جبر خطی: فضاهای برداری و تبدیلات - یک چشم‌انداز جهانی

جبر خطی شاخه‌ای بنیادین از ریاضیات است که ابزارها و تکنیک‌های لازم برای درک و حل مسائل در طیف وسیعی از رشته‌ها، از جمله فیزیک، مهندسی، علوم کامپیوتر، اقتصاد و آمار را فراهم می‌کند. این پست مروری جامع بر دو مفهوم اصلی در جبر خطی ارائه می‌دهد: فضاهای برداری و تبدیلات خطی، با تأکید بر ارتباط جهانی و کاربردهای متنوع آن‌ها.

فضاهای برداری چه هستند؟

در قلب خود، یک فضای برداری (که فضای خطی نیز نامیده می‌شود) مجموعه‌ای از اشیاء به نام بردار است که می‌توان آن‌ها را با هم جمع کرد و در اعداد، که اسکالر نامیده می‌شوند، ضرب ("مقیاس‌بندی") کرد. این عملیات باید اصول موضوعه خاصی را برآورده کنند تا اطمینان حاصل شود که ساختار به طور قابل پیش‌بینی رفتار می‌کند.

اصول موضوعه یک فضای برداری

فرض کنید V مجموعه‌ای با دو عمل تعریف شده باشد: جمع برداری (u + v) و ضرب اسکالر (cu)، که در آن u و v بردارهایی در V و c یک اسکالر است. V یک فضای برداری است اگر اصول موضوعه زیر برقرار باشند:

• بسته بودن نسبت به جمع: برای تمام u، v در V، u + v در V است.
• بسته بودن نسبت به ضرب اسکالر: برای تمام u در V و تمام اسکالرهای c، cu در V است.
• جابجایی در جمع: برای تمام u، v در V، u + v = v + u.
• شرکت‌پذیری در جمع: برای تمام u، v، w در V، (u + v) + w = u + (v + w).
• وجود عضو خنثی در جمع: یک بردار 0 در V وجود دارد به طوری که برای تمام u در V، u + 0 = u.
• وجود عضو معکوس در جمع: برای هر u در V، یک بردار -u در V وجود دارد به طوری که u + (-u) = 0.
• توزیع‌پذیری ضرب اسکالر نسبت به جمع برداری: برای تمام اسکالر c و تمام u، v در V، c(u + v) = cu + cv.
• توزیع‌پذیری ضرب اسکالر نسبت به جمع اسکالرها: برای تمام اسکالرهای c، d و تمام u در V، (c + d)u = cu + du.
• شرکت‌پذیری در ضرب اسکالر: برای تمام اسکالرهای c، d و تمام u در V، c(du) = (cd)u.
• وجود عضو خنثی در ضرب: برای تمام u در V، 1u = u.

مثال‌هایی از فضاهای برداری

در اینجا چند مثال رایج از فضاهای برداری آورده شده است:

• Rⁿ: مجموعه تمام n-تایی‌های اعداد حقیقی، با جمع مؤلفه‌ای و ضرب اسکالر. به عنوان مثال، R² صفحه دکارتی آشنا است و R³ فضای سه‌بعدی را نشان می‌دهد. این فضا به طور گسترده در فیزیک برای مدل‌سازی موقعیت‌ها و سرعت‌ها استفاده می‌شود.
• Cⁿ: مجموعه تمام n-تایی‌های اعداد مختلط، با جمع مؤلفه‌ای و ضرب اسکالر. به طور گسترده در مکانیک کوانتومی استفاده می‌شود.
• M_m,n(R): مجموعه تمام ماتریس‌های m x n با درایه‌های حقیقی، با جمع ماتریسی و ضرب اسکالر. ماتریس‌ها برای نمایش تبدیلات خطی اساسی هستند.
• P_n(R): مجموعه تمام چندجمله‌ای‌ها با ضرایب حقیقی و درجه حداکثر n، با جمع چندجمله‌ای و ضرب اسکالر. در نظریه تقریب و تحلیل عددی مفید است.
• F(S, R): مجموعه تمام توابع از یک مجموعه S به اعداد حقیقی، با جمع نقطه‌ای و ضرب اسکالر. در پردازش سیگنال و تحلیل داده‌ها استفاده می‌شود.

زیرفضاها

یک زیرفضا از یک فضای برداری V زیرمجموعه‌ای از V است که خود تحت همان عملیات جمع و ضرب اسکالر تعریف شده بر روی V، یک فضای برداری است. برای تأیید اینکه زیرمجموعه W از V یک زیرفضا است، کافی است نشان دهیم که:

• W ناتهی است (اغلب با نشان دادن اینکه بردار صفر در W قرار دارد انجام می‌شود).
• W نسبت به جمع بسته است: اگر u و v در W باشند، آنگاه u + v در W است.
• W نسبت به ضرب اسکالر بسته است: اگر u در W و c یک اسکالر باشد، آنگاه cu در W است.

استقلال خطی، پایه و بعد

مجموعه‌ای از بردارها {v₁, v₂, ..., v_n} در یک فضای برداری V را مستقل خطی می‌نامند اگر تنها جواب معادله c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_nv_n = 0 جواب c₁ = c₂ = ... = c_n = 0 باشد. در غیر این صورت، مجموعه وابسته خطی است.

یک پایه برای یک فضای برداری V مجموعه‌ای از بردارهای مستقل خطی است که V را تولید (span) می‌کند (یعنی هر بردار در V را می‌توان به عنوان یک ترکیب خطی از بردارهای پایه نوشت). بعد یک فضای برداری V تعداد بردارها در هر پایه‌ای برای V است. این یک ویژگی بنیادی فضای برداری است.

مثال: در R³، پایه استاندارد {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} است. بعد R³ برابر 3 است.

تبدیلات خطی

یک تبدیل خطی (یا نگاشت خطی) تابعی T: V → W بین دو فضای برداری V و W است که عملیات جمع برداری و ضرب اسکالر را حفظ می‌کند. به طور رسمی، T باید دو خاصیت زیر را برآورده کند:

• T(u + v) = T(u) + T(v) برای تمام u، v در V.
• T(cu) = cT(u) برای تمام u در V و تمام اسکالرهای c.

مثال‌هایی از تبدیلات خطی

• تبدیل صفر: T(v) = 0 برای تمام v در V.
• تبدیل همانی: T(v) = v برای تمام v در V.
• تبدیل مقیاس‌گذاری: T(v) = cv برای تمام v در V، که c یک اسکالر است.
• دوران در R²: دوران به اندازه زاویه θ حول مبدأ یک تبدیل خطی است.
• تصویر: تصویر کردن یک بردار در R³ بر روی صفحه xy یک تبدیل خطی است.
• دیفرانسیل‌گیری (در فضای توابع مشتق‌پذیر): مشتق یک تبدیل خطی است.
• انتگرال‌گیری (در فضای توابع انتگرال‌پذیر): انتگرال یک تبدیل خطی است.

هسته و برد

هسته (یا فضای پوچ) یک تبدیل خطی T: V → W مجموعه تمام بردارهایی در V است که به بردار صفر در W نگاشت می‌شوند. به طور رسمی، ker(T) = {v in V | T(v) = 0}. هسته یک زیرفضا از V است.

برد (یا تصویر) یک تبدیل خطی T: V → W مجموعه تمام بردارهایی در W است که تصویر برداری در V هستند. به طور رسمی، range(T) = {w in W | w = T(v) for some v in V}. برد یک زیرفضا از W است.

قضیه رتبه-پوچی بیان می‌کند که برای یک تبدیل خطی T: V → W، dim(V) = dim(ker(T)) + dim(range(T)). این قضیه یک رابطه بنیادی بین ابعاد هسته و برد یک تبدیل خطی فراهم می‌کند.

نمایش ماتریسی تبدیلات خطی

با داشتن یک تبدیل خطی T: V → W و پایه‌هایی برای V و W، می‌توانیم T را به صورت یک ماتریس نمایش دهیم. این به ما امکان می‌دهد تا تبدیلات خطی را با استفاده از ضرب ماتریسی انجام دهیم که از نظر محاسباتی کارآمد است. این برای کاربردهای عملی بسیار مهم است.

مثال: تبدیل خطی T: R² → R² تعریف شده با T(x, y) = (2x + y, x - 3y) را در نظر بگیرید. نمایش ماتریسی T نسبت به پایه استاندارد به صورت زیر است:

دوره‌های آنلاین: MIT OpenCourseWare (دوره جبر خطی گیلبرت استرنگ)، آکادمی خان (جبر خطی)

نرم‌افزار: MATLAB، پایتون (کتابخانه‌های NumPy، SciPy)