衝突判定：幾何学的交差アルゴリズムの包括的ガイド

衝突判定は、コンピュータグラフィックス、ゲーム開発、ロボット工学、および様々なシミュレーションアプリケーションにおける基本的な問題です。これは、仮想環境内のオブジェクトが互いに交差または衝突するタイミングを判断することを含みます。この一見単純な問題は、特に環境の複雑さとオブジェクトの数が増加するにつれて、重大な計算上の課題を提示します。このガイドは、幾何学的交差アルゴリズムの包括的な概要を提供し、様々なテクニック、その応用、効率的な実装のための考慮事項を探求し、開発者と愛好家のグローバルな聴衆に対応します。

なぜ衝突判定が重要なのか？

衝突判定は、現実的でインタラクティブなシミュレーションやゲームを作成するために不可欠です。それがなければ、オブジェクトは互いを通り抜け、仮想世界を非現実的なものにします。以下にいくつかの重要なアプリケーションを示します。

• ゲーム開発：キャラクター、発射物、および環境間の衝突を検出します。弾丸が壁を通り抜けるファーストパーソンシューターゲームを想像してみてください - それはプレイ不可能でしょう。
• ロボット工学：ロボットが障害物を回避し、周囲と安全に相互作用することを保証します。これは、自動化された製造および配送サービスのようなアプリケーションにとって不可欠です。
• コンピュータ支援設計（CAD）：コンポーネント間の干渉を特定することにより、設計の整合性を検証します。たとえば、自動車の設計では、衝突判定はエンジンがエンジンベイ内に収まるかどうかを検証します。
• 科学的シミュレーション：分子動力学シミュレーションのように、粒子の相互作用をモデル化します。正確な衝突判定は、シミュレーションの結果にとって非常に重要です。
• バーチャルリアリティ（VR）と拡張現実（AR）：ユーザーが仮想オブジェクトと現実的に対話できる没入型体験を作成します。

どの衝突判定アルゴリズムを使用するかは、多くの場合、特定のアプリケーション、パフォーマンス要件、オブジェクトの複雑さ、および必要な精度レベルに依存します。計算コストと衝突判定の精度の間には、トレードオフが存在することがよくあります。

基本的な幾何学的プリミティブと概念

特定のアルゴリズムを掘り下げる前に、衝突判定でよく使用される基本的な幾何学的プリミティブを理解することが不可欠です。

• 点：空間内の位置。多くの場合、2Dでは座標（x、y）、3Dでは（x、y、z）で表されます。
• 線分：2つの点（端点）を接続する直線。
• 三角形：3つの頂点を持つ多角形。
• 多角形：接続された線分（エッジ）のシーケンスで定義される閉じた形状。
• 球：中心点と半径で定義される3次元オブジェクト。
• AABB（軸平行バウンディングボックス）：座標軸に沿って配置された長方形のボックス。最小および最大のx、y、および（オプションで）zの値で定義されます。
• OBB（指向性バウンディングボックス）：任意の角度で配置できる長方形のボックス。中心、軸のセット、およびそれらの軸に沿った範囲で定義されます。
• レイ：点（原点）から始まり、指定された方向に無限に伸びる線。

2Dにおける衝突判定アルゴリズム

2D衝突判定は3D対応物よりも単純ですが、より複雑なテクニックを理解するための基礎を形成します。以下に、いくつかの一般的な2Dアルゴリズムを示します。

1. 点の内包判定

与えられた点が多角形の内部にあるか外部にあるかを判断します。いくつかの方法が存在します。

• レイキャスティングアルゴリズム：点からレイ（一方向に無限に伸びる線）をキャストします。レイが多角形のエッジと交差する回数を数えます。カウントが奇数の場合、点は内部にあります。偶数の場合、点は外部にあります。このアルゴリズムは比較的簡単に実装できます。
• 巻き数アルゴリズム：多角形に関する点の巻き数を計算します。巻き数は、多角形が点を何回巻いているかを表します。巻き数がゼロでない場合、点は内部にあります。この方法は、自己交差のある複雑な多角形に対して一般的により堅牢です。

例（レイキャスティング）：都市の地図を想像してみてください。GPS座標（点）が、建物を表す多角形に対してチェックされます。レイキャスティングアルゴリズムは、与えられた点が建物内にあるかどうかを判断できます。

2. 線分交差

2つの線分が交差するかどうかを判断します。最も一般的なアプローチは次のとおりです。

• パラメータ方程式：各線分をパラメータ方程式で表します。P = P1 + t（P2 - P1）。ここで、P1とP2は端点であり、tは0から1の範囲のパラメータです。交点は、パラメータtについて2つの方程式（線分ごとに1つ）のシステムを解くことによって見つけられます。両方のtの値が範囲[0、1]に収まる場合、セグメントは交差します。
• クロス積アプローチ：クロス積を使用して、一方の線分の端点の他方に対する相対的な位置を判断します。クロス積の符号が異なる場合、セグメントは交差します。この方法は除算を回避し、より効率的です。

例：ゲームでの衝突判定シナリオを考えてみましょう。弾丸（線分）が発射され、壁（線分として表される）に対してチェックする必要があります。このアルゴリズムは、弾丸が壁に当たるかどうかを識別します。

3. バウンディングボックス衝突判定

オブジェクトのバウンディングボックスが交差するかどうかをテストする、迅速かつ効率的な事前チェック。バウンディングボックスが衝突しない場合、より複雑な衝突チェックを実行する必要はありません。

• AABB vs. AABB：2つのAABBは、各軸（xおよびy）に沿って間隔が重複する場合に交差します。

例：多くの移動オブジェクトがあるゲームを想像してみてください。最初に、単純なAABB衝突チェックが実行されます。AABBが交差する場合、より詳細な衝突チェックが実行されます。そうでない場合、処理時間が節約されます。

3Dにおける衝突判定アルゴリズム

3D衝突判定は、次元が追加されるため、より複雑になります。以下に、いくつかの重要な3Dアルゴリズムを示します。

1. 球 vs. 球

最も単純な3D衝突判定。2つの球の中心間の距離が、それらの半径の合計よりも小さい場合、2つの球は衝突します。距離の公式は次のとおりです：距離 = sqrt（（x2 - x1）^ 2 +（y2 - y1）^ 2 +（z2 - z1）^ 2）。

例：3D環境でのビリヤードの衝突をシミュレートします。

2. 球 vs. AABB

球と軸平行バウンディングボックスが交差するかどうかをテストします。このアルゴリズムでは通常、球の中心がAABB内にあるかどうか、または球の中心とAABB上の最も近い点との間の距離が球の半径よりも小さいかどうかをチェックします。

例：ゲームで、キャラクター（球で表される）が建物（AABBで表される）と衝突するかどうかを効率的にチェックします。

3. 球 vs. 三角形

球が三角形と交差するかどうかを判断します。1つのアプローチは次のとおりです。

• 球の中心の投影：三角形で定義された平面に球の中心を投影します。
• 内部にあるかどうかのチェック：重心座標などの手法を使用して、投影された点が三角形の内側にあるかどうかを判断します。
• 距離チェック：投影された点が内部にあり、球の中心と平面の間の距離が半径よりも小さい場合は、衝突が発生します。投影された点が外部にある場合は、各頂点とエッジまでの距離をテストします。

例：3Dゲーム環境で、仮想ボールと地形の間の衝突を検出します。地形は三角形で表されることがよくあります。

4. 三角形 vs. 三角形

これはより複雑な問題です。いくつかの方法が採用されています。

• 分離軸定理（SAT）：三角形が軸のセットに沿って分離されているかどうかをチェックします。分離されている場合、衝突しません。分離されていない場合、衝突します。テストする軸には、三角形の法線と三角形のエッジのクロス積が含まれます。
• 平面ベースの交差テスト：一方の三角形の頂点が、もう一方の三角形で定義された平面の反対側にあるかどうかをチェックします。これは両方の三角形に対して実行されます。交差が存在する場合、追加のテスト（平面内のエッジ間の交差）が必要です。

例：三角形で表される複雑なメッシュオブジェクト間の衝突を判断します。

5. AABB vs. AABB

2Dと同様ですが、軸（z）が追加されています。2つのAABBは、x、y、およびz軸のそれぞれに沿って間隔が重複する場合に交差します。これは、より正確な衝突判定のためのブロードフェーズとして頻繁に使用されます。

例：3Dシーン内の静的オブジェクト間の衝突判定を効率的に管理します。

6. OBB vs. OBB

これには、分離軸定理（SAT）の使用が含まれます。テストする軸は、各OBBの面の法線と、両方のOBBのエッジのクロス積です。OBBは一般にAABBよりも正確ですが、計算はより高価です。

例：座標軸に沿って配置されていない複雑な移動オブジェクト間の衝突を検出します。

7. レイキャスティング

レイは、特定の方向の開始点（原点）からキャストされ、シーン内のオブジェクトと交差するかどうかを判断するために使用されます。これは、選択、ピッキング、およびシャドウ計算に広く使用されています。衝突判定の場合：

• レイ-球交差：二次方程式を使用して解かれます。
• レイ-三角形交差：多くの場合、Möller–Trumboreアルゴリズムを利用します。これにより、三角形内の交点と重心座標を効率的に計算します。

例：ユーザーが3Dゲームまたはシミュレーション（選択）でマウスで指しているオブジェクトを判断します。もう1つのユースケースは、ファーストパーソンシューターで武器から発射される発射体をシミュレートすることです。

最適化テクニック

効率的な衝突判定は、特にリアルタイムアプリケーションでは非常に重要です。以下に、いくつかの最適化戦略を示します。

1. バウンディングボリューム階層（BVH）

BVHは、バウンディングボリュームに基づいてオブジェクトを階層的に整理するツリーのような構造です。これにより、階層の各レベルでバウンディングボリュームが重複するオブジェクトのみをテストすることで、必要な衝突チェックの数が大幅に削減されます。BVHの一般的なバウンディングボリュームには、AABBとOBBが含まれます。

例：数千のオブジェクトがあるゲームを考えてみましょう。BVHは、近接しているオブジェクト間の衝突のみをチェックすることにより、検索スペースをすばやく絞り込み、計算負荷を軽減できます。

2. 空間分割

シーンを領域またはセルに分割します。これにより、互いに近いオブジェクトをすばやく判断できるため、衝突チェックが削減されます。一般的なテクニックには次のものがあります。

• 均一グリッド：スペースを通常のグリッドに分割します。実装は簡単ですが、オブジェクトの分布が不均一な場合は効率が低下する可能性があります。
• クアッドツリー（2D）およびオクトツリー（3D）：スペースを再帰的に細分割する階層構造。均一グリッドよりも適応性がありますが、構築はより複雑になる可能性があります。動的なシーンに最適です。
• BSPツリー（バイナリ空間分割）：スペースを平面で分割します。レンダリングと衝突判定によく使用されますが、構築と保守には費用がかかる可能性があります。

例：広大なマップ内でユニット間の衝突を効率的に検出するためにクアッドツリーを使用するリアルタイム戦略ゲーム。

3. ブロードフェーズとナローフェーズ

ほとんどの衝突判定システムは、2フェーズアプローチを使用します。

• ブロードフェーズ：AABB vs. AABBなどのシンプルで高速な衝突判定アルゴリズムを使用して、潜在的な衝突をすばやく識別します。目標は、可能な限り多くの非衝突ペアを排除することです。
• ナローフェーズ：ブロードフェーズで識別されたオブジェクトに対して、より正確で計算コストの高い衝突チェック（三角形 vs. 三角形など）を実行します。

例：ゲームでは、ブロードフェーズはAABBテストを使用して、近接していないオブジェクトをすばやくフィルタリングします。次に、ナローフェーズは、潜在的な衝突オブジェクトに対して、より詳細なテスト（個々の三角形のチェックなど）を実行します。

4. キャッシュと事前計算

可能であれば、頻繁に変更されない計算の結果をキャッシュします。静的オブジェクトデータ（法線など）を事前に計算し、頻繁に使用される値のルックアップテーブルを使用します。

例：静的オブジェクトを扱う場合、三角形の法線を一度計算して保存すると、フレームごとに法線を繰り返し再計算する必要がなくなります。

5. アーリーアウトテクニック

無駄な計算を避けるために、衝突がないかどうかをすばやく判断できるアルゴリズムを設計します。これには、最も単純な衝突条件を最初にテストし、衝突がない場合はすばやく終了することが含まれます。

例：球と三角形の交差テスト中に、球の中心と三角形の平面の間の距離をチェックすると、潜在的な衝突が存在するかどうかをすばやく判断できます。

実際的な考慮事項

1. 浮動小数点精度

浮動小数点演算では丸め誤差が発生し、特にオブジェクトが互いに近い場合に問題が発生する可能性があります。これにより、衝突が見逃されたり、小さなギャップが作成されたりする可能性があります。以下を検討してください。

• 許容値：不正確さを補正するために、小さな許容値を導入します。
• 倍精度：パフォーマンスへの影響が許容できる場合は、重要な計算に倍精度浮動小数点数（C++の`double`など）を使用します。
• 数値的安定性：数値的に安定性の高い数値的メソッドとアルゴリズムを選択します。

2. オブジェクトの表現とデータ構造

オブジェクトをどのように表現し、データを保存するかは、衝突判定のパフォーマンスに大きな影響を与えます。以下を検討してください。

• メッシュの複雑さ：妥当なレベルの視覚的な忠実度を維持しながら、複雑なメッシュを簡略化して、三角形の数を減らします。メッシュ間引きアルゴリズムのようなツールが役立ちます。
• データ構造：プログラミング言語の機能とパフォーマンスの考慮事項に基づいて、配列や特殊な幾何学的データ構造（三角形データを保存するためのものなど）などの効率的なデータ構造を使用します。
• オブジェクト階層：オブジェクトが多くの小さな部品で構成されている場合は、衝突判定を簡略化するために階層を作成することを検討してください。

3. パフォーマンスプロファイリングとチューニング

プロファイラーは、衝突判定コードのパフォーマンスボトルネックを識別します。プロファイリングツールを使用して、どのアルゴリズムが最も処理時間を消費するかを特定します。代替メソッドを検討したり、実装を改善したり、パラメータを微調整したり、プロファイリングツールを再度使用して結果を評価したりすることにより、これらのアルゴリズムを最適化します。

例：ゲーム開発者は衝突判定コードをプロファイルし、三角形-三角形の交差がCPU時間を大幅に消費していることを特定する場合があります。次に、より効率的なアルゴリズムを使用するか、シーン内のオブジェクトのポリゴン数を減らすことを検討する可能性があります。

4. 物理エンジンとライブラリ

多くのゲームエンジンとライブラリは、事前構築された衝突判定および物理システムを提供します。これらのシステムは、多くの場合、最適化されたアルゴリズムを提供し、剛体ダイナミクスや制約解決などのさまざまな複雑さを処理します。一般的な選択肢は次のとおりです。

• PhysX（Nvidia）：堅牢で広く使用されている物理エンジン。
• Bullet Physics Library：オープンソースの物理ライブラリ。
• UnityおよびUnreal Engine：衝突判定機能を備えた組み込みの物理エンジンを組み込んだゲームエンジン。
• Box2D：モバイルゲームで一般的に使用される2D物理エンジン。

これらのエンジンを使用すると、特に複雑なシナリオでは、ゲームやシミュレーションでの衝突判定と物理の実装を大幅に簡略化できます。

適切なアルゴリズムの選択

最適な衝突判定アルゴリズムの選択は、いくつかの要因に依存します。

• オブジェクトの複雑さ：関与するオブジェクトの幾何学的複雑さ。単純な形状（球、ボックス）は、複雑なメッシュよりも処理が簡単です。
• パフォーマンス要件：リアルタイムアプリケーションには、高度に最適化されたアルゴリズムが必要です。
• シーンのダイナミクス：オブジェクトが移動し、位置を変更する頻度。動的なシーンには、より複雑なデータ構造とアルゴリズムが必要です。
• メモリ制約：制限されたメモリは、データ構造の選択とアルゴリズムの複雑さに影響を与える可能性があります。
• 精度のニーズ：必要な精度の程度。一部のアプリケーションでは非常に正確な衝突判定が必要になる場合がありますが、他のアプリケーションでは近似を許容できます。

例：円と長方形を備えた単純な2Dゲームを構築している場合は、AABBと円の交差テストを使用できます。これらは非常に効率的です。変形可能なメッシュを備えた複雑な3Dゲームの場合、BVHとPhysXのような堅牢な物理エンジンの組み合わせを使用する可能性があります。

結論

衝突判定は、多くのインタラクティブアプリケーションの重要なコンポーネントです。基本的な幾何学的プリミティブ、衝突判定のさまざまなアルゴリズム、および最適化テクニックを理解することにより、堅牢で効率的なシステムを構築できます。適切なアルゴリズムは、プロジェクトの特定のニーズによって異なります。これらの方法を分析することで、現実世界をシミュレートするインタラクティブなアプリケーションを作成できます。

テクノロジーの進歩に伴い、新しいアルゴリズムと最適化テクニックが常に開発されています。開発者と愛好家は、この魅力的で重要な分野の最前線にとどまるために、知識を継続的に更新する必要があります。これらの原則の適用は、世界中で容易に利用できます。継続的な練習を通じて、衝突判定の複雑さを習得できるようになります。