyje. Dėl idealiai statmeno kvadratų pobūdžio jie yra idealūs praktiniam pritaikymui.
• Taisyklingieji šešiakampiai: Randami bičių koriuose ir kai kuriose molekulinėse struktūrose, šešiakampiai užtikrina efektyvų erdvės panaudojimą ir struktūrinį vientisumą. Jų šešeriopa simetrija suteikia unikalių savybių.

Šios trys yra vienintelės galimos taisyklingosios teseliacijos, nes daugiakampio vidinis kampas turi būti 360 laipsnių daliklis, kad susitiktų vienoje viršūnėje. Pavyzdžiui, lygiakraščio trikampio kampai yra 60 laipsnių, ir šeši trikampiai gali susitikti viename taške (6 * 60 = 360). Kvadrato kampai yra 90 laipsnių, ir keturi gali susitikti viename taške. Šešiakampio kampai yra 120 laipsnių, ir trys gali susitikti viename taške. Taisyklingasis penkiakampis, kurio kampai yra 108 laipsniai, negali sudaryti teseliacijos, nes 360 nesidalija iš 108 be liekanos.

Pusiau taisyklingosios teseliacijos

Pusiau taisyklingosios teseliacijos (dar vadinamos Archimedo teseliacijomis) naudoja du ar daugiau skirtingų taisyklingųjų daugiakampių. Daugiakampių išsidėstymas kiekvienoje viršūnėje turi būti vienodas. Yra aštuonios galimos pusiau taisyklingosios teseliacijos:

• Trikampis-kvadratas-kvadratas (3.4.4.6)
• Trikampis-kvadratas-šešiakampis (3.6.3.6)
• Trikampis-trikampis-kvadratas-kvadratas (3.3.4.3.4)
• Trikampis-trikampis-trikampis-kvadratas (3.3.3.4.4)
• Trikampis-trikampis-trikampis-trikampis-šešiakampis (3.3.3.3.6)
• Kvadratas-kvadratas-kvadratas (4.8.8)
• Trikampis-dvylikakampis-dvylikakampis (4.6.12)
• Trikampis-kvadratas-dvylikakampis (3.12.12)

Žymėjimas skliausteliuose nurodo daugiakampių tvarką aplink viršūnę, judant pagal laikrodžio rodyklę arba prieš ją.

Netaisyklingosios teseliacijos

Netaisyklingosios teseliacijos yra sudarytos iš netaisyklingųjų daugiakampių (daugiakampiai, kurių kraštinės ir kampai nėra lygūs). Bet kuris trikampis ar keturkampis (iškilusis ar įgaubtasis) gali sudaryti teseliaciją plokštumoje. Šis lankstumas leidžia plačiai taikyti mene ir praktikoje.

Aperiodinės teseliacijos

Aperiodinės teseliacijos yra klojimas, kuriame naudojamas specifinis plytelių rinkinys, galintis padengti plokštumą tik neperiodiškai. Tai reiškia, kad raštas niekada tiksliai nepasikartoja. Garsiausias pavyzdys yra Penrose'o klojimas, kurį 1970-aisiais atrado Rogeris Penrose'as. Penrose'o klojiniai yra aperiodiniai, naudojant du skirtingus rombus. Šie klojiniai turi įdomių matematinių savybių ir buvo rasti netikėtose vietose, pavyzdžiui, ant kai kurių senovinių islamo pastatų raštų.

Matematiniai teseliacijų principai

Norint suprasti teseliacijų matematiką, reikia žinių iš geometrijos, įskaitant kampus, daugiakampius ir simetriją. Pagrindinis principas yra tas, kad kampų suma aplink viršūnę turi būti 360 laipsnių.

Kampų sumos savybė

Kaip minėta anksčiau, kampų suma kiekvienoje viršūnėje turi būti lygi 360 laipsnių. Šis principas nustato, kurie daugiakampiai gali sudaryti teseliacijas. Taisyklingųjų daugiakampių vidiniai kampai turi būti 360 dalikliai.

Simetrija

Simetrija vaidina lemiamą vaidmenį teseliacijose. Teseliacijoje gali būti keli simetrijos tipai:

• Transliacija (poslinkis): Raštą galima pastumti (transliuoti) išilgai linijos ir jis vis tiek atrodys taip pat.
• Sukimas: Raštą galima pasukti aplink tašką ir jis vis tiek atrodys taip pat.
• Atspindys: Raštą galima atspindėti per liniją ir jis vis tiek atrodys taip pat.
• Slystantis atspindys: Atspindžio ir transliacijos derinys.

Šias simetrijas aprašo vadinamosios tapetų grupės. Yra 17 tapetų grupių, kurių kiekviena atspindi unikalų simetrijų derinį, galintį egzistuoti 2D pasikartojančiame rašte. Tapetų grupių supratimas leidžia matematikams ir menininkams sistemingai klasifikuoti ir kurti įvairių tipų teseliacijas.

Euklido ir neeuklidinė geometrija

Tradiciškai teseliacijos tiriamos Euklido geometrijos rėmuose, kuri nagrinėja plokščius paviršius. Tačiau teseliacijas galima tyrinėti ir neeuklidinėse geometrijose, pavyzdžiui, hiperbolinėje geometrijoje. Hiperbolinėje geometrijoje lygiagrečios linijos tolsta viena nuo kitos, o trikampio kampų suma yra mažesnė nei 180 laipsnių. Tai leidžia kurti teseliacijas su daugiakampiais, kurie nebūtų įmanomi Euklido erdvėje. M. C. Escheris garsėjo tuo, kad tyrinėjo hiperbolines teseliacijas vėlesniuose savo darbuose, padedamas H. S. M. Coxeterio matematinių įžvalgų.

Istorinė ir kultūrinė reikšmė

Teseliacijų naudojimas siekia senovės civilizacijas ir jas galima rasti įvairiose meno, architektūros ir dekoratyvinių raštų formose visame pasaulyje.

Senovės civilizacijos

• Senovės Roma: Romėnų mozaikose dažnai pasitaiko sudėtingų teseliacijų, naudojant mažas spalvotas plyteles (teseras) dekoratyviniams raštams ir scenų vaizdams kurti. Šios mozaikos buvo rastos visoje Romos imperijoje, nuo Italijos iki Šiaurės Afrikos ir Britanijos.
• Senovės Graikija: Graikų architektūroje ir keramikoje dažnai naudojami geometriniai raštai ir teseliacijos. Pavyzdžiui, meandrų raštai yra teseliacijos forma, dažnai pasitaikanti graikų mene.
• Islamo menas: Islamo menas garsėja sudėtingais geometriniais raštais ir teseliacijomis. Teseliacijų naudojimas islamo mene yra pagrįstas religiniais įsitikinimais, pabrėžiančiais begalybę ir visų dalykų vienybę. Mečetės ir rūmai visame islamo pasaulyje demonstruoja stulbinančius teseliacijų pavyzdžius, naudojant įvairias geometrines figūras. Alhambros rūmai Granadoje, Ispanijoje, yra puikus pavyzdys, pasižymintis sudėtingomis mozaikomis ir plytelių darbais su įvairiais teseliuotais raštais.

Šiuolaikinis pritaikymas

Teseliacijos išlieka aktualios ir šiais laikais, randant pritaikymą įvairiose srityse:

• Architektūra: Teseliuoti paviršiai naudojami pastatų fasaduose, stoguose ir interjero dizaine, siekiant sukurti vizualiai patrauklias ir struktūriškai tvirtas konstrukcijas. Pavyzdžiui, Edeno projektas Kornvalyje, JK, su savo geodeziniais kupolais, sudarytais iš šešiakampių plokščių.
• Kompiuterinė grafika: Teseliacija yra kompiuterinėje grafikoje naudojama technika, skirta padidinti 3D modelių detalumą, suskaidant daugiakampius į mažesnius. Tai leidžia gauti lygesnius paviršius ir realistiškesnius vaizdus.
• Tekstilės dizainas: Teseliacijos naudojamos tekstilės dizaine, kuriant pasikartojančius raštus ant audinių. Šie raštai gali būti nuo paprastų geometrinių dizainų iki sudėtingų ir įmantrių motyvų.
• Pakavimas: Teseliacijas galima naudoti efektyviam produktų pakavimui, mažinant atliekas ir maksimaliai išnaudojant erdvę.
• Mokslas: Teseliuotos formos randamos gamtoje, pavyzdžiui, bičių korio šešiakampės ląstelės ar tam tikrų žuvų žvynai. Teseliacijų supratimas gali padėti mokslininkams modeliuoti ir suprasti šiuos gamtos reiškinius.

Teseliacijų pavyzdžiai mene ir gamtoje

Teseliacijos nėra tik matematinės sąvokos; jos taip pat randamos mene ir gamtoje, teikdamos įkvėpimo ir praktinio pritaikymo.

M. C. Escheris

Mauritsas Cornelis Escheris (1898–1972) buvo olandų grafikas, žinomas dėl savo matematiškai įkvėptų medžio raižinių, litografijų ir mecotintų. Escherio darbuose dažnai pasitaiko teseliacijų, neįmanomų konstrukcijų ir begalybės tyrinėjimų. Jį žavėjo teseliacijos koncepcija ir jis plačiai ją naudojo savo mene, kurdamas vizualiai stulbinančius ir intelektualiai stimuliuojančius kūrinius. Jo darbai, tokie kaip „Ropliai“, „Dangus ir vanduo“ bei „Apskritimo riba III“, yra garsūs teseliacijų pavyzdžiai, virstantys skirtingomis formomis ir tyrinėjantys suvokimo ribas. Jo darbai nutiesė tiltą tarp matematikos ir meno, padarydami matematines sąvokas prieinamas ir patrauklias platesnei auditorijai.

Bičių korys

Bičių korys yra klasikinis natūralios teseliacijos pavyzdys. Bitės stato savo korius naudodamos šešiakampes ląsteles, kurios puikiai dera viena su kita, sukurdamos tvirtą ir efektyvią struktūrą. Šešiakampė forma maksimaliai padidina medaus, kurį galima laikyti, kiekį, tuo pačiu sumažinant vaško, reikalingo koriui pastatyti, kiekį. Šis efektyvus išteklių naudojimas liudija apie teseliuotų struktūrų evoliucinius pranašumus.

Žirafos dėmės

Žirafos dėmės, nors ir nėra tobulos teseliacijos, pasižymi raštu, primenančiu teseliaciją. Netaisyklingos dėmių formos dera tarpusavyje taip, kad efektyviai padengia žirafos kūną. Šis raštas suteikia kamufliažą, padedantį žirafai susilieti su aplinka. Nors dėmės skiriasi dydžiu ir forma, jų išdėstymas rodo natūraliai atsirandantį teseliaciją primenantį raštą.

Fraktalinės teseliacijos

Fraktalinės teseliacijos sujungia fraktalų ir teseliacijų principus, kad sukurtų sudėtingus ir į save panašius raštus. Fraktalai yra geometrinės formos, kurios pasižymi panašumu į save skirtingais masteliais. Kai fraktalai naudojami kaip plytelės teseliacijoje, gautas raštas gali būti be galo sudėtingas ir vizualiai stulbinantis. Tokio tipo teseliacijas galima rasti matematinėse vizualizacijose ir kompiuteriu sugeneruotame mene. Fraktalinių teseliacijų pavyzdžiai apima tas, kurios pagrįstos Sierpinskio trikampiu ar Kocho snaige.

Kaip susikurti savo teseliacijas

Teseliacijų kūrimas gali būti smagi ir edukacinė veikla. Štai keletas paprastų technikų, kurias galite naudoti kurdami savo teseliacijas:

Pagrindinis poslinkio metodas

1. Pradėkite nuo kvadrato: Pradėkite nuo kvadratinio popieriaus ar kartono lapo.
2. Iškirpkite ir pastumkite: Iškirpkite formą iš vienos kvadrato pusės. Tada pastumkite (transliuokite) tą formą į priešingą pusę ir priklijuokite.
3. Pakartokite: Pakartokite procesą su kitomis dviem kvadrato pusėmis.
4. Teseliuokite: Dabar turite plytelę, kurią galima teseliuoti. Kelis kartus apibrėžkite plytelę ant popieriaus lapo, kad sukurtumėte teseliuotą raštą.

Sukimo metodas

1. Pradėkite nuo figūros: Pradėkite nuo taisyklingojo daugiakampio, pavyzdžiui, kvadrato ar lygiakraščio trikampio.
2. Iškirpkite ir pasukite: Iškirpkite formą iš vienos daugiakampio pusės. Tada pasukite tą formą aplink viršūnę ir priklijuokite prie kitos pusės.
3. Pakartokite: Pakartokite procesą pagal poreikį.
4. Teseliuokite: Kelis kartus apibrėžkite plytelę, kad sukurtumėte teseliuotą raštą.

Naudojant programinę įrangą

Yra įvairių programinės įrangos programų ir internetinių įrankių, kurie gali padėti jums kurti teseliacijas. Šie įrankiai leidžia eksperimentuoti su skirtingomis formomis, spalvomis ir simetrijomis, kad sukurtumėte sudėtingus ir vizualiai patrauklius raštus. Kai kurios populiarios programinės įrangos parinktys:

• TesselManiac!
• Adobe Illustrator
• Geogebra

Teseliacijų ateitis

Teseliacijos ir toliau yra aktyvių tyrimų ir tyrinėjimų sritis. Atrandami nauji teseliacijų tipai ir randami nauji pritaikymai įvairiose srityse. Kai kurie galimi ateities pokyčiai:

• Naujos medžiagos: Naujų medžiagų su unikaliomis savybėmis kūrimas gali lemti naujų tipų teseliuotų struktūrų, pasižyminčių didesniu tvirtumu, lankstumu ar funkcionalumu, atsiradimą.
• Robotika: Teseliuoti robotai galėtų būti suprojektuoti taip, kad prisitaikytų prie skirtingų aplinkų ir atliktų įvairias užduotis. Šie robotai galėtų būti sudaryti iš modulinių plytelių, kurios gali persigrupuoti, keisdamos roboto formą ir funkciją.
• Nanotechnologijos: Teseliacijos galėtų būti naudojamos nanotechnologijose, kuriant savaime susirenkančias struktūras su specifinėmis savybėmis. Šios struktūros galėtų būti naudojamos tokiose srityse kaip vaistų tiekimas, energijos kaupimas ir jutikliai.

Išvada

Teseliacija yra turtinga ir įdomi matematikos sritis, jungianti geometriją, meną ir mokslą. Nuo paprastų grindų plytelių raštų iki sudėtingų islamo mozaikų dizainų ir novatoriško M. C. Escherio meno, teseliacijos šimtmečius žavėjo ir įkvėpė žmones. Suprasdami matematinius teseliacijų principus, galime įvertinti jų grožį ir funkcionalumą bei tyrinėti jų galimus pritaikymus įvairiose srityse. Nesvarbu, ar esate matematikas, menininkas, ar tiesiog smalsus apie jus supantį pasaulį, teseliacijos siūlo unikalų ir naudingą dalyką tyrinėti.

Taigi, kitą kartą pamatę pasikartojantį raštą, skirkite akimirką įvertinti matematinę eleganciją ir kultūrinę teseliacijų reikšmę!