ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ: ಸದಿಶ ಅವಕಾಶಗಳು ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗಳು - ಒಂದು ಜಾಗತಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಶಾಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ಇಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನ, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಂತಹ ವ್ಯಾಪಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಸಾಧನಗಳು ಮತ್ತು ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪೋಸ್ಟ್ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದೊಳಗಿನ ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಾದ ಸದಿಶ ಅವಕಾಶಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಮಗ್ರ ಅವಲೋಕನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳ ಜಾಗತಿಕ ಪ್ರಸ್ತುತತೆ ಮತ್ತು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತದೆ.

ಸದಿಶ ಅವಕಾಶಗಳು ಎಂದರೇನು?

ಅದರ ತಿರುಳಿನಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸದಿಶ ಅವಕಾಶ (ರೇಖೀಯ ಅವಕಾಶ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ವಸ್ತುಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಇವುಗಳನ್ನು ಸದಿಶಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಬಹುದು (ಕೂಡಬಹುದು) ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು ("ಅಳೆಯಬಹುದು"), ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್‌ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ರಚನೆಯು ನಿರೀಕ್ಷಿತವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುವುದನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು.

ಸದಿಶ ಅವಕಾಶದ ಮೂಲತತ್ವಗಳು

V ಎಂಬುದು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿರುವ ಒಂದು ಗಣವಾಗಿರಲಿ: ಸದಿಶ ಸಂಕಲನ (u + v) ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರ (cu), ಇಲ್ಲಿ u ಮತ್ತು v ಗಳು V ನಲ್ಲಿನ ಸದಿಶಗಳು, ಮತ್ತು c ಒಂದು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂಲತತ್ವಗಳು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ V ಒಂದು ಸದಿಶ ಅವಕಾಶವಾಗಿದೆ:

• ಸಂಕಲನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿರುವಿಕೆ: V ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ u, v ಗಳಿಗೆ, u + v ಯು V ನಲ್ಲಿದೆ.
• ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿರುವಿಕೆ: V ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ u ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಕೇಲಾರ್ c ಗಳಿಗೆ, cu ಯು V ನಲ್ಲಿದೆ.
• ಸಂಕಲನದ ಪರಿವರ್ತನೀಯತೆ: V ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ u, v ಗಳಿಗೆ, u + v = v + u.
• ಸಂಕಲನದ ಸಹವರ್ತನೀಯತೆ: V ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ u, v, w ಗಳಿಗೆ, (u + v) + w = u + (v + w).
• ಸಂಕಲನಾತ್ಮಕ ಅನನ್ಯತೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ: V ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಶೂನ್ಯ ಸದಿಶ 0 ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ V ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ u ಗಳಿಗೆ, u + 0 = u.
• ಸಂಕಲನಾತ್ಮಕ ವಿಲೋಮದ ಅಸ್ತಿತ್ವ: V ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು u ಗಾಗಿ, V ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸದಿಶ -u ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ u + (-u) = 0.
• ಸದಿಶ ಸಂಕಲನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರದ ವಿಭಾಜಕತೆ: ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಕೇಲಾರ್ c ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ u, v ಗಳಿಗೆ V ನಲ್ಲಿ, c(u + v) = cu + cv.
• ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಸಂಕಲನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರದ ವಿಭಾಜಕತೆ: ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಕೇಲಾರ್‌ c, d ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ u ಗಳಿಗೆ V ನಲ್ಲಿ, (c + d)u = cu + du.
• ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರದ ಸಹವರ್ತನೀಯತೆ: ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಕೇಲಾರ್ c, d ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ u ಗಳಿಗೆ V ನಲ್ಲಿ, c(du) = (cd)u.
• ಗುಣಾಕಾರದ ಅನನ್ಯತೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ: V ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ u ಗಳಿಗೆ, 1u = u.

ಸದಿಶ ಅವಕಾಶಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಸದಿಶ ಅವಕಾಶಗಳ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:

• Rⁿ: ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ n-ಟಪಲ್‌ಗಳ ಗಣ, ಇದರಲ್ಲಿ ಘಟಕವಾರು ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರ ಇರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, R² ಚಿರಪರಿಚಿತ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಸಮತಲ, ಮತ್ತು R³ ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ಜಾಗವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾನಗಳು ಮತ್ತು ವೇಗಗಳನ್ನು ಮಾದರಿ ಮಾಡಲು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
• Cⁿ: ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ n-ಟಪಲ್‌ಗಳ ಗಣ, ಇದರಲ್ಲಿ ಘಟಕವಾರು ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರ ಇರುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
• M_m,n(R): ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ m x n ಮಾತೃಕೆಗಳ ಗಣ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮಾತೃಕೆ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರ ಇರುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಮಾತೃಕೆಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿವೆ.
• P_n(R): n ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾದ ಡಿಗ್ರಿಯ, ನೈಜ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಹುಪದಿಗಳ ಗಣ, ಇದರಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಿ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರ ಇರುತ್ತದೆ. ಅಂದಾಜು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.
• F(S, R): S ಗಣದಿಂದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳ ಗಣ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್‌ವೈಸ್ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರ ಇರುತ್ತದೆ. ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಡೇಟಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉಪಅವಕಾಶಗಳು

ಒಂದು ಸದಿಶ ಅವಕಾಶ V ಯ ಉಪಅವಕಾಶವು V ಯ ಉಪಗಣವಾಗಿದ್ದು, ಅದು V ಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರದ ಅದೇ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಸದಿಶ ಅವಕಾಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ. V ಯ ಉಪಗಣ W ಒಂದು ಉಪಅವಕಾಶ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ಇದನ್ನು ತೋರಿಸಿದರೆ ಸಾಕು:

• W ಖಾಲಿಯಾಗಿಲ್ಲ (ಶೂನ್ಯ ಸದಿಶವು W ನಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ).
• W ಸಂಕಲನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದೆ: u ಮತ್ತು v ಗಳು W ನಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಆಗ u + v ಸಹ W ನಲ್ಲಿದೆ.
• W ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದೆ: u W ನಲ್ಲಿದ್ದು c ಒಂದು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ cu ಸಹ W ನಲ್ಲಿದೆ.

ರೇಖೀಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ, ಆಧಾರ, ಮತ್ತು ಆಯಾಮ

ಒಂದು ಸದಿಶ ಅವಕಾಶ V ಯಲ್ಲಿ {v₁, v₂, ..., v_n} ಸದಿಶಗಳ ಗಣವನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_nv_n = 0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಇರುವ ಏಕೈಕ ಪರಿಹಾರ c₁ = c₂ = ... = c_n = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಆ ಗಣವು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಸದಿಶ ಅವಕಾಶ V ಗಾಗಿ ಆಧಾರವು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಸದಿಶಗಳ ಗಣವಾಗಿದ್ದು, ಅದು V ಯನ್ನು ವ್ಯಾಪಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, V ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸದಿಶವನ್ನು ಆಧಾರದ ಸದಿಶಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು). ಒಂದು ಸದಿಶ ಅವಕಾಶ V ಯ ಆಯಾಮವು V ಗಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಆಧಾರದಲ್ಲಿರುವ ಸದಿಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಸದಿಶ ಅವಕಾಶದ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ: R³ ನಲ್ಲಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆಧಾರವು {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} ಆಗಿದೆ. R³ ನ ಆಯಾಮ 3 ಆಗಿದೆ.

ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳು

ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರ (ಅಥವಾ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆ) ಎಂಬುದು ಎರಡು ಸದಿಶ ಅವಕಾಶಗಳಾದ V ಮತ್ತು W ನಡುವಿನ ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ T: V → W ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ಸದಿಶ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, T ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು:

• T(u + v) = T(u) + T(v) V ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ u, v ಗಳಿಗೆ.
• T(cu) = cT(u) V ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ u ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಕೇಲಾರ್ c ಗಳಿಗೆ.

ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

• ಶೂನ್ಯ ರೂಪಾಂತರ: V ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ v ಗಳಿಗೆ T(v) = 0.
• ಅನನ್ಯತಾ ರೂಪಾಂತರ: V ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ v ಗಳಿಗೆ T(v) = v.
• ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ರೂಪಾಂತರ: V ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ v ಗಳಿಗೆ T(v) = cv, ಇಲ್ಲಿ c ಒಂದು ಸ್ಕೇಲಾರ್.
• R² ನಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವಿಕೆ: ಮೂಲದ ಸುತ್ತ θ ಕೋನದಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯು ಒಂದು ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ.
• ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣೆ: R³ ನಲ್ಲಿನ ಸದಿಶವನ್ನು xy-ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುವುದು ಒಂದು ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ.
• ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ (ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳ ಅವಕಾಶದಲ್ಲಿ): ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ.
• ಸಂಕಲನ (ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳ ಅವಕಾಶದಲ್ಲಿ): ಸಂಕಲನವು ಒಂದು ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ.

ಕರ್ನಲ್ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿ

ಒಂದು ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರ T: V → W ಯ ಕರ್ನಲ್ (ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯ ಅವಕಾಶ) V ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸದಿಶಗಳ ಗಣವಾಗಿದ್ದು, ಅವು W ನಲ್ಲಿನ ಶೂನ್ಯ ಸದಿಶಕ್ಕೆ ನಕ್ಷಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ker(T) = {v in V | T(v) = 0}. ಕರ್ನಲ್ V ಯ ಉಪಅವಕಾಶವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರ T: V → W ಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿ (ಅಥವಾ ಚಿತ್ರ) W ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸದಿಶಗಳ ಗಣವಾಗಿದ್ದು, ಅವು V ನಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೋ ಒಂದು ಸದಿಶದ ಚಿತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, range(T) = {w in W | w = T(v) for some v in V}. ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು W ಯ ಉಪಅವಕಾಶವಾಗಿದೆ.

ಶ್ರೇಣಿ-ಶೂನ್ಯತಾ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುವುದೇನೆಂದರೆ, ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರ T: V → W ಗಾಗಿ, dim(V) = dim(ker(T)) + dim(range(T)) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರದ ಕರ್ನಲ್ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಆಯಾಮಗಳ ನಡುವಿನ ಮೂಲಭೂತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.

ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮಾತೃಕೆ ನಿರೂಪಣೆ

ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರ T: V → W ಮತ್ತು V ಹಾಗೂ W ಗಾಗಿ ಆಧಾರಗಳನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ನಾವು T ಯನ್ನು ಒಂದು ಮಾತೃಕೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಇದು ಮಾತೃಕೆ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಬಳಸಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಗಣನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ದಕ್ಷವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ: T(x, y) = (2x + y, x - 3y) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರ T: R² → R² ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ T ಯ ಮಾತೃಕೆ ನಿರೂಪಣೆಯು ಹೀಗಿದೆ:

ಆನ್‌ಲೈನ್ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳು: ಎಂಐಟಿ ಓಪನ್‌ಕೋರ್ಸ್‌ವೇರ್ (ಗಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಟ್ರಾಂಗ್ ಅವರ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್), ಖಾನ್ ಅಕಾಡೆಮಿ (ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ)

ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್: ಮ್ಯಾಟ್‌ಲ್ಯಾಬ್, ಪೈಥಾನ್ (ನಮ್‌ಪೈ, ಸೈಪೈ ಲೈಬ್ರರಿಗಳು)