אלגברה ליניארית: מרחבים וקטוריים וטרנספורמציות - מבט גלובלי

אלגברה ליניארית היא ענף יסודי במתמטיקה המספק את הכלים והטכניקות הנחוצים להבנה ופתרון בעיות במגוון רחב של תחומים, כולל פיזיקה, הנדסה, מדעי המחשב, כלכלה וסטטיסטיקה. מאמר זה מציע סקירה מקיפה של שני מושגי ליבה באלגברה ליניארית: מרחבים וקטוריים וטרנספורמציות ליניאריות, תוך הדגשת הרלוונטיות הגלובלית והיישומים המגוונים שלהם.

מהם מרחבים וקטוריים?

בבסיסו, מרחב וקטורי (הנקרא גם מרחב ליניארי) הוא קבוצה של אובייקטים, הנקראים וקטורים, שניתן לחברם יחד ולהכפילם ("לשנות את קנה המידה שלהם") במספרים, הנקראים סקלרים. פעולות אלו חייבות לקיים אקסיומות ספציפיות כדי להבטיח שהמבנה מתנהג באופן צפוי.

אקסיומות של מרחב וקטורי

יהי V קבוצה עם שתי פעולות מוגדרות: חיבור וקטורי (u + v) וכפל בסקלר (cu), כאשר u ו-v הם וקטורים ב-V, ו-c הוא סקלר. V הוא מרחב וקטורי אם האקסיומות הבאות מתקיימות:

• סגירות תחת חיבור: לכל u, v ב-V, גם u + v נמצא ב-V.
• סגירות תחת כפל בסקלר: לכל u ב-V ולכל סקלר c, גם cu נמצא ב-V.
• קומוטטיביות של חיבור: לכל u, v ב-V, מתקיים u + v = v + u.
• אסוציאטיביות של חיבור: לכל u, v, w ב-V, מתקיים (u + v) + w = u + (v + w).
• קיום איבר יחידה חיבורי: קיים וקטור 0 ב-V כך שלכל u ב-V, מתקיים u + 0 = u.
• קיום איבר נגדי חיבורי: לכל u ב-V, קיים וקטור -u ב-V כך שמתקיים u + (-u) = 0.
• פילוגיות של כפל בסקלר מעל חיבור וקטורים: לכל סקלר c ולכל u, v ב-V, מתקיים c(u + v) = cu + cv.
• פילוגיות של כפל בסקלר מעל חיבור סקלרים: לכל סקלרים c, d ולכל u ב-V, מתקיים (c + d)u = cu + du.
• אסוציאטיביות של כפל בסקלר: לכל סקלרים c, d ולכל u ב-V, מתקיים c(du) = (cd)u.
• קיום איבר יחידה כפלי: לכל u ב-V, מתקיים 1u = u.

דוגמאות למרחבים וקטוריים

הנה כמה דוגמאות נפוצות למרחבים וקטוריים:

• Rⁿ: קבוצת כל ה-n-יות של מספרים ממשיים, עם חיבור וכפל בסקלר רכיב-רכיב. לדוגמה, R² הוא המישור הקרטזי המוכר, ו-R³ מייצג את המרחב התלת-ממדי. מרחב זה נמצא בשימוש נרחב בפיזיקה למידול מיקומים ומהירויות.
• Cⁿ: קבוצת כל ה-n-יות של מספרים מרוכבים, עם חיבור וכפל בסקלר רכיב-רכיב. בשימוש נרחב במכניקת קוונטים.
• M_m,n(R): קבוצת כל המטריצות מסדר m x n עם רכיבים ממשיים, עם חיבור מטריצות וכפל בסקלר. מטריצות הן יסודיות לייצוג טרנספורמציות ליניאריות.
• P_n(R): קבוצת כל הפולינומים עם מקדמים ממשיים ממעלה לכל היותר n, עם חיבור פולינומים וכפל בסקלר. שימושי בתורת הקירובים ובאנליזה נומרית.
• F(S, R): קבוצת כל הפונקציות מקבוצה S למספרים הממשיים, עם חיבור וכפל בסקלר נקודתית. בשימוש בעיבוד אותות וניתוח נתונים.

תת-מרחבים

תת-מרחב של מרחב וקטורי V הוא תת-קבוצה של V שהיא בעצמה מרחב וקטורי תחת אותן פעולות חיבור וכפל בסקלר המוגדרות על V. כדי לוודא שתת-קבוצה W של V היא תת-מרחב, מספיק להראות ש:

• W אינה ריקה (לרוב נעשה על ידי הוכחה שווקטור האפס נמצא ב-W).
• W סגורה תחת חיבור: אם u ו-v נמצאים ב-W, אז גם u + v נמצא ב-W.
• W סגורה תחת כפל בסקלר: אם u נמצא ב-W ו-c הוא סקלר, אז גם cu נמצא ב-W.

אי-תלות ליניארית, בסיס וממד

קבוצת וקטורים {v₁, v₂, ..., v_n} במרחב וקטורי V נקראת בלתי תלויה ליניארית אם הפתרון היחיד למשוואה c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_nv_n = 0 הוא c₁ = c₂ = ... = c_n = 0. אחרת, הקבוצה היא תלויה ליניארית.

בסיס למרחב וקטורי V הוא קבוצה בלתי תלויה ליניארית של וקטורים הפורשת את V (כלומר, כל וקטור ב-V יכול להיכתב כצירוף ליניארי של וקטורי הבסיס). הממד של מרחב וקטורי V הוא מספר הווקטורים בכל בסיס של V. זוהי תכונה יסודית של המרחב הווקטורי.

דוגמה: ב-R³, הבסיס הסטנדרטי הוא {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. הממד של R³ הוא 3.

טרנספורמציות ליניאריות

טרנספורמציה ליניארית (או העתקה ליניארית) היא פונקציה T: V → W בין שני מרחבים וקטוריים V ו-W המשמרת את פעולות חיבור הווקטורים וכפל בסקלר. באופן פורמלי, T חייבת לקיים את שתי התכונות הבאות:

• T(u + v) = T(u) + T(v) לכל u, v ב-V.
• T(cu) = cT(u) לכל u ב-V ולכל סקלר c.

דוגמאות לטרנספורמציות ליניאריות

• טרנספורמציית האפס: T(v) = 0 לכל v ב-V.
• טרנספורמציית הזהות: T(v) = v לכל v ב-V.
• טרנספורמציית סקיילינג (שינוי קנה מידה): T(v) = cv לכל v ב-V, כאשר c הוא סקלר.
• סיבוב ב-R²: סיבוב בזווית θ סביב הראשית הוא טרנספורמציה ליניארית.
• הטלה: הטלת וקטור ב-R³ על מישור ה-xy היא טרנספורמציה ליניארית.
• גזירה (במרחב הפונקציות הגזירות): הנגזרת היא טרנספורמציה ליניארית.
• אינטגרציה (במרחב הפונקציות האינטגרביליות): האינטגרל הוא טרנספורמציה ליניארית.

גרעין ותמונה

הגרעין (או מרחב האפס) של טרנספורמציה ליניארית T: V → W הוא קבוצת כל הווקטורים ב-V הממופים לווקטור האפס ב-W. באופן פורמלי, ker(T) = {v in V | T(v) = 0}. הגרעין הוא תת-מרחב של V.

התמונה של טרנספורמציה ליניארית T: V → W היא קבוצת כל הווקטורים ב-W שהם תמונה של וקטור כלשהו ב-V. באופן פורמלי, range(T) = {w in W | w = T(v) for some v in V}. התמונה היא תת-מרחב של W.

משפט הממד (Rank-Nullity Theorem) קובע כי עבור טרנספורמציה ליניארית T: V → W, מתקיים dim(V) = dim(ker(T)) + dim(range(T)). משפט זה מספק קשר יסודי בין הממדים של הגרעין והתמונה של טרנספורמציה ליניארית.

ייצוג מטריציוני של טרנספורמציות ליניאריות

בהינתן טרנספורמציה ליניארית T: V → W ובסיסים עבור V ו-W, אנו יכולים לייצג את T כמטריצה. זה מאפשר לנו לבצע טרנספורמציות ליניאריות באמצעות כפל מטריצות, שהוא יעיל מבחינה חישובית. זהו דבר חיוני ליישומים מעשיים.

דוגמה: נתבונן בטרנספורמציה הליניארית T: R² → R² המוגדרת על ידי T(x, y) = (2x + y, x - 3y). הייצוג המטריציוני של T ביחס לבסיס הסטנדרטי הוא:

קורסים מקוונים: MIT OpenCourseWare (הקורס באלגברה ליניארית של Gilbert Strang), אקדמיית קהאן (אלגברה ליניארית)

תוכנות: MATLAB, Python (ספריות NumPy, SciPy)