ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸಮಗ್ರ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ: ಆವರ್ತನ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಅನಾವರಣ

ನೀವು ಸಿಂಫನಿ ಆರ್ಕೆಸ್ಟ್ರಾವನ್ನು ಕೇಳುತ್ತಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ನಿಮ್ಮ ಕಿವಿಗಳು ಕೇವಲ ಏಕೈಕ, ಗೊಂದಲಮಯ ಧ್ವನಿಯ ಗೋಡೆಯನ್ನು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಏರಿಳಿತವಾಗುವುದನ್ನು ಗ್ರಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಬದಲಾಗಿ, ನೀವು ಸೆಲ್ಲೊದ ಆಳವಾದ, ಅನುರಣನ ಸ್ವರಗಳು, ಪಿಟೀಲಿನ ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ, ಸ್ಪಷ್ಟ ಟೋನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಟ್ರಂಪೆಟ್‌ನ ಪ್ರಕಾಶಮಾನವಾದ ಕರೆಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು. ನೀವು, ಸಾರಾಂಶದಲ್ಲಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ರೂಪದ ಆವರ್ತನ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿದ್ದೀರಿ. ನೀವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಿಗ್ನಲ್ ಅನ್ನು-ಆರ್ಕೆಸ್ಟ್ರಾ ಸಂಗೀತ-ಅದರ ಘಟಕ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತಿದ್ದೀರಿ. ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು, ಇಂಜಿನಿಯರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಕರು ಯಾವುದೇ ಸಿಗ್ನಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಅನುಮತಿಸುವ ಗಣಿತೀಯ ಸಾಧನವೆಂದರೆ ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್.

ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ಇದುವರೆಗೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾದ ಅತ್ಯಂತ ಆಳವಾದ ಮತ್ತು ಬಹುಮುಖ ಗಣಿತೀಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಇದು ಜಗತ್ತನ್ನು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ನಡೆಯುವ ಘಟನೆಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿ ಅಲ್ಲ, ಶುದ್ಧ, ಶಾಶ್ವತ ಕಂಪನಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ನೋಡಲು ನಮಗೆ ಒಂದು ಮಸೂರವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಿಗ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಎರಡು ಮೂಲಭೂತ ವಿಧಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಸೇತುವೆಯಾಗಿದೆ: ಸಮಯ ಡೊಮೇನ್ ಮತ್ತು ಆವರ್ತನ ಡೊಮೇನ್. ಈ ಬ್ಲಾಗ್ ಪೋಸ್ಟ್ ನಿಮಗೆ ಆ ಸೇತುವೆಯ ಮೂಲಕ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ ನೀಡುತ್ತದೆ, ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ರಹಸ್ಯವಾಗಿಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಜಾಗತಿಕ ಕೈಗಾರಿಕೆಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅದರ ನಂಬಲಾಗದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಿಗ್ನಲ್ ಎಂದರೇನು? ಸಮಯ ಡೊಮೇನ್ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ

ನಾವು ಆವರ್ತನ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಶಂಸಿಸುವ ಮೊದಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಅದರ ಪ್ರತಿರೂಪವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು: ಸಮಯ ಡೊಮೇನ್. ಇದು ನಾವು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ಅನುಭವಿಸುವ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ದಾಖಲಿಸುವ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಸಮಯ ಡೊಮೇನ್ ಒಂದು ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಅಳತೆಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿ ಸಿಗ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

• ಆಡಿಯೊ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್: ಮೈಕ್ರೊಫೋನ್ ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಗಾಳಿಯ ಒತ್ತಡದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪ್ಲಾಟ್ y-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೈಶಾಲ್ಯವನ್ನು (ಗಟ್ಟಿತನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ) ಮತ್ತು x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಸಮಯವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.
• ಷೇರು ಬೆಲೆ ಚಾರ್ಟ್: ಇದು x-ಅಕ್ಷದ ವಿರುದ್ಧ (ದಿನಗಳು, ಗಂಟೆಗಳು, ನಿಮಿಷಗಳು) y-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಷೇರಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪ್ಲಾಟ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
• ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಕಾರ್ಡಿಯೋಗ್ರಾಮ್ (ECG/EKG): ಈ ವೈದ್ಯಕೀಯ ರೋಗನಿರ್ಣಯ ಸಾಧನವು ಹೃದಯದ ವಿದ್ಯುತ್ ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ದಾಖಲಿಸುತ್ತದೆ, ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ವೋಲ್ಟೇಜ್ ಏರಿಳಿತಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.
• ಭೂಕಂಪನ ವಾಚನ: ಭೂಕಂಪದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಭೂಕಂಪ ಮಾಪಕವು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ನೆಲದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ.

ಸಮಯ ಡೊಮೇನ್ ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಗತ್ಯ. ಇದು ಏನಾದರೂ ಯಾವಾಗ ಸಂಭವಿಸಿತು ಮತ್ತು ಯಾವ ತೀವ್ರತೆಯಿಂದ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಮಯ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಆಡಿಯೊ ತರಂಗರೂಪವನ್ನು ನೋಡಿದರೆ, ವೈಯಕ್ತಿಕ ಸಂಗೀತ ಸ್ವರಗಳನ್ನು, ಕಡಿಮೆ-ಆವರ್ತನ ಹಮ್‌ನ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅಥವಾ ವಾದ್ಯಕ್ಕೆ ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಟಿಂಬ್ರೆ ನೀಡುವ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ನೀವು ಅಂತಿಮ, ಮಿಶ್ರಿತ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೀರಿ, ಆದರೆ ಪದಾರ್ಥಗಳು ಮರೆಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ.

ಆವರ್ತನ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ನಮೂದಿಸುವುದು: ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್‌ನ ಹಿಂದಿನ 'ಏಕೆ'

ಇಲ್ಲಿ ಜೀನ್-ಬ್ಯಾಪ್ಟಿಸ್ಟ್ ಜೋಸೆಫ್ ಫೋರಿಯರ್ ಅವರ ಪ್ರತಿಭೆ ಕಾರ್ಯರೂಪಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ. 19 ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಕ್ರಾಂತಿಕಾರಿ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು: ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಿಗ್ನಲ್, ಅದು ಎಷ್ಟು ಜಟಿಲವಾಗಿದ್ದರೂ, ವಿಭಿನ್ನ ಆವರ್ತನಗಳು, ವೈಶಾಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಹಂತಗಳ ಸರಳ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ತರಂಗಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು.

ಇದು ಫೋರಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮೂಲಭೂತ ತತ್ವವಾಗಿದೆ. ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ನಮ್ಮ ಸಮಯ-ಡೊಮೇನ್ ಸಿಗ್ನಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಯಾವ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ತರಂಗಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸಿಗ್ನಲ್‌ಗಾಗಿ 'ರೆಸಿಪಿ' ಅನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಯೋಚಿಸಿ:

• ಸಮಯ ಡೊಮೇನ್ ಸಿಗ್ನಲ್: ಮುಗಿದ, ಬೇಯಿಸಿದ ಕೇಕ್. ನೀವು ಅದನ್ನು ಸವಿಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಒಟ್ಟಾರೆ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಅದರ ನಿಖರವಾದ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ.
• ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್: ಕೇಕ್ 500 ಗ್ರಾಂ ಹಿಟ್ಟು, 200 ಗ್ರಾಂ ಸಕ್ಕರೆ, 3 ಮೊಟ್ಟೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ಹೇಳುವ ರಾಸಾಯನಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ.
• ಆವರ್ತನ ಡೊಮೇನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ (ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್): ಪದಾರ್ಥಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಪಟ್ಟಿ. ಇದು ನಿಮಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ('ಪದಾರ್ಥಗಳು') ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ವೈಶಾಲ್ಯಗಳನ್ನು ('ಪ್ರಮಾಣಗಳು') ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಮಯ ಡೊಮೇನ್‌ನಿಂದ ಆವರ್ತನ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ನಮ್ಮ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊಸ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕೇಳಬಹುದು: ಈ ಸಿಗ್ನಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಬಲವಾದ ಆವರ್ತನಗಳು ಯಾವುವು? ಅನಗತ್ಯ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನದ ಶಬ್ದವಿದೆಯೇ? ಈ ಹಣಕಾಸು ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿ ಆವರ್ತಕ ಚಕ್ರಗಳು ಅಡಗಿವೆಯೇ? ಸಮಯ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಗೋಚರವಾಗಿರುವ ಉತ್ತರಗಳು ಆವರ್ತನ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತವೆ.

ಮ್ಯಾಜಿಕ್ ಹಿಂದಿನ ಗಣಿತ: ಸೌಮ್ಯ ಪರಿಚಯ

ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಗಣಿತವು ಕಠಿಣವಾಗಿದ್ದರೂ, ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲಭ್ಯವಿವೆ. ಫೋರಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಹಲವಾರು ಪ್ರಮುಖ ರೂಪಗಳಾಗಿ ವಿಕಸನಗೊಂಡಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯ ಸಿಗ್ನಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿ: ಆವರ್ತಕ ಸಿಗ್ನಲ್‌ಗಳಿಗಾಗಿ

ಪ್ರವಾಸವು ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ತಮ್ಮನ್ನು ತಾವು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಸಿಗ್ನಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಸಿಂಥಸೈಜರ್‌ನಿಂದ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಗೀತ ಸ್ವರವನ್ನು ಅಥವಾ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಆದರ್ಶೀಕರಿಸಿದ ಚದರ ತರಂಗವನ್ನು ಯೋಚಿಸಿ. ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯು ಅಂತಹ ಆವರ್ತಕ ಸಿಗ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ತರಂಗಗಳ (ಬಹುಶಃ ಅನಂತ) ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ತರಂಗಗಳು ಮೂಲಭೂತ ಆವರ್ತನದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಕಾರಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಗುಣಾಕಾರಗಳನ್ನು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚದರ ತರಂಗವನ್ನು ಅದರ 3 ನೇ, 5 ನೇ, 7 ನೇ ಮತ್ತು ನಂತರದ ಬೆಸ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಸೈನ್ ತರಂಗವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ರಚಿಸಬಹುದು. ನೀವು ಎಷ್ಟು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೀರೋ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಮೊತ್ತವು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಚದರ ತರಂಗವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ.

ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್: ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಸಿಗ್ನಲ್‌ಗಳಿಗಾಗಿ

ಆದರೆ ಕೈಗಳ ಒಂದೇ ಚಪ್ಪಾಳೆ ಅಥವಾ ಚಿಕ್ಕ ಭಾಷಣ ವಿಭಾಗದಂತಹ ಪುನರಾವರ್ತಿಸದ ಸಿಗ್ನಲ್‌ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ಇವುಗಳಿಗಾಗಿ, ನಮಗೆ ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಸಿಗ್ನಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಅವುಗಳ ಅವಧಿ ಅನಂತವಾಗಿ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್‌ನ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೊತ್ತದ ಬದಲು, ಫಲಿತಾಂಶವು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಎಂಬ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಿಗ್ನಲ್‌ಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಭಾವ್ಯ ಆವರ್ತನದ ವೈಶಾಲ್ಯ ಮತ್ತು ಹಂತವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ವಿವೇಚನಾತ್ಮಕ ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ (DFT): ಡಿಜಿಟಲ್ ಜಗತ್ತಿಗೆ

ನಮ್ಮ ಆಧುನಿಕ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ, ನಾವು ನಿರಂತರ, ಅನಲಾಗ್ ಸಿಗ್ನಲ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿರಳವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಬದಲಾಗಿ, ನಾವು ಡಿಜಿಟಲ್ ಡೇಟಾದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ-ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾದರಿ ಮಾಡಲಾದ ಸಿಗ್ನಲ್‌ಗಳು. ವಿವೇಚನಾತ್ಮಕ ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ (DFT) ಈ ಡಿಜಿಟಲ್ ರಿಯಾಲಿಟಿಗಾಗಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾದ ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್‌ನ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಸೀಮಿತ ಡೇಟಾ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಸೆಕೆಂಡಿನ ಆಡಿಯೊ ಕ್ಲಿಪ್‌ನ ಮಾದರಿಗಳು) ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಆವರ್ತನ ಘಟಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ. DFT ಫೋರಿಯರ್‌ನ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪ್ರಪಂಚ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪ್ರಪಂಚದ ನಡುವಿನ ನೇರ ಸಂಪರ್ಕವಾಗಿದೆ.

ಫಾಸ್ಟ್ ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ (FFT): ಆಧುನಿಕ ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್‌ನ ಎಂಜಿನ್

DFT ಅನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಗಣನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ತೀವ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 'N' ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಿಗ್ನಲ್‌ಗಾಗಿ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ N² ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ. 44.1 kHz ನಲ್ಲಿ (44,100 ಮಾದರಿಗಳು) ಮಾದರಿಯ ಒಂದು ಸೆಕೆಂಡಿನ ಆಡಿಯೊ ಕ್ಲಿಪ್‌ಗಾಗಿ, ಇದು ಶತಕೋಟಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ನೈಜ-ಸಮಯದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಫಾಸ್ಟ್ ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ (FFT) ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಗತಿ ಬಂದಿತು. FFT ಹೊಸ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ಅಲ್ಲ ಆದರೆ DFT ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಗಣನಾತ್ಮಕ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು N*log(N) ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ಮಾರಕ ಸುಧಾರಣೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಕುತೂಹಲದಿಂದ ಆಧುನಿಕ ಡಿಜಿಟಲ್ ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್ (DSP) ನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿತು.

ಆವರ್ತನ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸುವುದು: ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಅನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು

FFT ಯ ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೂ, ಅವುಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಲು ಸುಲಭವಲ್ಲ. ಬದಲಾಗಿ, ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಅಥವಾ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರೋಗ್ರಾಮ್ ಎಂಬ ಪ್ಲಾಟ್‌ನಲ್ಲಿ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ.

• x-ಅಕ್ಷವು ಆವರ್ತನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹರ್ಟ್ಜ್ (Hz) ನಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ಚಕ್ರಗಳು.
• y-ಅಕ್ಷವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆವರ್ತನ ಘಟಕದ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು (ಅಥವಾ ವೈಶಾಲ್ಯ) ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆವರ್ತನವು ಸಿಗ್ನಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಇರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಇದು ನಮಗೆ ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:

• ಶುದ್ಧ ಸೈನ್ ತರಂಗ: ಪರಿಪೂರ್ಣ 440 Hz ಸೈನ್ ತರಂಗವಾಗಿರುವ ಸಿಗ್ನಲ್ ('A' ಸಂಗೀತ ಸ್ವರ) ಸಮಯ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೃದುವಾದ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ತರಂಗವಾಗಿ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ. ಆವರ್ತನ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ, ಅದರ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ನಂಬಲಾಗದಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ನಿಖರವಾಗಿ 440 Hz ನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ, ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಸ್ಪೈಕ್ ಮತ್ತು ಬೇರೇನೂ ಇಲ್ಲ.
• ಚದರ ತರಂಗ: ಈ ಹಿಂದೆ ಹೇಳಿದಂತೆ, 100 Hz ಚದರ ತರಂಗವು ಅದರ ಮೂಲ ಆವರ್ತನ 100 Hz ನಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಸ್ಪೈಕ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದರ ಬೆಸ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಸ್ಪೈಕ್‌ಗಳು: 300 Hz, 500 Hz, 700 Hz, ಹೀಗೆ, ಈ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್‌ಗಳ ವೈಶಾಲ್ಯಗಳು ಆವರ್ತನ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ.
• ಬಿಳಿ ಶಬ್ದ: ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಶಬ್ದವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಿಗ್ನಲ್ (ಹಳೆಯ ಅನಲಾಗ್ ಟಿವಿಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವಂತೆ) ಎಲ್ಲಾ ಆವರ್ತನಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅದರ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಆವರ್ತನ ಶ್ರೇಣಿಯಾದ್ಯಂತ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಮತಟ್ಟಾದ, ಎತ್ತರದ ರೇಖೆಯಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ.
• ಮಾನವ ಭಾಷಣ: ಮಾತನಾಡುವ ಪದದ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಸ್ಪೀಕರ್‌ನ ಧ್ವನಿಯ ಮೂಲ ಆವರ್ತನ ಮತ್ತು ಅದರ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ (ಇದು ಪಿಚ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ) ಶಿಖರಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ವರ ಮತ್ತು ವ್ಯಂಜನ ಶಬ್ದಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಶಾಲ ಆವರ್ತನ ಕ್ಲಸ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಜಾಗತಿಕ ಕೈಗಾರಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳು

ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್‌ನ ನಿಜವಾದ ಸೌಂದರ್ಯ ಅದರ ಸರ್ವತ್ರತೆಯಲ್ಲಿದೆ. ಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿ ನಾವು ಎಲ್ಲೇ ಇದ್ದರೂ ನಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ತಂತ್ರಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಮೂಲಭೂತ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ.

ಆಡಿಯೋ ಇಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಸಂಗೀತ ನಿರ್ಮಾಣ

ಇದು ಬಹುಶಃ ಅತ್ಯಂತ ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಆಡಿಯೊ ಮಿಕ್ಸಿಂಗ್ ಕನ್ಸೋಲ್ ಮತ್ತು ಡಿಜಿಟಲ್ ಆಡಿಯೊ ವರ್ಕ್‌ಸ್ಟೇಷನ್ (DAW) ಅನ್ನು ಆವರ್ತನ ಕುಶಲತೆಯ ಸುತ್ತಲೂ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ.

• ಈಕ್ವಲೈಜರ್‌ಗಳು (EQ): EQ ಫೋರಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ನೇರ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಟ್ರ್ಯಾಕ್‌ನ ಆವರ್ತನ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಅನ್ನು ನೋಡಲು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆವರ್ತನ ಬ್ಯಾಂಡ್‌ಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಅಥವಾ ಕತ್ತರಿಸಲು ಇಂಜಿನಿಯರ್‌ಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ-ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 200-300 Hz ಸುತ್ತಲೂ ಕೆಸರಿನ ಶಬ್ದವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಅಥವಾ 10 kHz ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮೂಲಕ 'ಗಾಳಿ' ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು.
• ಶಬ್ದ ಕಡಿತ: ಪ್ರಪಂಚದಾದ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಪವರ್ ಲೈನ್‌ಗಳಿಂದ ವಿದ್ಯುತ್ ಹಮ್, ಇದು ಕೆಲವು ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ 60 Hz ನಲ್ಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉತ್ತರ ಅಮೇರಿಕಾ) ಮತ್ತು ಇತರರಲ್ಲಿ 50 Hz ನಲ್ಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯುರೋಪ್, ಏಷ್ಯಾ) ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. FFT ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಶಸ್ತ್ರಚಿಕಿತ್ಸೆಯ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಫಿಲ್ಟರ್ ಮಾಡಬಹುದು, ಉಳಿದ ಆಡಿಯೊದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರದಂತೆ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸ್ವಚ್ಛಗೊಳಿಸಬಹುದು.
• ಆಡಿಯೊ ಪರಿಣಾಮಗಳು: ಆಟೋ-ಟ್ಯೂನ್‌ನಂತಹ ಪಿಚ್ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಪರಿಕರಗಳು ಗಾಯಕನ ಧ್ವನಿಯ ಪ್ರಬಲ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು FFT ಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹತ್ತಿರದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಗೀತ ಸ್ವರಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತವೆ.

ದೂರಸಂಪರ್ಕ

ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ಇಲ್ಲದೆ ಆಧುನಿಕ ಸಂವಹನ ಅಸಾಧ್ಯ. ಇದು ಒಂದೇ ಚಾನಲ್ ಮೂಲಕ ಬಹು ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಹಸ್ತಕ್ಷೇಪವಿಲ್ಲದೆ ಕಳುಹಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

• ಮಾಡ್ಯುಲೇಶನ್: ರೇಡಿಯೊ ಕಡಿಮೆ-ಆವರ್ತನ ಆಡಿಯೊ ಸಿಗ್ನಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನದ ರೇಡಿಯೊ ತರಂಗದಲ್ಲಿ ('ವಾಹಕ ಆವರ್ತನ') 'ಸಾಗಿಸುವ' ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಮಾಡ್ಯುಲೇಶನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಆವರ್ತನ ಡೊಮೇನ್ ತತ್ವಗಳಲ್ಲಿ ಆಳವಾಗಿ ಬೇರೂರಿದೆ.
• OFDM (ಲಂಬ ಆವರ್ತನ-ವಿಭಾಗ ಬಹುಸಂಸ್ಕರಣೆ): ಇದು 4G, 5G, Wi-Fi ಮತ್ತು ಡಿಜಿಟಲ್ ಟೆಲಿವಿಷನ್‌ನಂತಹ ಆಧುನಿಕ ಮಾನದಂಡಗಳ ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಮುಖ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ, ವೇಗದ ವಾಹಕದಲ್ಲಿ ಡೇಟಾವನ್ನು ರವಾನಿಸುವ ಬದಲು, OFDM ಡೇಟಾವನ್ನು ನಿಧಾನವಾದ, ನಿಕಟ ಅಂತರದ, ಲಂಬ ಉಪ-ವಾಹಕಗಳ ಸಾವಿರಾರು ಮೇಲೆ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಿಗ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಹಸ್ತಕ್ಷೇಪದ ವಿರುದ್ಧ ನಂಬಲಾಗದಷ್ಟು ಬಲಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು FFT ಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಬಳಸಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವೈದ್ಯಕೀಯ ಚಿತ್ರಣ ಮತ್ತು ರೋಗನಿರ್ಣಯ

ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ಪ್ರಬಲ ರೋಗನಿರ್ಣಯ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಜೀವಗಳನ್ನು ಉಳಿಸುತ್ತದೆ.

• ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ರೆಸೋನೆನ್ಸ್ ಇಮೇಜಿಂಗ್ (MRI): MRI ಯಂತ್ರವು ದೇಹದ ನೇರ 'ಚಿತ್ರ'ವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಅಂಗಾಂಶಗಳ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಆವರ್ತನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಲು ಪ್ರಬಲವಾದ ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ರೇಡಿಯೊ ತರಂಗಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. 'ಕೆ-ಸ್ಪೇಸ್' (ಚಿತ್ರಗಳಿಗಾಗಿ ಆವರ್ತನ ಡೊಮೇನ್) ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವಲ್ಲಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾದ ಈ ಕಚ್ಚಾ ಡೇಟಾವನ್ನು ನಂತರ 2D ಇನ್‌ವರ್ಸ್ ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ಬಳಸಿ ವಿವರವಾದ ಅಂಗರಚನಾ ಚಿತ್ರವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
• ECG/EEG ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ: ಮಿದುಳಿನ ಅಲೆಗಳ (EEG) ಅಥವಾ ಹೃದಯದ ಲಯಗಳ (ECG) ಆವರ್ತನ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಅನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವ ಮೂಲಕ, ವೈದ್ಯರು ಕೆಲವು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, EEG ಯಲ್ಲಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆವರ್ತನ ಬ್ಯಾಂಡ್‌ಗಳು ನಿದ್ರೆಯ ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳು ಅಥವಾ ಅಪಸ್ಮಾರದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ.

ಚಿತ್ರ ಸಂಸ್ಕರಣೆ

1D ಸಿಗ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಆವರ್ತನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದಾದಂತೆಯೇ, 2D ಚಿತ್ರವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಆವರ್ತನಗಳು ಮತ್ತು ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳ 2D ಸೈನ್/ಕೊಸೈನ್ ತರಂಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು.

• ಚಿತ್ರ ಸಂಕುಚನ (JPEG): JPEG ಫಾರ್ಮ್ಯಾಟ್ ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್‌ನ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವಿವೇಚನಾತ್ಮಕ ಕೊಸೈನ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ಎಂಬ ಸಂಬಂಧಿತ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್) ಅದ್ಭುತ ಬಳಕೆಯಾಗಿದೆ. ಚಿತ್ರವನ್ನು ಸಣ್ಣ ಬ್ಲಾಕ್‌ಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬ್ಲಾಕ್ ಅನ್ನು ಆವರ್ತನ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನದ ಘಟಕಗಳು, ಇದು ಮಾನವನ ಕಣ್ಣು ಕಡಿಮೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿರುವ ಉತ್ತಮ ವಿವರಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಕಡಿಮೆ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಗ್ರಹಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತಿರಸ್ಕರಿಸಬಹುದು. ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಗ್ರಹಿಸಬಹುದಾದ ಗುಣಮಟ್ಟದ ನಷ್ಟದೊಂದಿಗೆ ಬೃಹತ್ ಫೈಲ್ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.
• ಫಿಲ್ಟರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ವರ್ಧನೆ: ಆವರ್ತನ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ, ಕಡಿಮೆ ಆವರ್ತನಗಳು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಮೃದುವಾದ, ಕ್ರಮೇಣ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನಗಳು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಅಂಚುಗಳು ಮತ್ತು ವಿವರಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಸುಕುಗೊಳಿಸಲು, ಆವರ್ತನ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ-ಪಾಸ್ ಫಿಲ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು (ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು). ಚಿತ್ರವನ್ನು ತೀಕ್ಷ್ಣಗೊಳಿಸಲು, ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು.

ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪಾಯಗಳು

ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಬಳಸಲು, ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ತತ್ವಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭಾವ್ಯ ಸವಾಲುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದಿರುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ.

ನೈಕ್ವಿಸ್ಟ್-ಶಾನನ್ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯ

ಇದು ಡಿಜಿಟಲ್ ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮುಖ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ. ಸಿಗ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಡಿಜಿಟಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಸೆರೆಹಿಡಿಯಲು, ನಿಮ್ಮ ಮಾದರಿ ದರವು ಸಿಗ್ನಲ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಅತ್ಯಧಿಕ ಆವರ್ತನದ ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಇರಬೇಕು ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಕನಿಷ್ಠ ಮಾದರಿ ದರವನ್ನು ನೈಕ್ವಿಸ್ಟ್ ದರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಿದರೆ, ಅಲಿಯಾಸಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ವಿದ್ಯಮಾನ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಕಷ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ಮಾದರಿ ಮಾಡದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನಗಳು 'ಮಡಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ' ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಡೇಟಾದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಆವರ್ತನಗಳಾಗಿ ತಪ್ಪಾಗಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಭ್ರಮೆಯನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಸಿಡಿಗಳು 44.1 kHz ಮಾದರಿ ದರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ-ಇದು ಮಾನವರು ಕೇಳಬಹುದಾದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನಕ್ಕಿಂತ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ (ಸುಮಾರು 20 kHz), ಹೀಗಾಗಿ ಕೇಳಿಸಬಹುದಾದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಅಲಿಯಾಸಿಂಗ್ ಅನ್ನು ತಡೆಯುತ್ತದೆ.

ವಿಂಡೋವಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಲೀಕೇಜ್

ನೀವು ಒದಗಿಸುವ ಸೀಮಿತ ಡೇಟಾವು ಅನಂತವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಿಗ್ನಲ್‌ನ ಒಂದು ಅವಧಿ ಎಂದು FFT ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಮ್ಮ ಸಿಗ್ನಲ್ ಆ ಚಂಕ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆವರ್ತಕವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ (ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಹಾಗೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ), ಈ ಊಹೆಯು ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ವೈಪರೀತ್ಯಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕೃತಕ ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಅಂಚುಗಳು ನಿಮ್ಮ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್‌ಗೆ ನಕಲಿ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಲೀಕೇಜ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ನೀವು ಅಳೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿರುವ ನಿಜವಾದ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಮರೆಮಾಡಬಹುದು.

ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ವಿಂಡೋವಿಂಗ್. ವಿಂಡೋ ಕಾರ್ಯ (ಹಾನ್ ಅಥವಾ ಹ್ಯಾಮಿಂಗ್ ವಿಂಡೋ ರೀತಿಯ) ಗಣಿತೀಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು ಅದನ್ನು ಸಮಯ-ಡೊಮೇನ್ ಡೇಟಾಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಕೃತಕ ವೈಪರೀತ್ಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಲೀಕೇಜ್ ಅನ್ನು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸ್ವಚ್ಛವಾದ, ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಬರುತ್ತದೆ.

ಹಂತ ವಿರುದ್ಧ ಪರಿಮಾಣ

ಹೇಳಿದಂತೆ, FFT ಯ ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳಿಂದ, ನಾವು ಪ್ರತಿ ಆವರ್ತನಕ್ಕೂ ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

• ಪರಿಮಾಣ: ಇದನ್ನು ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ಲಾಟ್ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಆ ಆವರ್ತನದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಅಥವಾ ವೈಶಾಲ್ಯವನ್ನು ಇದು ನಮಗೆ ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ.
• ಹಂತ: ಆ ಆವರ್ತನಕ್ಕೆ ಸೈನ್ ತರಂಗದ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನ ಅಥವಾ ಆಫ್‌ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಇದು ನಮಗೆ ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಪರಿಮಾಣ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೂ, ಹಂತವು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸರಿಯಾದ ಹಂತದ ಮಾಹಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ, ನೀವು ಮೂಲ ಸಮಯ-ಡೊಮೇನ್ ಸಿಗ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಎರಡು ಸಿಗ್ನಲ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪರಿಮಾಣ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಹಂತದ ಮಾಹಿತಿಯು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಧ್ವನಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಾಣಿಸಬಹುದು. ಹಂತವು ಸಿಗ್ನಲ್‌ನ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಯ ಮತ್ತು ಸ್ಥಾನಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯ ಒಳನೋಟಗಳು: ಫೋರಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವುದು ಹೇಗೆ

ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು ನೀವು ಗಣಿತಜ್ಞರಾಗಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಶಕ್ತಿಯುತ, ಹೆಚ್ಚು ಆಪ್ಟಿಮೈಸ್ಡ್ FFT ಲೈಬ್ರರಿಗಳು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಡೇಟಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಪರಿಸರದಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿದೆ.

• ಪೈಥಾನ್: `numpy.fft` ಮಾಡ್ಯೂಲ್ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, `np.fft.fft()`) ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಗ್ರವಾದ `scipy.fft` ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್‌ಗೆ ಉದ್ಯಮದ ಮಾನದಂಡಗಳಾಗಿವೆ.
• MATLAB: ಅದರ ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್ ಟೂಲ್‌ಬಾಕ್ಸ್‌ಗಳಿಗೆ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿರುವ ಅಂತರ್ನಿರ್ಮಿತ `fft()` ಮತ್ತು `ifft()` ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
• R: `stats` ಪ್ಯಾಕೇಜ್ ಸಮಯ ಸರಣಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಾಗಿ `fft()` ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಕೆಲಸದ ಹರಿವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು:

1. ಸಿಗ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಅಥವಾ ಉತ್ಪಾದಿಸಿ: ಆಡಿಯೊ ಫೈಲ್, ಸ್ಟಾಕ್ ಡೇಟಾದ CSV ಅನ್ನು ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ನೀವೇ ಸಿಗ್ನಲ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಲವು ಸೇರಿಸಿದ ಶಬ್ದದೊಂದಿಗೆ ಹಲವಾರು ಸೈನ್ ತರಂಗಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ).
2. ವಿಂಡೋ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ: ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಲೀಕೇಜ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ವಿಂಡೋ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನಿಮ್ಮ ಸಿಗ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, `numpy.hanning()`).
3. FFT ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ: ನಿಮ್ಮ ಆಯ್ದ ಲೈಬ್ರರಿಯಿಂದ FFT ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿಮ್ಮ ವಿಂಡೋಡ್ ಸಿಗ್ನಲ್‌ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿ.
4. ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ: FFT ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅವುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, `np.abs()`).
5. ಆವರ್ತನ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಿ: ನಿಮ್ಮ x-ಅಕ್ಷಕ್ಕಾಗಿ ಆವರ್ತನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ರಚನೆಯನ್ನು ರಚಿಸಿ. ಆವರ್ತನಗಳು 0 ರಿಂದ ನೈಕ್ವಿಸ್ಟ್ ಆವರ್ತನದವರೆಗೆ ಇರುತ್ತದೆ.
6. ಪ್ಲಾಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ: ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಅನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲು ಆವರ್ತನ ಅಕ್ಷದ ವಿರುದ್ಧ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಪ್ಲಾಟ್ ಮಾಡಿ. ಶಿಖರಗಳು, ಮಾದರಿಗಳು ಮತ್ತು ಶಬ್ದ ನೆಲಹಾಸುಗಳಿಗಾಗಿ ನೋಡಿ.

ತೀರ್ಮಾನ: ವಿಭಿನ್ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದ ಶಾಶ್ವತ ಶಕ್ತಿ

ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ಕೇವಲ ಗಣಿತೀಯ ಸಾಧನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ; ಇದು ನೋಡುವ ಹೊಸ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಸರಳ, ಮೂಲಭೂತ ಕಂಪನಗಳ ಸಿಂಫನಿಯಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ಅದು ನಮಗೆ ಕಲಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಮಯ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಿಕ್ಕುಬಿದ್ದ, ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧವಾಗಿ ಕಾಣುವ ಸಿಗ್ನಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಆವರ್ತನಗಳ ಕ್ರಮಬದ್ಧ, ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ.

ನಿಮ್ಮ ಸಾಧನಕ್ಕೆ ಈ ಪದಗಳನ್ನು ಸಾಗಿಸುವ Wi-Fi ಸಿಗ್ನಲ್‌ನಿಂದ, ಮಾನವ ದೇಹದೊಳಗೆ ಇಣುಕಿ ನೋಡುವ ವೈದ್ಯಕೀಯ ಸ್ಕ್ಯಾನ್‌ಗಳವರೆಗೆ, ಹಣಕಾಸು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳವರೆಗೆ, ಜೋಸೆಫ್ ಫೋರಿಯರ್‌ನ ಪರಂಪರೆಯು ನಮ್ಮ ಆಧುನಿಕ ತಾಂತ್ರಿಕ ಜಗತ್ತಿನ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿದೆ. ಆವರ್ತನದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಯೋಚಿಸಲು ಕಲಿಯುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಪ್ರಬಲವಾದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಲಿರುವ ದತ್ತಾಂಶದ ಮೇಲ್ಮೈ ಕೆಳಗಿರುವ ಗುಪ್ತ ಕ್ರಮ ಮತ್ತು ರಚನೆಯನ್ನು ನೋಡಲು ನಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.