수론: 소수와 현대 암호학에서의 역할 공개

종종 "수학의 여왕"으로 여겨지는 수론은 주로 정수와 그 속성을 연구하는 순수 수학의 한 분야입니다. 추상적으로 보일 수 있지만, 수론은 많은 실제 응용 프로그램을 뒷받침하며, 특히 암호학 분야에서 그렇습니다. 이 기사에서는 수론의 기본 개념, 특히 소수를 살펴보고 디지털 세계를 보호하는 데 있어 소수의 중요한 역할을 설명합니다.

수론이란 무엇인가?

수론은 다음과 같은 광범위한 주제를 포함합니다.

• 나눗셈 및 소수
• 합동과 모듈식 산술
• 디오판토스 방정식
• 대수적 수론
• 해석적 수론

본질적으로 수론은 정수의 속성 및 관계를 조사합니다. 다른 수학 및 컴퓨터 과학 분야와의 우아한 증명과 예상치 못한 연결은 매혹적인 주제가 됩니다.

소수: 정수의 구성 요소

소수는 1보다 큰 자연수로서 1과 자신 외에는 양의 약수가 없습니다. 소수의 예로는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 등이 있습니다. 소수가 아닌 숫자를 합성수라고 합니다.

소수는 다른 모든 정수의 구성 요소이기 때문에 기본입니다. 산술의 기본 정리는 1보다 큰 모든 정수는 요인의 순서를 고려하여 소수의 곱으로 고유하게 표현될 수 있다고 명시합니다. 예를 들어:

12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3

30 = 2 × 3 × 5

100 = 2 × 2 × 5 × 5 = 2² × 5²

이 고유한 소인수 분해는 많은 암호화 알고리즘이 구축된 기반입니다.

소수 찾기

소수를 식별하는 것은 수세기 동안 수학자들을 매료시켜 왔습니다. 다음을 포함하여 소수를 찾는 몇 가지 방법이 있습니다.

• 시도 나누기: 숫자 n을 2부터 √n까지의 모든 정수로 나눕니다. 이 중 어느 것도 n을 균등하게 나누지 않으면 n이 소수입니다. 이것은 간단하지만 큰 숫자에는 비효율적입니다.
• 에라토스테네스의 체: 지정된 정수까지 모든 소수를 찾는 효율적인 알고리즘입니다. 이것은 첫 번째 소수인 2부터 시작하여 각 소수의 배수를 반복적으로 표시하여 작동합니다.
• 소수성 테스트: 밀러-라빈 소수성 테스트(확률적 테스트) 및 AKS 소수성 테스트(결정적 테스트)와 같은 더 정교한 알고리즘은 매우 큰 숫자가 소수인지 확인하는 데 사용됩니다.

소수의 분포

소수는 정수 사이에서 균등하게 분포되지 않습니다. 숫자가 커질수록 소수의 밀도가 감소합니다. 소수 정리는 주어진 숫자 x보다 작거나 같은 소수의 수에 대한 점근적 추정치를 제공하며 π(x)로 표시됩니다.

π(x) ≈ x / ln(x)

이 정리는 소수 분포의 장기적인 동작에 대한 통찰력을 제공합니다.

암호화: 소수로 정보 보호

암호화는 적의 존재 하에서 안전한 통신을 위한 기술을 실천하고 연구하는 것입니다. 현대 암호화는 수학적 개념에 크게 의존하며, 소수는 많은 암호화 알고리즘에서 중심적인 역할을 합니다.

많은 암호화 시스템의 보안은 특정 수론 문제, 특히 소인수 분해 문제 및 이산 대수 문제의 계산 복잡성을 기반으로 합니다. 이러한 문제는 고전 컴퓨터에서 이를 해결하기 위한 효율적인(다항식 시간) 알고리즘이 알려져 있지 않기 때문에 "어렵다"고 간주됩니다.

RSA: 공개 키 암호화의 초석

RSA(Rivest-Shamir-Adleman) 알고리즘은 가장 널리 사용되는 공개 키 암호 시스템 중 하나입니다. 그 보안은 큰 합성수를 소인수로 분해하는 어려움에 달려 있습니다.

RSA 작동 방식에 대한 간략한 개요는 다음과 같습니다.

1. 키 생성:
   • 두 개의 서로 다른 큰 소수 p와 q를 선택합니다.
   • n = p × q를 계산합니다. 이것이 모듈러스입니다.
   • φ(n) = (p - 1) × (q - 1)을 계산합니다. 여기서 φ는 오일러의 토션트 함수입니다.
   • 1 < e < φ(n) 및 gcd(e, φ(n)) = 1(e와 φ(n)은 서로소)인 정수 e를 선택합니다. e는 공개 지수입니다.
   • e modulo φ(n)에 대한 d, 즉 곱셈 역수를 계산합니다. 즉, d × e ≡ 1 (mod φ(n)). d는 개인 지수입니다.
   • 공개 키는 (n, e)입니다.
   • 개인 키는 (n, d)입니다.
2. 암호화:
   • 메시지 m(정수로 표시)를 암호화하려면 c = m^e mod n을 계산합니다. 여기서 c는 암호문입니다.
3. 해독:
   • 암호문 c를 해독하려면 m = c^d mod n을 계산합니다.

RSA의 보안은 n을 소수 p와 q로 분해하는 것이 특히 p와 q가 충분히 클 때(수백 또는 수천 개의 숫자) 계산적으로 어렵다는 사실에 달려 있습니다. 공격자가 n을 분해할 수 있다면 φ(n)을 쉽게 계산한 다음 개인 키 d를 결정할 수 있습니다.

예: p = 61 및 q = 53을 선택한다고 가정합니다.

• n = 61 * 53 = 3233
• φ(n) = (61-1) * (53-1) = 60 * 52 = 3120
• e = 17(3120과 서로소)을 선택해 보겠습니다.
• (17 * d) mod 3120 = 1이 되도록 d를 찾아야 합니다. 확장된 유클리드 알고리즘을 사용하여 d = 2753을 찾습니다.
• 공개 키: (3233, 17)
• 개인 키: (3233, 2753)

메시지 m = 123을 암호화하려면 다음을 수행합니다.

c = 123¹⁷ mod 3233 = 855

해독하려면:

m = 855²⁷⁵³ mod 3233 = 123

이 예에서는 설명을 위해 작은 숫자를 사용합니다. 실제 RSA 구현에서는 보안을 보장하기 위해 훨씬 더 큰 소수를 사용합니다.

디피-헬만 키 교환

디피-헬만 키 교환은 두 당사자가 안전하지 않은 채널을 통해 공유 비밀 키를 설정할 수 있도록 하는 암호화 프로토콜입니다. 그런 다음 이 공유 비밀을 사용하여 대칭 키 알고리즘을 사용하여 후속 통신을 암호화할 수 있습니다.

디피-헬만의 보안은 이산 대수 문제의 어려움에 달려 있으며, 이는 소수 및 모듈식 산술과 관련이 있습니다.

간단한 설명은 다음과 같습니다.

1. Alice와 Bob은 큰 소수 p와 기준 g(g는 p modulo의 원시 루트임)에 동의합니다. p와 g는 공개적입니다.
2. Alice는 비밀 정수 a를 선택하고 A = g^a mod p를 계산합니다. Alice는 A를 Bob에게 보냅니다.
3. Bob은 비밀 정수 b를 선택하고 B = g^b mod p를 계산합니다. Bob은 B를 Alice에게 보냅니다.
4. Alice는 공유 비밀 키 s = B^a mod p를 계산합니다.
5. Bob은 공유 비밀 키 s = A^b mod p를 계산합니다.

Alice와 Bob은 비밀 정수 a와 b를 직접 교환하지 않고도 동일한 공유 비밀 키 s에 도달합니다. p, g, A 및 B를 알고 있는 도청자는 이산 대수 문제를 풀어 a 또는 b를 계산하고 공유 비밀 키 s를 결정해야 합니다.

예: p = 23 및 g = 5라고 가정합니다.

• Alice는 a = 6을 선택합니다. A = 5⁶ mod 23 = 8
• Bob은 b = 15를 선택합니다. B = 5¹⁵ mod 23 = 19
• Alice는 Bob에게 8을 보내고 Bob은 Alice에게 19를 보냅니다.
• Alice는 s = 19⁶ mod 23 = 2를 계산합니다.
• Bob은 s = 8¹⁵ mod 23 = 2를 계산합니다.

공유 비밀은 2입니다. 다시 말하지만, 실제 구현에서는 훨씬 더 큰 소수를 사용합니다.

타원 곡선 암호화(ECC)

타원 곡선 암호화(ECC)는 유한체에 대한 타원 곡선의 대수적 구조를 기반으로 하는 공개 키 암호 시스템입니다. ECC는 더 작은 키 크기로 RSA와 유사한 보안을 제공하므로 모바일 장치 및 내장 시스템과 같은 리소스가 제한된 환경에 적합합니다. ECC는 또한 수론과 타원 곡선 이산 대수 문제의 어려움에 의존합니다.

ECC에서 암호화 작업은 모듈식 지수화 대신 타원 곡선 산술(점 덧셈 및 스칼라 곱셈)을 기반으로 합니다. ECC의 보안은 타원 곡선 이산 대수 문제를 해결하는 것이 계산적으로 어렵다는 사실에 의존하며, 이는 타원 곡선에서 두 점과 관련된 스칼라 배수를 찾는 것과 관련됩니다.

ECC는 다음을 포함한 다양한 응용 프로그램에서 널리 사용됩니다.

• 디지털 서명(예: ECDSA)
• 키 교환(예: ECDH)
• 암호화

암호화와 소수의 미래

양자 컴퓨터의 지속적인 개발은 현재 암호화 알고리즘에 심각한 위협을 제기합니다. Shor의 알고리즘, 양자 알고리즘은 큰 숫자를 효율적으로 분해하고 이산 대수 문제를 해결하여 RSA, 디피-헬만 및 ECC를 효과적으로 깨뜨릴 수 있습니다.

이러한 위협에 대응하여 연구자들은 고전 및 양자 컴퓨터 모두의 공격에 저항하는 것으로 간주되는 암호화 알고리즘을 포함하는 양자 후 암호화(PQC)를 적극적으로 개발하고 있습니다. 많은 PQC 알고리즘은 RSA 및 ECC에서 사용되는 것과 다른 수학적 문제, 즉 격자 기반 암호화, 코드 기반 암호화, 다변량 암호화 및 해시 기반 암호화를 기반으로 합니다.

양자 컴퓨팅 시대에도 수론, 특히 소수는 암호화에서 계속해서 역할을 할 가능성이 높습니다. 예를 들어 소수는 격자 기반 암호화에 대한 격자 구성이나 해시 기반 암호화에 대한 해시 함수 설계에 사용될 수 있습니다.

실제 응용 프로그램

논의된 원칙은 전 세계적으로 구현됩니다. 다음은 몇 가지 다양한 예입니다.

• 안전한 온라인 거래: 신용 카드를 사용하여 온라인으로 구매할 때 거래는 일반적으로 HTTPS를 사용하여 보호되며, 이는 TLS/SSL 프로토콜에 의존합니다. 이러한 프로토콜은 종종 RSA 또는 ECC를 사용하여 브라우저와 웹 서버 간에 안전한 연결을 설정하여 도청으로부터 민감한 정보를 보호합니다.
• 디지털 서명: 디지털 서명은 디지털 문서의 진위 및 무결성을 확인하는 데 사용됩니다. RSA 및 ECDSA(타원 곡선 디지털 서명 알고리즘)와 같은 알고리즘은 소수 및 모듈식 산술을 사용하여 위조하기 어려운 디지털 서명을 만듭니다. 이것은 싱가포르와 같은 국가의 법적 구속력이 있는 계약 및 유럽 연합의 전자 문서 확인에 사용됩니다.
• 안전한 통신 앱: Signal 및 WhatsApp과 같은 많은 메시징 앱은 종단 간 암호화를 사용하여 대화의 개인 정보를 보호합니다. 이러한 앱은 종종 디피-헬만 키 교환 또는 ECC를 사용하여 안전한 통신 채널을 설정합니다.
• 암호화폐: 비트코인과 같은 암호화폐는 타원 곡선 암호화(특히 secp256k1 곡선을 사용한 ECDSA)를 사용하여 거래를 보호하고 디지털 자산의 소유권을 제어합니다. 비트코인의 글로벌 접근성과 분산화는 이러한 원칙의 광범위한 적용을 보여줍니다.
• VPN(가상 사설망): VPN은 암호화 프로토콜을 사용하여 장치와 원격 서버 간에 보안 터널을 생성하여 인터넷 트래픽을 가로채는 것을 방지합니다. VPN은 일반적으로 대칭 암호화를 위해 AES(Advanced Encryption Standard)와 RSA 또는 ECC를 키 교환에 사용합니다. VPN은 심한 검열이 있는 국가에서 안전한 인터넷 액세스에 매우 중요합니다.
• 보안 쉘(SSH): SSH는 원격 서버에 안전하게 액세스하고 관리할 수 있는 암호화 네트워크 프로토콜입니다. SSH는 인증 및 키 교환을 위해 RSA 및 ECC와 같은 알고리즘을 사용합니다.

결론

소수에 초점을 맞춘 수론은 단순한 추상 수학적 학문이 아닙니다. 이는 현대 암호화의 기본 기둥입니다. 온라인 거래 보안에서 민감한 통신 보호에 이르기까지 소수는 디지털 세계의 기밀성, 무결성 및 진위성을 보장하는 데 중요한 역할을 합니다. 기술이 계속 발전함에 따라 수론과 암호화 사이의 상호 작용은 정보 보호와 점점 더 상호 연결된 사회에서 신뢰 유지를 위해 필수적일 것입니다. 양자 후 암호화에 대한 지속적인 연구 개발은 새로운 위협에 직면하여 우리의 디지털 미래를 보호하려는 노력을 보여줍니다.

추가 학습

• 도서:
  • G.H. Hardy와 E.M. Wright의 "Introduction to the Theory of Numbers"
  • David M. Burton의 "Elementary Number Theory"
  • Douglas Stinson과 Maura Paterson의 "Cryptography Theory and Practice"
• 온라인 강좌:
  • Coursera: Dan Boneh(스탠포드 대학교)의 암호화 I & II
  • edX: Christof Paar(루르 대학교 보훔)의 암호화 소개
• 웹사이트:
  • Wikipedia: 수론, 소수, 암호화, RSA
  • Khan Academy: 수론