الگوریتم‌های پیمایش درخت: جستجوی عمق اول (DFS) در مقابل جستجوی سطح اول (BFS)

در علوم کامپیوتر، پیمایش درخت (که به عنوان جستجوی درخت یا راه رفتن در درخت نیز شناخته می‌شود) فرآیند بازدید (بررسی و/یا به‌روزرسانی) هر گره در یک ساختار داده درختی، دقیقاً یک بار است. درختان ساختارهای داده بنیادی هستند که به طور گسترده در کاربردهای مختلفی استفاده می‌شوند، از نمایش داده‌های سلسله‌مراتبی (مانند سیستم‌های فایل یا ساختارهای سازمانی) تا تسهیل الگوریتم‌های جستجو و مرتب‌سازی کارآمد. درک چگونگی پیمایش یک درخت برای کار مؤثر با آن‌ها بسیار حیاتی است.

دو رویکرد اصلی برای پیمایش درخت، جستجوی عمق اول (DFS) و جستجوی سطح اول (BFS) هستند. هر الگوریتم مزایای متمایزی را ارائه می‌دهد و برای انواع مختلفی از مسائل مناسب است. این راهنمای جامع هر دو DFS و BFS را به تفصیل بررسی خواهد کرد و اصول، پیاده‌سازی، موارد استفاده و ویژگی‌های عملکردی آن‌ها را پوشش می‌دهد.

درک ساختارهای داده درخت

قبل از ورود به الگوریتم‌های پیمایش، به طور خلاصه اصول اولیه ساختارهای داده درخت را مرور کنیم.

درخت چیست؟

درخت یک ساختار داده سلسله‌مراتبی است که از گره‌هایی تشکیل شده که توسط یال‌ها به هم متصل شده‌اند. دارای یک گره ریشه (بالاترین گره) است و هر گره می‌تواند صفر یا بیشتر گره فرزند داشته باشد. گره‌هایی که فرزندی ندارند، گره‌های برگ نامیده می‌شوند. ویژگی‌های کلیدی یک درخت عبارتند از:

\n
• ریشه: بالاترین گره در درخت.
\n
• گره: یک عنصر در درخت، حاوی داده و احتمالاً ارجاعاتی به گره‌های فرزند.
\n
• یال: اتصال بین دو گره.
\n
• والد: گره‌ای که یک یا چند گره فرزند دارد.
\n
• فرزند: گره‌ای که مستقیماً به گره دیگری (والد خود) در درخت متصل است.
\n
• برگ: گره‌ای بدون فرزند.
\n
• زیردرخت: درختی که توسط یک گره و تمام نوادگان آن تشکیل شده است.
\n
• عمق یک گره: تعداد یال‌ها از ریشه تا آن گره.
\n
• ارتفاع یک درخت: حداکثر عمق هر گره در درخت.
\n

انواع درختان

چندین نوع مختلف از درختان وجود دارد که هر کدام ویژگی‌ها و موارد استفاده خاص خود را دارند. برخی از انواع رایج عبارتند از:

\n
• درخت دودویی (Binary Tree): درختی که هر گره حداکثر دو فرزند دارد که معمولاً به عنوان فرزند چپ و فرزند راست شناخته می‌شوند.
\n
• درخت جستجوی دودویی (BST): یک درخت دودویی که مقدار هر گره بزرگتر یا مساوی با مقدار تمام گره‌های زیردرخت چپ آن و کوچکتر یا مساوی با مقدار تمام گره‌های زیردرخت راست آن است. این ویژگی امکان جستجوی کارآمد را فراهم می‌کند.
\n
• درخت AVL: یک درخت جستجوی دودویی خودبالانس‌شونده که ساختار متعادلی را برای اطمینان از پیچیدگی زمانی لگاریتمی برای عملیات جستجو، درج و حذف حفظ می‌کند.
\n
• درخت قرمز و سیاه (Red-Black Tree): یک درخت جستجوی دودویی خودبالانس‌شونده دیگر که از ویژگی‌های رنگی برای حفظ تعادل استفاده می‌کند.
\n
• درخت N-تایی (N-ary Tree) (یا درخت K-تایی): درختی که هر گره می‌تواند حداکثر N فرزند داشته باشد.
\n

جستجوی عمق اول (DFS)

جستجوی عمق اول (DFS) یک الگوریتم پیمایش درخت است که تا آنجا که ممکن است در طول هر شاخه پیشروی می‌کند و سپس بازگشت می‌کند. این الگوریتم قبل از بررسی خواهر و برادرها، اولویت را به عمیق شدن در درخت می‌دهد. DFS می‌تواند به صورت بازگشتی یا تکراری با استفاده از پشته پیاده‌سازی شود.

الگوریتم‌های DFS

سه نوع رایج از پیمایش‌های DFS وجود دارد:

\n
• پیمایش میان‌ترتیب (Inorder Traversal) (چپ-ریشه-راست): از زیردرخت چپ بازدید می‌کند، سپس گره ریشه و در نهایت زیردرخت راست را. این روش معمولاً برای درختان جستجوی دودویی استفاده می‌شود زیرا گره‌ها را به ترتیب مرتب شده بازدید می‌کند.
\n
• پیمایش پیش‌ترتیب (Preorder Traversal) (ریشه-چپ-راست): از گره ریشه بازدید می‌کند، سپس زیردرخت چپ و در نهایت زیردرخت راست را. این روش اغلب برای ایجاد یک کپی از درخت استفاده می‌شود.
\n
• پیمایش پس‌ترتیب (Postorder Traversal) (چپ-راست-ریشه): از زیردرخت چپ بازدید می‌کند، سپس زیردرخت راست و در نهایت گره ریشه را. این روش معمولاً برای حذف یک درخت استفاده می‌شود.
\n

نمونه‌های پیاده‌سازی (پایتون)

در اینجا نمونه‌های پایتون که هر نوع پیمایش DFS را نشان می‌دهند، آورده شده است:

            \nclass Node:\n    def __init__(self, data):\n        self.data = data\n        self.left = None\n        self.right = None\n\n# Inorder Traversal (Left-Root-Right)\ndef inorder_traversal(root):\n    if root:\n        inorder_traversal(root.left)\n        print(root.data, end=" ")\n        inorder_traversal(root.right)\n\n# Preorder Traversal (Root-Left-Right)\ndef preorder_traversal(root):\n    if root:\n        print(root.data, end=" ")\n        preorder_traversal(root.left)\n        preorder_traversal(root.right)\n\n# Postorder Traversal (Left-Right-Root)\ndef postorder_traversal(root):\n    if root:\n        postorder_traversal(root.left)\n        postorder_traversal(root.right)\n        print(root.data, end=" ")\n\n# Example Usage\nroot = Node(1)\nroot.left = Node(2)\nroot.right = Node(3)\nroot.left.left = Node(4)\nroot.left.right = Node(5)\n\nprint("Inorder traversal:")\ninorder_traversal(root)  # Output: 4 2 5 1 3\nprint("\\nPreorder traversal:")\npreorder_traversal(root) # Output: 1 2 4 5 3\nprint("\\nPostorder traversal:")\npostorder_traversal(root) # Output: 4 5 2 3 1\n
            

              
                Copy
              
            
          

DFS تکراری (با پشته)

DFS همچنین می‌تواند به صورت تکراری با استفاده از پشته پیاده‌سازی شود. در اینجا نمونه‌ای از پیمایش پیش‌ترتیب تکراری آورده شده است:

            \ndef iterative_preorder(root):\n    if root is None:\n        return\n\n    stack = [root]\n\n    while stack:\n        node = stack.pop()\n        print(node.data, end=" ")\n\n        # Push right child first so left child is processed first\n        if node.right:\n            stack.append(node.right)\n        if node.left:\n            stack.append(node.left)\n\n#Example Usage (same tree as before)\nprint("\\nIterative Preorder traversal:")\niterative_preorder(root)\n
            

              
                Copy
              
            
          

موارد استفاده DFS

\n
• یافتن مسیر بین دو گره: DFS می‌تواند به طور کارآمد مسیری را در یک گراف یا درخت پیدا کند. مسیردهی بسته‌های داده در یک شبکه (که به عنوان گراف نمایش داده می‌شود) را در نظر بگیرید. DFS می‌تواند مسیری بین دو سرور پیدا کند، حتی اگر چندین مسیر وجود داشته باشد.
\n
• مرتب‌سازی توپولوژیکی: DFS در مرتب‌سازی توپولوژیکی گراف‌های جهت‌دار بدون دور (DAGs) استفاده می‌شود. زمان‌بندی وظایف را تصور کنید که برخی وظایف به دیگران وابسته هستند. مرتب‌سازی توپولوژیکی وظایف را به ترتیبی که این وابستگی‌ها را رعایت کند، سازماندهی می‌کند.
\n
• شناسایی دور در یک گراف: DFS می‌تواند دورها را در یک گراف شناسایی کند. شناسایی دور در تخصیص منابع مهم است. اگر فرآیند A منتظر فرآیند B باشد و فرآیند B منتظر فرآیند A باشد، می‌تواند باعث بن‌بست شود.
\n
• حل مازها: DFS می‌تواند برای یافتن مسیری از طریق یک ماز استفاده شود.
\n
• تجزیه و ارزیابی عبارات: کامپایلرها از رویکردهای مبتنی بر DFS برای تجزیه و ارزیابی عبارات ریاضی استفاده می‌کنند.
\n

مزایا و معایب DFS

مزایا:

\n
• ساده برای پیاده‌سازی: پیاده‌سازی بازگشتی اغلب بسیار مختصر و آسان برای درک است.
\n
• کارآمد از نظر حافظه برای درختان خاص: DFS برای درختان با عمق زیاد به حافظه کمتری نسبت به BFS نیاز دارد زیرا فقط باید گره‌های مسیر فعلی را ذخیره کند.
\n
• می‌تواند راه‌حل‌ها را به سرعت پیدا کند: اگر راه‌حل مورد نظر عمیق در درخت باشد، DFS می‌تواند آن را سریع‌تر از BFS پیدا کند.
\n

معایب:

\n
• تضمینی برای یافتن کوتاه‌ترین مسیر نیست: DFS ممکن است مسیری را پیدا کند، اما ممکن است کوتاه‌ترین مسیر نباشد.
\n
• پتانسیل برای حلقه‌های بی‌نهایت: اگر درخت به دقت ساختاردهی نشده باشد (مثلاً حاوی دور باشد)، DFS می‌تواند در یک حلقه بی‌نهایت گیر کند.
\n
• سرریز پشته (Stack Overflow): پیاده‌سازی بازگشتی می‌تواند منجر به خطاهای سرریز پشته برای درختان بسیار عمیق شود.
\n

جستجوی سطح اول (BFS)

جستجوی سطح اول (BFS) یک الگوریتم پیمایش درخت است که تمام گره‌های همسایه در سطح فعلی را قبل از رفتن به گره‌های سطح بعدی بررسی می‌کند. این الگوریتم درخت را سطح به سطح، از ریشه شروع می‌کند. BFS معمولاً به صورت تکراری با استفاده از صف پیاده‌سازی می‌شود.

الگوریتم BFS

\n
1. گره ریشه را به صف اضافه کنید.
\n
2. تا زمانی که صف خالی نیست:
\n
\n
1. یک گره را از صف خارج کنید.
\n
2. از گره بازدید کنید (مثلاً مقدار آن را چاپ کنید).
\n
3. تمام فرزندان گره را به صف اضافه کنید.
\n
\n

نمونه پیاده‌سازی (پایتون)

            \nfrom collections import deque\n\ndef bfs_traversal(root):\n    if root is None:\n        return\n\n    queue = deque([root])\n\n    while queue:\n        node = queue.popleft()\n        print(node.data, end=" ")\n\n        if node.left:\n            queue.append(node.left)\n        if node.right:\n            queue.append(node.right)\n\n#Example Usage (same tree as before)\nprint("BFS traversal:")\nbfs_traversal(root) # Output: 1 2 3 4 5\n
            

              
                Copy
              
            
          

موارد استفاده BFS

\n
• یافتن کوتاه‌ترین مسیر: BFS تضمین می‌کند که کوتاه‌ترین مسیر بین دو گره در یک گراف بدون وزن را پیدا کند. سایت‌های شبکه‌های اجتماعی را تصور کنید. BFS می‌تواند کوتاه‌ترین ارتباط بین دو کاربر را پیدا کند.
\n
• پیمایش گراف: BFS می‌تواند برای پیمایش یک گراف استفاده شود.
\n
• خزیدن وب (Web crawling): موتورهای جستجو از BFS برای خزیدن وب و فهرست‌بندی صفحات استفاده می‌کنند.
\n
• یافتن نزدیک‌ترین همسایه‌ها: در نقشه‌برداری جغرافیایی، BFS می‌تواند نزدیک‌ترین رستوران‌ها، پمپ بنزین‌ها یا بیمارستان‌ها را به یک مکان مشخص پیدا کند.
\n
• الگوریتم پر کردن سیلابی (Flood fill): در پردازش تصویر، BFS اساس الگوریتم‌های پر کردن سیلابی (مانند ابزار "سطل رنگ") را تشکیل می‌دهد.
\n

مزایا و معایب BFS

مزایا:

\n
• تضمین یافتن کوتاه‌ترین مسیر: BFS همیشه کوتاه‌ترین مسیر را در یک گراف بدون وزن پیدا می‌کند.
\n
• مناسب برای یافتن نزدیک‌ترین گره‌ها: BFS برای یافتن گره‌هایی که به گره شروع نزدیک هستند، کارآمد است.
\n
• جلوگیری از حلقه‌های بی‌نهایت: از آنجا که BFS سطح به سطح بررسی می‌کند، حتی در گراف‌های دارای دور نیز از گیر افتادن در حلقه‌های بی‌نهایت جلوگیری می‌کند.
\n

معایب:

\n
• حافظه بر: BFS می‌تواند به حافظه زیادی نیاز داشته باشد، به خصوص برای درختان پهن، زیرا باید تمام گره‌های سطح فعلی را در صف ذخیره کند.
\n
• می‌تواند کندتر از DFS باشد: اگر راه‌حل مورد نظر عمیق در درخت باشد، BFS می‌تواند کندتر از DFS باشد زیرا تمام گره‌های هر سطح را قبل از عمیق‌تر شدن بررسی می‌کند.
\n

مقایسه DFS و BFS

در اینجا جدولی خلاصه از تفاوت‌های کلیدی بین DFS و BFS آورده شده است:

انتخاب بین DFS و BFS

انتخاب بین DFS و BFS به مسئله خاصی که می‌خواهید حل کنید و ویژگی‌های درخت یا گرافی که با آن کار می‌کنید بستگی دارد. در اینجا برخی دستورالعمل‌ها برای کمک به انتخاب شما آورده شده است:

\n
• از DFS زمانی استفاده کنید که:\n
  \n
  • درخت بسیار عمیق است و شما گمان می‌کنید راه‌حل در عمق آن قرار دارد.
  \n
  • مصرف حافظه یک نگرانی اصلی است و درخت بیش از حد پهن نیست.
  \n
  • نیاز به شناسایی دور در یک گراف دارید.
  \n
  \n
\n
• از BFS زمانی استفاده کنید که:\n
  \n
  • نیاز به یافتن کوتاه‌ترین مسیر در یک گراف بدون وزن دارید.
  \n
  • نیاز به یافتن نزدیک‌ترین گره‌ها به یک گره شروع دارید.
  \n
  • حافظه یک محدودیت اصلی نیست و درخت پهن است.
  \n
  \n
\n

فراتر از درختان دودویی: DFS و BFS در گراف‌ها

در حالی که ما عمدتاً DFS و BFS را در زمینه درختان بحث کردیم، این الگوریتم‌ها به همان اندازه برای گراف‌ها نیز قابل استفاده هستند، که ساختارهای داده‌ای کلی‌تر هستند و گره‌ها می‌توانند اتصالات دلخواه داشته باشند. اصول اصلی یکسان باقی می‌مانند، اما گراف‌ها ممکن است دورهایی را معرفی کنند که برای جلوگیری از حلقه‌های بی‌نهایت نیاز به توجه بیشتری دارد.

هنگام اعمال DFS و BFS بر روی گراف‌ها، معمول است که یک مجموعه یا آرایه "بازدید شده" را حفظ کنید تا گره‌هایی را که قبلاً بررسی شده‌اند، ردیابی کنید. این کار از بازدید مجدد الگوریتم از گره‌ها و گیر افتادن در دورها جلوگیری می‌کند.

نتیجه‌گیری

جستجوی عمق اول (DFS) و جستجوی سطح اول (BFS) الگوریتم‌های بنیادی پیمایش درخت و گراف با ویژگی‌ها و موارد استفاده متمایز هستند. درک اصول، پیاده‌سازی و مبادلات عملکردی آن‌ها برای هر دانشمند کامپیوتر یا مهندس نرم‌افزار ضروری است. با در نظر گرفتن دقیق مسئله خاص در دست، می‌توانید الگوریتم مناسب را برای حل کارآمد آن انتخاب کنید. در حالی که DFS در کارایی حافظه و بررسی شاخه‌های عمیق برتری دارد، BFS یافتن کوتاه‌ترین مسیر را تضمین می‌کند و از حلقه‌های بی‌نهایت جلوگیری می‌کند، که درک تفاوت‌های بین آن‌ها را بسیار مهم می‌سازد. تسلط بر این الگوریتم‌ها مهارت‌های حل مسئله شما را افزایش می‌دهد و به شما امکان می‌دهد با اطمینان خاطر به چالش‌های پیچیده ساختار داده بپردازید.