탐욕 알고리즘: 전역 최적해를 위한 지역적 최적 선택의 기술

컴퓨터 과학과 문제 해결의 광대한 세계에서 우리는 끊임없이 효율성을 추구합니다. 우리는 정확할 뿐만 아니라 빠르고 자원 효율적인 알고리즘을 원합니다. 알고리즘을 설계하는 다양한 패러다임 중에서 탐욕적 접근법은 그 단순함과 우아함으로 두드러집니다. 핵심적으로, 탐욕 알고리즘은 그 순간에 가장 좋아 보이는 선택을 합니다. 이는 일련의 지역적 최적 선택이 전역적 최적해로 이어지기를 바라며 지역적으로 최적인 선택을 하는 전략입니다.

하지만 이 직관적이고 근시안적인 접근법은 언제 효과가 있을까요? 그리고 언제 우리를 최적과는 거리가 먼 길로 이끌까요? 이 종합 가이드에서는 탐욕 알고리즘의 철학을 탐구하고, 고전적인 예시를 통해 살펴보며, 실제 적용 사례를 조명하고, 이 알고리즘이 성공하기 위한 중요한 조건들을 명확히 할 것입니다.

탐욕 알고리즘의 핵심 철학

당신이 고객에게 거스름돈을 줘야 하는 계산원이라고 상상해 보세요. 최소한의 동전을 사용하여 특정 금액을 맞춰야 합니다. 직관적으로, 당신은 요구된 금액을 초과하지 않는 가장 큰 단위의 동전(예: 25센트)부터 주기 시작할 것입니다. 남은 금액이 0이 될 때까지 이 과정을 반복하겠죠. 이것이 바로 탐욕 전략의 실제 작동 방식입니다. 당신은 미래의 결과에 대해 걱정하지 않고 바로 지금 가능한 최선의 선택을 합니다.

이 간단한 예시는 탐욕 알고리즘의 핵심 구성 요소를 보여줍니다:

• 후보 집합(Candidate Set): 해를 만드는 데 사용되는 항목이나 선택의 모음 (예: 사용 가능한 동전 단위의 집합).
• 선택 함수(Selection Function): 각 단계에서 어떤 최선의 선택을 할지 결정하는 규칙. 이것이 탐욕 전략의 핵심입니다 (예: 가장 큰 동전 선택).
• 실현 가능성 함수(Feasibility Function): 후보 선택이 문제의 제약 조건을 위반하지 않고 현재 해에 추가될 수 있는지 확인하는 검사 (예: 동전의 가치가 남은 금액보다 크지 않음).
• 목적 함수(Objective Function): 우리가 최적화하려는 값—최대화 또는 최소화 (예: 사용된 동전 수 최소화).
• 해 함수(Solution Function): 완전한 해에 도달했는지 판단하는 함수 (예: 남은 금액이 0).

탐욕적 선택은 언제 효과가 있는가?

탐욕 알고리즘의 가장 큰 과제는 그 정확성을 증명하는 것입니다. 한 입력 집합에서는 작동하는 알고리즘이 다른 집합에서는 완전히 실패할 수 있습니다. 탐욕 알고리즘이 최적임을 증명하기 위해서는, 해결하려는 문제가 일반적으로 두 가지 핵심 속성을 보여야 합니다:

1. 탐욕적 선택 속성(Greedy Choice Property): 이 속성은 지역적으로 최적인(탐욕적인) 선택을 함으로써 전역 최적해에 도달할 수 있음을 의미합니다. 즉, 현재 단계에서 내린 선택이 최상의 전체 해에 도달하는 것을 방해하지 않는다는 것입니다. 현재의 선택이 미래를 위태롭게 하지 않습니다.
2. 최적 부분 구조(Optimal Substructure): 전체 문제에 대한 최적해가 그 하위 문제들에 대한 최적해를 포함하고 있을 때, 그 문제는 최적 부분 구조를 가집니다. 탐욕적 선택을 한 후에는 더 작은 하위 문제가 남게 됩니다. 최적 부분 구조 속성은 이 하위 문제를 최적으로 해결하고, 이를 우리의 탐욕적 선택과 결합하면 전역 최적해를 얻는다는 것을 의미합니다.

이러한 조건들이 성립한다면, 탐욕적 접근법은 단순한 휴리스틱이 아니라 최적해로 가는 보장된 경로입니다. 몇 가지 고전적인 예시를 통해 이를 실제로 확인해 보겠습니다.

고전적인 탐욕 알고리즘 예시 설명

예시 1: 거스름돈 문제 (Change-Making Problem)

앞서 논의했듯이, 거스름돈 문제는 탐욕 알고리즘의 고전적인 입문 문제입니다. 목표는 주어진 동전 단위를 사용하여 특정 금액의 거스름돈을 최소한의 동전으로 만드는 것입니다.

탐욕적 접근법: 각 단계에서, 남은 금액보다 작거나 같은 가장 큰 동전 단위를 선택합니다.

작동하는 경우: 미국 달러(1, 5, 10, 25센트)나 유로(1, 2, 5, 10, 20, 50센트)와 같은 표준적인 정규 동전 시스템에서는 이 탐욕적 접근법이 항상 최적입니다. 48센트의 거스름돈을 만들어 봅시다:

1. 금액: 48. 48 이하의 가장 큰 동전은 25. 25센트 동전 하나를 선택. 남은 금액: 23.
2. 금액: 23. 23 이하의 가장 큰 동전은 10. 10센트 동전 하나를 선택. 남은 금액: 13.
3. 금액: 13. 13 이하의 가장 큰 동전은 10. 10센트 동전 하나를 선택. 남은 금액: 3.
4. 금액: 3. 3 이하의 가장 큰 동전은 1. 1센트 동전 세 개를 선택. 남은 금액: 0.

해는 {25, 10, 10, 1, 1, 1}로, 총 6개의 동전입니다. 이것이 바로 최적해입니다.

실패하는 경우: 탐욕 전략의 성공은 동전 시스템에 크게 의존합니다. {1, 7, 10} 단위의 동전 시스템을 생각해 봅시다. 15센트의 거스름돈을 만들어 보겠습니다.

• 탐욕적 해법:
  1. 10센트 동전 하나를 선택. 남은 금액: 5.
  2. 1센트 동전 다섯 개를 선택. 남은 금액: 0.
  총 동전 수: 1 (10센트) + 5 (1센트) = 6개.
• 최적 해법:
  1. 7센트 동전 하나를 선택. 남은 금액: 8.
  2. 7센트 동전 하나를 선택. 남은 금액: 1.
  3. 1센트 동전 하나를 선택. 남은 금액: 0.
  총 동전 수: 2 (7센트) + 1 (1센트) = 3개.

이 반례는 중요한 교훈을 보여줍니다: 탐욕 알고리즘은 보편적인 해결책이 아닙니다. 그 정확성은 각 특정 문제의 맥락에서 평가되어야 합니다. 이 비정규 동전 시스템의 경우, 최적해를 찾기 위해서는 동적 계획법과 같은 더 강력한 기법이 필요합니다.

예시 2: 분할 가능 배낭 문제 (Fractional Knapsack Problem)

이 문제는 도둑이 최대 무게 용량을 가진 배낭을 가지고 있고, 각기 다른 무게와 가치를 가진 물건들을 발견하는 시나리오를 제시합니다. 목표는 배낭에 담긴 물건들의 총가치를 최대화하는 것입니다. 분할 가능 버전에서는 도둑이 물건의 일부를 가져갈 수 있습니다.

탐욕적 접근법: 가장 직관적인 탐욕 전략은 가장 가치 있는 물건에 우선순위를 두는 것입니다. 하지만 무엇에 비해 가치 있는 것일까요? 크고 무거운 물건은 가치가 높을 수 있지만 너무 많은 공간을 차지할 수 있습니다. 핵심 통찰은 각 물건의 무게 대비 가치 비율(가치/무게)을 계산하는 것입니다.

탐욕 전략은 다음과 같습니다: 각 단계에서, 남아있는 무게 대비 가치 비율이 가장 높은 물건을 가능한 한 많이 가져갑니다.

예시 과정:

• 배낭 용량: 50 kg
• 물건:
  • 물건 A: 10 kg, $60 가치 (비율: 6 $/kg)
  • 물건 B: 20 kg, $100 가치 (비율: 5 $/kg)
  • 물건 C: 30 kg, $120 가치 (비율: 4 $/kg)

해결 단계:

1. 무게 대비 가치 비율에 따라 물건들을 내림차순으로 정렬합니다: A (6), B (5), C (4).
2. 물건 A를 선택합니다. 가장 높은 비율을 가집니다. 10 kg 전부를 가져갑니다. 배낭에는 현재 10 kg, 가치 $60가 있습니다. 남은 용량: 40 kg.
3. 물건 B를 선택합니다. 다음 순서입니다. 20 kg 전부를 가져갑니다. 배낭에는 현재 30 kg, 가치 $160가 있습니다. 남은 용량: 20 kg.
4. 물건 C를 선택합니다. 마지막 순서입니다. 남은 용량은 20 kg 뿐인데 물건의 무게는 30 kg입니다. 물건 C의 일부(20/30)를 가져갑니다. 이는 20 kg의 무게와 (20/30) * $120 = $80의 가치를 더합니다.

최종 결과: 배낭이 가득 찼습니다 (10 + 20 + 20 = 50 kg). 총가치는 $60 + $100 + $80 = $240입니다. 이것이 최적해입니다. 항상 가장 "밀도 높은" 가치를 먼저 취함으로써 제한된 용량을 가능한 한 효율적으로 채우기 때문에 탐욕적 선택 속성이 성립합니다.

예시 3: 활동 선택 문제 (Activity Selection Problem)

하나의 자원(회의실이나 강의실 등)과 각각 특정 시작 시간과 종료 시간이 있는 활동 목록이 있다고 상상해 보세요. 목표는 서로 배타적인(겹치지 않는) 활동을 최대한 많이 선택하는 것입니다.

탐욕적 접근법: 어떤 것이 좋은 탐욕적 선택일까요? 가장 짧은 활동을 선택해야 할까요? 아니면 가장 일찍 시작하는 활동을 선택해야 할까요? 증명된 최적 전략은 활동들을 그들의 종료 시간에 따라 오름차순으로 정렬하는 것입니다.

알고리즘은 다음과 같습니다:

1. 모든 활동을 종료 시간을 기준으로 정렬합니다.
2. 정렬된 목록에서 첫 번째 활동을 선택하여 해에 추가합니다.
3. 나머지 정렬된 활동들을 순회합니다. 각 활동에 대해, 시작 시간이 이전에 선택된 활동의 종료 시간보다 크거나 같다면, 그 활동을 선택하여 해에 추가합니다.

왜 이것이 작동할까요? 가장 빨리 끝나는 활동을 선택함으로써, 자원을 가능한 한 빨리 확보하여 후속 활동을 위한 시간을 극대화할 수 있습니다. 이 선택은 미래를 위한 기회를 가장 많이 남기기 때문에 지역적으로 최적으로 보이며, 이 전략이 전역 최적해로 이어진다는 것이 증명될 수 있습니다.

탐욕 알고리즘이 빛을 발하는 곳: 실제 적용 사례

탐욕 알고리즘은 단지 학문적인 연습 문제가 아닙니다. 기술 및 물류 분야의 중요한 문제들을 해결하는 많은 유명한 알고리즘의 근간을 이룹니다.

최단 경로를 위한 다익스트라 알고리즘

GPS 서비스를 사용하여 집에서 목적지까지 가장 빠른 경로를 찾을 때, 당신은 아마도 다익스트라에서 영감을 받은 알고리즘을 사용하고 있을 것입니다. 이것은 가중 그래프에서 노드 간의 최단 경로를 찾는 고전적인 탐욕 알고리즘입니다.

어떻게 탐욕적인가: 다익스트라 알고리즘은 방문한 정점들의 집합을 유지합니다. 각 단계에서, 시작점으로부터 가장 가까운 방문하지 않은 정점을 탐욕적으로 선택합니다. 이 가장 가까운 정점까지의 최단 경로는 이미 발견되었으며 나중에 개선되지 않을 것이라고 가정합니다. 이는 음이 아닌 간선 가중치를 가진 그래프에서 작동합니다.

최소 신장 트리(MST)를 위한 프림 및 크루스칼 알고리즘

최소 신장 트리는 연결된, 간선 가중 그래프의 간선들의 부분 집합으로, 모든 정점을 순환 없이 연결하면서 총 간선 가중치를 최소화하는 것입니다. 이는 여러 도시를 최소한의 케이블로 연결하기 위해 광섬유 케이블 네트워크를 설계하는 것과 같이 네트워크 설계에 매우 유용합니다.

• 프림 알고리즘은 한 번에 하나의 정점을 추가하여 MST를 성장시키기 때문에 탐욕적입니다. 각 단계에서, 성장하는 트리의 정점과 트리 밖의 정점을 연결하는 가장 저렴한 간선을 추가합니다.
• 크루스칼 알고리즘도 탐욕적입니다. 그래프의 모든 간선을 가중치에 따라 비내림차순으로 정렬합니다. 그런 다음 정렬된 간선들을 순회하며, 이미 선택된 간선들과 순환을 형성하지 않는 경우에만 트리에 간선을 추가합니다.

두 알고리즘 모두 지역적으로 최적인 선택(가장 저렴한 간선 선택)을 하며, 이는 전역적으로 최적인 MST로 이어진다는 것이 증명되었습니다.

데이터 압축을 위한 허프만 코딩

허프만 코딩은 ZIP 파일, JPEG, MP3와 같은 형식에서 접하는 무손실 데이터 압축에 사용되는 기본 알고리즘입니다. 입력 문자에 가변 길이 이진 코드를 할당하며, 할당된 코드의 길이는 해당 문자의 빈도를 기반으로 합니다.

어떻게 탐욕적인가: 이 알고리즘은 이진 트리를 상향식으로 구축합니다. 각 문자를 리프 노드로 취급하는 것으로 시작합니다. 그런 다음 가장 낮은 빈도를 가진 두 노드를 탐욕적으로 선택하여, 자식들의 빈도의 합을 빈도로 갖는 새로운 내부 노드로 병합하고, 이 과정을 하나의 노드(루트)만 남을 때까지 반복합니다. 가장 빈도가 낮은 문자들을 이렇게 탐욕적으로 병합함으로써 가장 빈번한 문자들은 가장 짧은 이진 코드를 갖게 되어 최적의 압축을 결과로 낳습니다.

함정: 탐욕적이면 안 되는 경우

탐욕 알고리즘의 힘은 속도와 단순성에 있지만, 여기에는 대가가 따릅니다: 항상 작동하는 것은 아닙니다. 탐욕적 접근법이 부적절한 경우를 인식하는 것은 언제 사용해야 하는지를 아는 것만큼 중요합니다.

가장 흔한 실패 시나리오는 지역적으로 최적인 선택이 나중에 더 나은 전역적 해를 막는 경우입니다. 우리는 이미 비정규 동전 시스템에서 이를 확인했습니다. 다른 유명한 예는 다음과 같습니다:

• 0/1 배낭 문제: 이것은 물건을 통째로 가져가거나 전혀 가져가지 않아야 하는 배낭 문제의 버전입니다. 무게 대비 가치 비율 탐욕 전략은 실패할 수 있습니다. 10kg 배낭이 있다고 상상해 보세요. 10kg짜리 $100 가치의 물건(비율 10) 하나와, 각각 6kg짜리 $70 가치의 물건(비율 ~11.6) 두 개가 있습니다. 비율에 기반한 탐욕적 접근법은 6kg 물건 중 하나를 선택하여 4kg의 공간을 남기고 총가치는 $70가 됩니다. 최적해는 단일 10kg 물건을 가져가 $100의 가치를 얻는 것입니다. 이 문제는 최적해를 위해 동적 계획법이 필요합니다.
• 외판원 문제 (TSP): 목표는 여러 도시를 방문하고 출발지로 돌아오는 가장 짧은 경로를 찾는 것입니다. "최근접 이웃" 휴리스틱이라고 불리는 간단한 탐욕적 접근법은 항상 가장 가까운 미방문 도시로 이동하는 것입니다. 이는 빠르지만, 초반의 선택이 나중에 매우 긴 이동을 강요할 수 있기 때문에 최적 경로보다 훨씬 긴 경로를 생성하는 경우가 많습니다.

탐욕 알고리즘과 다른 알고리즘 패러다임 비교

탐욕 알고리즘이 다른 기법들과 어떻게 비교되는지 이해하면 문제 해결 도구 상자에서 그 위치를 더 명확하게 파악할 수 있습니다.

탐욕 알고리즘 vs. 동적 계획법 (DP)

이것은 가장 중요한 비교입니다. 두 기법 모두 최적 부분 구조를 가진 최적화 문제에 종종 적용됩니다. 핵심적인 차이는 의사 결정 과정에 있습니다.

• 탐욕 알고리즘: 하나의 선택, 즉 지역적으로 최적인 선택을 하고 그 결과로 생긴 하위 문제를 풉니다. 자신의 선택을 절대 재고하지 않습니다. 이는 하향식, 일방통행 방식입니다.
• 동적 계획법: 모든 가능한 선택을 탐색합니다. 모든 관련 하위 문제를 풀고 그중에서 최상의 옵션을 선택합니다. 하위 문제의 해를 재계산하는 것을 피하기 위해 종종 메모이제이션이나 테이블화를 사용하는 상향식 접근법입니다.

본질적으로, DP는 더 강력하고 견고하지만 종종 계산적으로 더 비용이 많이 듭니다. 탐욕 알고리즘이 정확하다는 것을 증명할 수 있다면 사용하고, 그렇지 않다면 최적화 문제에 대해 DP가 종종 더 안전한 선택입니다.

탐욕 알고리즘 vs. 무차별 대입법

무차별 대입법은 해를 찾기 위해 가능한 모든 조합을 시도하는 것을 포함합니다. 정확성은 보장되지만, 중요하지 않은 문제 크기에 대해서는 종종 비현실적으로 느립니다(예: TSP에서 가능한 경로의 수는 팩토리얼로 증가합니다). 탐욕 알고리즘은 휴리스틱 또는 지름길의 한 형태입니다. 각 단계에서 하나의 선택에 전념함으로써 탐색 공간을 극적으로 줄여 훨씬 더 효율적이지만, 항상 최적인 것은 아닙니다.

결론: 강력하지만 양날의 검

탐욕 알고리즘은 컴퓨터 과학의 기본 개념입니다. 그것들은 최적화에 대한 강력하고 직관적인 접근법을 나타냅니다: 바로 지금 가장 좋아 보이는 선택을 하라. 탐욕적 선택 속성과 최적 부분 구조라는 올바른 구조를 가진 문제에 대해, 이 간단한 전략은 전역 최적해로 가는 효율적이고 우아한 길을 제시합니다.

다익스트라, 크루스칼, 허프만 코딩과 같은 알고리즘들은 탐욕적 설계가 실제 세계에 미치는 영향을 증명하는 증거입니다. 그러나 단순함의 유혹은 함정이 될 수 있습니다. 문제의 구조를 신중하게 고려하지 않고 탐욕 알고리즘을 적용하면 부정확하고 차선책인 해를 낳을 수 있습니다.

탐욕 알고리즘을 공부하면서 얻는 궁극적인 교훈은 단순히 코드에 관한 것이 아니라 분석적 엄격함에 관한 것입니다. 이는 우리에게 가정을 의심하고, 반례를 찾고, 해결책에 전념하기 전에 문제의 깊은 구조를 이해하도록 가르칩니다. 최적화의 세계에서, 언제 탐욕적이면 안 되는지 아는 것은 언제 탐욕적이어야 하는지를 아는 것만큼이나 가치가 있습니다.