Tessellation : Exploration des mathématiques des motifs répétitifs

La tessellation, aussi connue sous le nom de pavage, est le recouvrement d'une surface par une ou plusieurs formes géométriques, appelées tuiles, sans chevauchement ni interstice. D'un point de vue mathématique, c'est un domaine fascinant qui relie la géométrie, l'art et même la physique. Cet article propose une exploration complète des tessellations, couvrant leurs fondements mathématiques, leur contexte historique, leurs applications artistiques et des exemples du monde réel.

Qu'est-ce qu'une tessellation ?

Essentiellement, une tessellation est un motif formé par la répétition d'une forme ou d'un ensemble de formes pour couvrir un plan. Les caractéristiques clés sont :

• Pas d'interstices : Les tuiles doivent s'emboîter parfaitement, ne laissant aucun espace vide entre elles.
• Pas de chevauchements : Les tuiles ne peuvent pas se superposer.
• Recouvrement complet : Les tuiles doivent couvrir toute la surface.

Les tessellations peuvent être classées en fonction des types de formes utilisées et de la manière dont elles sont agencées. Les tessellations simples impliquent une seule forme, tandis que les tessellations complexes utilisent plusieurs formes.

Types de tessellations

Les tessellations peuvent être globalement classées dans les catégories suivantes :

Tessellations régulières

Une tessellation régulière est composée d'un seul type de polygone régulier (un polygone dont tous les côtés et angles sont égaux). Il n'existe que trois polygones réguliers qui peuvent paver le plan :

• Triangles équilatéraux : Ils forment une tessellation très courante et stable. Pensez aux structures de support triangulaires des ponts ou à l'agencement des atomes dans certains réseaux cristallins.
• Carrés : C'est peut-être la tessellation la plus omniprésente, que l'on retrouve sur les carrelages, le papier millimétré et les plans de villes du monde entier. La nature parfaitement orthogonale des carrés les rend idéaux pour les applications pratiques.
• Hexagones réguliers : Présents dans les nids d'abeilles et certaines structures moléculaires, les hexagones offrent une utilisation efficace de l'espace et une intégrité structurelle. Leur symétrie d'ordre six offre des propriétés uniques.

Ces trois-là sont les seules tessellations régulières possibles car l'angle intérieur du polygone doit être un diviseur de 360 degrés pour se joindre à un sommet. Par exemple, un triangle équilatéral a des angles de 60 degrés, et six triangles peuvent se rencontrer en un point (6 * 60 = 360). Un carré a des angles de 90 degrés, et quatre peuvent se rencontrer en un point. Un hexagone a des angles de 120 degrés, et trois peuvent se rencontrer en un point. Un pentagone régulier, avec des angles de 108 degrés, ne peut pas paver le plan car 360 n'est pas divisible par 108.

Tessellations semi-régulières

Les tessellations semi-régulières (aussi appelées tessellations archimédiennes) utilisent deux ou plusieurs polygones réguliers différents. L'agencement des polygones à chaque sommet doit être le même. Il existe huit tessellations semi-régulières possibles :

• Triangle-carré-carré (3.4.4.6)
• Triangle-carré-hexagone (3.6.3.6)
• Triangle-triangle-carré-carré (3.3.4.3.4)
• Triangle-triangle-triangle-carré (3.3.3.4.4)
• Triangle-triangle-triangle-triangle-hexagone (3.3.3.3.6)
• Carré-carré-carré (4.8.8)
• Triangle-dodécagone-dodécagone (4.6.12)
• Triangle-carré-dodécagone (3.12.12)

La notation entre parenthèses représente l'ordre des polygones autour d'un sommet, dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens inverse.

Tessellations irrégulières

Les tessellations irrégulières sont formées par des polygones irréguliers (polygones dont les côtés et les angles ne sont pas égaux). N'importe quel triangle ou quadrilatère (convexe ou concave) peut paver le plan. Cette flexibilité permet une vaste gamme d'applications artistiques et pratiques.

Tessellations apériodiques

Les tessellations apériodiques sont des pavages qui utilisent un ensemble spécifique de tuiles ne pouvant paver le plan que de manière non périodique. Cela signifie que le motif ne se répète jamais exactement. L'exemple le plus célèbre est le pavage de Penrose, découvert par Roger Penrose dans les années 1970. Les pavages de Penrose sont apériodiques et utilisent deux losanges différents. Ces pavages ont des propriétés mathématiques intéressantes et ont été trouvés dans des endroits surprenants, comme les motifs de certains anciens bâtiments islamiques.

Principes mathématiques des tessellations

Comprendre les mathématiques derrière les tessellations implique des concepts de géométrie, y compris les angles, les polygones et la symétrie. Le principe clé est que la somme des angles autour d'un sommet doit être de 360 degrés.

Propriété de la somme des angles

Comme mentionné précédemment, la somme des angles à chaque sommet doit être égale à 360 degrés. Ce principe dicte quels polygones peuvent former des tessellations. Les polygones réguliers doivent avoir des angles intérieurs qui sont des diviseurs de 360.

Symétrie

La symétrie joue un rôle crucial dans les tessellations. Il existe plusieurs types de symétrie qui peuvent être présents dans une tessellation :

• Translation : Le motif peut être déplacé (translaté) le long d'une ligne et conserver son apparence.
• Rotation : Le motif peut être tourné autour d'un point et conserver son apparence.
• Réflexion : Le motif peut être reflété à travers une ligne et conserver son apparence.
• Réflexion glissée : Une combinaison de réflexion et de translation.

Ces symétries sont décrites par ce que l'on appelle les groupes de papier peint. Il existe 17 groupes de papier peint, chacun représentant une combinaison unique de symétries pouvant exister dans un motif répétitif en 2D. Comprendre les groupes de papier peint permet aux mathématiciens et aux artistes de classer et de générer systématiquement différents types de tessellations.

Géométrie euclidienne et non euclidienne

Traditionnellement, les tessellations sont étudiées dans le cadre de la géométrie euclidienne, qui traite des surfaces planes. Cependant, les tessellations peuvent également être explorées dans des géométries non euclidiennes, comme la géométrie hyperbolique. En géométrie hyperbolique, les lignes parallèles divergent et la somme des angles d'un triangle est inférieure à 180 degrés. Cela permet de créer des tessellations avec des polygones qui ne seraient pas possibles dans l'espace euclidien. M.C. Escher a exploré de manière célèbre les tessellations hyperboliques dans ses dernières œuvres, aidé par les connaissances mathématiques de H.S.M. Coxeter.

Importance historique et culturelle

L'utilisation des tessellations remonte aux civilisations anciennes et se retrouve sous diverses formes dans l'art, l'architecture et les motifs décoratifs à travers le monde.

Civilisations anciennes

• Rome antique : Les mosaïques romaines présentent souvent des tessellations complexes utilisant de petites tuiles colorées (tesselles) pour créer des motifs décoratifs et des représentations de scènes. Ces mosaïques ont été retrouvées dans tout l'Empire romain, de l'Italie à l'Afrique du Nord et à la Grande-Bretagne.
• Grèce antique : L'architecture et la poterie grecques incorporent souvent des motifs géométriques et des tessellations. Les méandres, par exemple, sont une forme de tessellation qui apparaît fréquemment dans l'art grec.
• Art islamique : L'art islamique est réputé pour ses motifs géométriques complexes et ses tessellations. L'utilisation des tessellations dans l'art islamique est ancrée dans des croyances religieuses qui soulignent l'infini et l'unité de toutes choses. Les mosquées et les palais du monde islamique présentent des exemples époustouflants de tessellations utilisant diverses formes géométriques. Le palais de l'Alhambra à Grenade, en Espagne, en est un excellent exemple, avec ses mosaïques et ses carrelages complexes aux motifs tessellés variés.

Applications modernes

Les tessellations continuent d'être pertinentes à l'époque moderne, trouvant des applications dans divers domaines :

• Architecture : Les surfaces tessellées sont utilisées dans les façades de bâtiments, les toits et les aménagements intérieurs pour créer des structures visuellement attrayantes et solides. On peut citer l'Eden Project en Cornouailles, au Royaume-Uni, avec ses dômes géodésiques composés de panneaux hexagonaux.
• Infographie : La tessellation est une technique utilisée en infographie pour augmenter le niveau de détail des modèles 3D en subdivisant les polygones en plus petits. Cela permet d'obtenir des surfaces plus lisses et des rendus plus réalistes.
• Design textile : Les tessellations sont utilisées dans le design textile pour créer des motifs répétitifs sur les tissus. Ces motifs peuvent aller de simples dessins géométriques à des motifs complexes et élaborés.
• Emballage : Les tessellations peuvent être utilisées pour emballer efficacement les produits, en minimisant les déchets et en maximisant l'utilisation de l'espace.
• Science : On trouve des formes de tessellation dans la nature, comme les alvéoles hexagonales d'un nid d'abeilles ou les écailles de certains poissons. Comprendre les tessellations peut aider les scientifiques à modéliser et à comprendre ces phénomènes naturels.

Exemples de tessellations dans l'art et la nature

Les tessellations ne sont pas seulement des concepts mathématiques ; elles se trouvent également dans l'art et la nature, fournissant inspiration et applications pratiques.

M.C. Escher

Maurits Cornelis Escher (1898-1972) était un artiste graphique néerlandais connu pour ses gravures sur bois, lithographies et mezzotintes d'inspiration mathématique. L'œuvre d'Escher présente souvent des tessellations, des constructions impossibles et des explorations de l'infini. Il était fasciné par le concept de tessellation et l'a largement utilisé dans son art pour créer des pièces visuellement époustouflantes et intellectuellement stimulantes. Ses œuvres comme \"Reptiles\", \"Ciel et Eau\" et \"Limite circulaire III\" sont des exemples célèbres de tessellations se transformant en différentes formes et explorant les limites de la perception. Son travail a comblé le fossé entre les mathématiques et l'art, rendant les concepts mathématiques accessibles et attrayants pour un public plus large.

Nid d'abeille

Le nid d'abeille est un exemple classique de tessellation naturelle. Les abeilles construisent leurs nids en utilisant des alvéoles hexagonales, qui s'emboîtent parfaitement pour créer une structure solide et efficace. La forme hexagonale maximise la quantité de miel pouvant être stockée tout en minimisant la quantité de cire nécessaire pour construire le rayon. Cette utilisation efficace des ressources témoigne des avantages évolutifs des structures tessellées.

Taches de girafe

Les taches d'une girafe, bien qu'elles ne soient pas des tessellations parfaites, présentent un motif qui ressemble à une tessellation. Les formes irrégulières des taches s'emboîtent de manière à couvrir efficacement le corps de la girafe. Ce motif offre un camouflage, aidant la girafe à se fondre dans son environnement. Bien que les taches varient en taille et en forme, leur agencement présente un motif naturel de type tessellation.

Tessellations fractales

Les tessellations fractales combinent les principes des fractales et des tessellations pour créer des motifs complexes et auto-similaires. Les fractales sont des formes géométriques qui présentent une auto-similarité à différentes échelles. Lorsque les fractales sont utilisées comme tuiles dans une tessellation, le motif résultant peut être infiniment complexe et visuellement époustouflant. Ces types de tessellations se trouvent dans les visualisations mathématiques et l'art généré par ordinateur. Des exemples de tessellations fractales incluent celles basées sur le triangle de Sierpinski ou le flocon de Koch.

Comment créer vos propres tessellations

Créer des tessellations peut être une activité amusante et éducative. Voici quelques techniques simples que vous pouvez utiliser pour créer vos propres tessellations :

Méthode de translation de base

1. Commencez avec un carré : Partez d'un morceau de papier ou de carton carré.
2. Découpez et translatez : Découpez une forme d'un côté du carré. Ensuite, translatez (faites glisser) cette forme sur le côté opposé et attachez-la.
3. Répétez : Répétez le processus sur les deux autres côtés du carré.
4. Tessellez : Vous avez maintenant une tuile qui peut être tessellée. Tracez la tuile à plusieurs reprises sur une feuille de papier pour créer un motif tessellé.

Méthode de rotation

1. Commencez avec une forme : Partez d'un polygone régulier comme un carré ou un triangle équilatéral.
2. Découpez et tournez : Découpez une forme d'un côté du polygone. Ensuite, faites pivoter cette forme autour d'un sommet et attachez-la à un autre côté.
3. Répétez : Répétez le processus si nécessaire.
4. Tessellez : Tracez la tuile à plusieurs reprises pour créer un motif tessellé.

Utilisation de logiciels

Il existe divers logiciels et outils en ligne disponibles qui peuvent vous aider à créer des tessellations. Ces outils vous permettent d'expérimenter avec différentes formes, couleurs et symétries pour créer des motifs complexes et visuellement attrayants. Parmi les options logicielles populaires, on trouve :

• TesselManiac!
• Adobe Illustrator
• Geogebra

L'avenir des tessellations

Les tessellations continuent d'être un domaine de recherche et d'exploration active. De nouveaux types de tessellations sont découverts, et de nouvelles applications sont trouvées dans divers domaines. Parmi les développements futurs potentiels, on peut citer :

• Nouveaux matériaux : Le développement de nouveaux matériaux aux propriétés uniques pourrait conduire à de nouveaux types de structures tessellées avec une résistance, une flexibilité ou une fonctionnalité améliorées.
• Robotique : Des robots tessellés pourraient être conçus pour s'adapter à différents environnements et effectuer diverses tâches. Ces robots pourraient être composés de tuiles modulaires capables de se réorganiser pour changer la forme et la fonction du robot.
• Nanotechnologie : Les tessellations pourraient être utilisées en nanotechnologie pour créer des structures auto-assemblées avec des propriétés spécifiques. Ces structures pourraient être utilisées dans des applications telles que l'administration de médicaments, le stockage d'énergie et la détection.

Conclusion

La tessellation est un domaine riche et fascinant des mathématiques qui relie la géométrie, l'art et la science. Des simples motifs de carrelage aux conceptions complexes des mosaïques islamiques et à l'art innovant de M.C. Escher, les tessellations ont captivé et inspiré les gens pendant des siècles. En comprenant les principes mathématiques derrière les tessellations, nous pouvons apprécier leur beauté et leur fonctionnalité et explorer leurs applications potentielles dans divers domaines. Que vous soyez mathématicien, artiste ou simplement curieux du monde qui vous entoure, les tessellations offrent un sujet unique et enrichissant à explorer.

Alors, la prochaine fois que vous verrez un motif répétitif, prenez un moment pour apprécier l'élégance mathématique et l'importance culturelle des tessellations !