રેખીય બીજગણિત: વેક્ટર સ્પેસ અને રૂપાંતરણો - એક વૈશ્વિક પરિપ્રેક્ષ્ય

રેખીય બીજગણિત એ ગણિતની એક પાયાની શાખા છે જે ભૌતિકશાસ્ત્ર, ઇજનેરી, કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાન, અર્થશાસ્ત્ર અને આંકડાશાસ્ત્ર સહિત વિવિધ વિદ્યાશાખાઓમાં સમસ્યાઓ સમજવા અને ઉકેલવા માટે જરૂરી સાધનો અને તકનીકો પૂરી પાડે છે. આ પોસ્ટ રેખીય બીજગણિતમાંના બે મુખ્ય ખ્યાલોની વ્યાપક ઝાંખી આપે છે: વેક્ટર સ્પેસ અને રેખીય રૂપાંતરણો, તેમની વૈશ્વિક સુસંગતતા અને વિવિધ એપ્લિકેશનો પર ભાર મૂકે છે.

વેક્ટર સ્પેસ શું છે?

તેના હાર્દમાં, વેક્ટર સ્પેસ (જેને લીનિયર સ્પેસ પણ કહેવાય છે) એ વસ્તુઓનો સમૂહ છે, જેને વેક્ટર્સ કહેવાય છે, જેને એકસાથે ઉમેરી શકાય છે અને સંખ્યાઓ દ્વારા ગુણાકાર ("સ્કેલ્ડ") કરી શકાય છે, જેને સ્કેલર્સ કહેવાય છે. આ કામગીરીઓએ માળખું અનુમાનિત રીતે વર્તે છે તેની ખાતરી કરવા માટે ચોક્કસ સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોને સંતોષવા આવશ્યક છે.

વેક્ટર સ્પેસના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો

ધારો કે V એ બે વ્યાખ્યાયિત કામગીરીઓ સાથેનો સમૂહ છે: વેક્ટર સરવાળો (u + v) અને સ્કેલર ગુણાકાર (cu), જ્યાં u અને v એ V માં વેક્ટર્સ છે, અને c એ સ્કેલર છે. જો નીચેના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો માન્ય હોય તો V એ વેક્ટર સ્પેસ છે:

• સરવાળા હેઠળ બંધ: V માં બધા u, v માટે, u + v એ V માં છે.
• સ્કેલર ગુણાકાર હેઠળ બંધ: V માં બધા u અને બધા સ્કેલર્સ c માટે, cu એ V માં છે.
• સરવાળાની ક્રમચયતા: V માં બધા u, v માટે, u + v = v + u.
• સરવાળાની જૂથિયતા: V માં બધા u, v, w માટે, (u + v) + w = u + (v + w).
• સરવાળાત્મક ઓળખનું અસ્તિત્વ: V માં એક વેક્ટર 0 અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેમ કે V માં બધા u માટે, u + 0 = u.
• સરવાળાત્મક વ્યસ્તનું અસ્તિત્વ: V માં દરેક u માટે, V માં એક વેક્ટર -u અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેમ કે u + (-u) = 0.
• વેક્ટર સરવાળાના સંદર્ભમાં સ્કેલર ગુણાકારનું વિતરણ: બધા સ્કેલર્સ c અને V માં બધા u, v માટે, c(u + v) = cu + cv.
• સ્કેલર સરવાળાના સંદર્ભમાં સ્કેલર ગુણાકારનું વિતરણ: બધા સ્કેલર્સ c, d અને V માં બધા u માટે, (c + d)u = cu + du.
• સ્કેલર ગુણાકારની જૂથિયતા: બધા સ્કેલર્સ c, d અને V માં બધા u માટે, c(du) = (cd)u.
• ગુણાકારાત્મક ઓળખનું અસ્તિત્વ: V માં બધા u માટે, 1u = u.

વેક્ટર સ્પેસના ઉદાહરણો

વેક્ટર સ્પેસના કેટલાક સામાન્ય ઉદાહરણો અહીં આપ્યા છે:

• Rⁿ: વાસ્તવિક સંખ્યાઓના તમામ n-ટ્યુપલ્સનો સમૂહ, ઘટક મુજબ સરવાળો અને સ્કેલર ગુણાકાર સાથે. ઉદાહરણ તરીકે, R² એ પરિચિત કાર્ટેશિયન પ્લેન છે, અને R³ ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. સ્થિતિઓ અને ગતિને મોડેલિંગ કરવા માટે આનો ઉપયોગ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વ્યાપકપણે થાય છે.
• Cⁿ: જટિલ સંખ્યાઓના તમામ n-ટ્યુપલ્સનો સમૂહ, ઘટક મુજબ સરવાળો અને સ્કેલર ગુણાકાર સાથે. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં તેનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે.
• M_m,n(R): વાસ્તવિક એન્ટ્રીઓ સાથેના તમામ m x n મેટ્રિક્સનો સમૂહ, મેટ્રિક્સ સરવાળો અને સ્કેલર ગુણાકાર સાથે. રેખીય રૂપાંતરણો રજૂ કરવા માટે મેટ્રિક્સ મૂળભૂત છે.
• P_n(R): વધુમાં વધુ n ડિગ્રીના વાસ્તવિક ગુણાંકવાળા તમામ બહુપદીઓનો સમૂહ, બહુપદી સરવાળો અને સ્કેલર ગુણાકાર સાથે. અંદાજ સિદ્ધાંત અને સંખ્યાત્મક વિશ્લેષણમાં ઉપયોગી છે.
• F(S, R): સમૂહ S થી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સુધીના તમામ કાર્યોનો સમૂહ, પોઈન્ટવાઇઝ સરવાળો અને સ્કેલર ગુણાકાર સાથે. સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ અને ડેટા એનાલિસિસમાં વપરાય છે.

સબસ્પેસ

વેક્ટર સ્પેસ V નો સબસ્પેસ એ V નો સબસેટ છે જે V પર વ્યાખ્યાયિત સરવાળો અને સ્કેલર ગુણાકારની સમાન કામગીરી હેઠળ વેક્ટર સ્પેસ પોતે જ છે. V ના સબસેટ W એ સબસ્પેસ છે કે કેમ તે ચકાસવા માટે, તે દર્શાવવા માટે પૂરતું છે કે:

• W ખાલી નથી (મોટે ભાગે શૂન્ય વેક્ટર W માં છે તે દર્શાવીને કરવામાં આવે છે).
• W સરવાળા હેઠળ બંધ છે: જો u અને v એ W માં હોય, તો u + v એ W માં છે.
• W સ્કેલર ગુણાકાર હેઠળ બંધ છે: જો u એ W માં હોય અને c એ સ્કેલર હોય, તો cu એ W માં છે.

રેખીય સ્વતંત્રતા, આધાર અને પરિમાણ

વેક્ટર સ્પેસ V માં વેક્ટરનો સમૂહ {v₁, v₂, ..., v_n} ને રેખીય રીતે સ્વતંત્ર કહેવામાં આવે છે જો સમીકરણ c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_nv_n = 0 નો એકમાત્ર ઉકેલ એ c₁ = c₂ = ... = c_n = 0 છે. નહિંતર, સમૂહ રેખીય રીતે આધારિત છે.

વેક્ટર સ્પેસ V માટેનો આધાર એ વેક્ટરનો રેખીય રીતે સ્વતંત્ર સમૂહ છે જે V ને ફેલાવે છે (એટલે કે, V માં દરેક વેક્ટરને આધાર વેક્ટરના રેખીય સંયોજન તરીકે લખી શકાય છે). વેક્ટર સ્પેસ V નું પરિમાણ એ V માટેના કોઈપણ આધારમાં વેક્ટરની સંખ્યા છે. આ વેક્ટર સ્પેસનું મૂળભૂત લક્ષણ છે.

ઉદાહરણ: R³ માં, પ્રમાણભૂત આધાર {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} છે. R³ નું પરિમાણ 3 છે.

રેખીય રૂપાંતરણો

રેખીય રૂપાંતરણ (અથવા રેખીય નકશો) એ બે વેક્ટર સ્પેસ V અને W વચ્ચેનું એક કાર્ય T: V → W છે જે વેક્ટર સરવાળો અને સ્કેલર ગુણાકારની કામગીરીને સાચવે છે. ઔપચારિક રીતે, T એ નીચેના બે ગુણધર્મોને સંતોષવા આવશ્યક છે:

• T(u + v) = T(u) + T(v) બધા u, v V માં.
• T(cu) = cT(u) બધા u V માં અને બધા સ્કેલર્સ c માટે.

રેખીય રૂપાંતરણોના ઉદાહરણો

• શૂન્ય રૂપાંતરણ: V માં બધા v માટે T(v) = 0.
• ઓળખ રૂપાંતરણ: V માં બધા v માટે T(v) = v.
• સ્કેલિંગ રૂપાંતરણ: V માં બધા v માટે T(v) = cv, જ્યાં c એ સ્કેલર છે.
• R² માં પરિભ્રમણ: ઉદ્ગમ વિશે θ કોણ દ્વારા પરિભ્રમણ એ રેખીય રૂપાંતરણ છે.
• પ્રોજેક્શન: R³ માં વેક્ટરને xy-પ્લેન પર પ્રોજેક્ટ કરવું એ રેખીય રૂપાંતરણ છે.
• વિભેદન (વિભેદક કાર્યોની જગ્યામાં): વ્યુત્પન્ન એ રેખીય રૂપાંતરણ છે.
• સંકલન (સંકલન કરી શકાય તેવા કાર્યોની જગ્યામાં): સંકલન એ રેખીય રૂપાંતરણ છે.

કર્નલ અને રેંજ

રેખીય રૂપાંતરણ T: V → W નું કર્નલ (અથવા નલ સ્પેસ) એ V માંના બધા વેક્ટરનો સમૂહ છે જે W માં શૂન્ય વેક્ટર પર મેપ કરવામાં આવે છે. ઔપચારિક રીતે, ker(T) = {v V માં | T(v) = 0}. કર્નલ એ V નો સબસ્પેસ છે.

રેખીય રૂપાંતરણ T: V → W ની રેંજ (અથવા છબી) એ W માંના તમામ વેક્ટરનો સમૂહ છે જે V માં કેટલાક વેક્ટરની છબી છે. ઔપચારિક રીતે, range(T) = {w W માં | w = T(v) કેટલાક v V માં}. રેંજ એ W નો સબસ્પેસ છે.

રેંક-નલિટી પ્રમેય જણાવે છે કે રેખીય રૂપાંતરણ T: V → W માટે, dim(V) = dim(ker(T)) + dim(range(T)). આ પ્રમેય રેખીય રૂપાંતરણના કર્નલ અને રેંજના પરિમાણો વચ્ચેનો મૂળભૂત સંબંધ પૂરો પાડે છે.

રેખીય રૂપાંતરણોનું મેટ્રિક્સ પ્રતિનિધિત્વ

આપેલ રેખીય રૂપાંતરણ T: V → W અને V અને W માટેના આધારો, અમે T ને મેટ્રિક્સ તરીકે રજૂ કરી શકીએ છીએ. આ અમને મેટ્રિક્સ ગુણાકારનો ઉપયોગ કરીને રેખીય રૂપાંતરણો કરવા દે છે, જે ગણતરીની રીતે કાર્યક્ષમ છે. આ વ્યવહારિક એપ્લિકેશનો માટે નિર્ણાયક છે.

ઉદાહરણ: રેખીય રૂપાંતરણ T: R² → R² નો વિચાર કરો જે T(x, y) = (2x + y, x - 3y) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. પ્રમાણભૂત આધારના સંદર્ભમાં T નું મેટ્રિક્સ પ્રતિનિધિત્વ આ છે:

ઓનલાઈન કોર્સીસ: MIT ઓપનકોર્સવેર (ગિલ્બર્ટ સ્ટ્રેંગનો લીનિયર અલ્જેબ્રા કોર્સ), ખાન એકેડેમી (લીનિયર અલ્જેબ્રા)

સોફ્ટવેર: MATLAB, Python (NumPy, SciPy લાઇબ્રેરીઓ)