Tessellatsioon: korduvate mustrite matemaatika avastamine

Tessellatsioon, tuntud ka kui sillutamine või parkettimine, on pinna katmine ühe või mitme geomeetrilise kujundiga, mida nimetatakse plaatideks, ilma kattumiste ja tühimiketa. Matemaatiliselt on see põnev valdkond, mis ühendab geomeetriat, kunsti ja isegi füüsikat. See artikkel pakub põhjaliku ülevaate tessellatsioonidest, käsitledes nende matemaatilisi aluseid, ajaloolist konteksti, kunstilisi rakendusi ja reaalseid näiteid.

Mis on tessellatsioon?

Oma olemuselt on tessellatsioon muster, mis moodustub ühe või mitme kujundi kordamisest tasapinna katmiseks. Peamised omadused on:

• Tühimiketa: Plaadid peavad sobima täiuslikult kokku, jätmata nende vahele tühje kohti.
• Kattumisteta: Plaadid ei tohi üksteist katta.
• Täielik katvus: Plaadid peavad katma kogu pinna.

Tessellatsioone saab klassifitseerida kasutatavate kujundite tüüpide ja nende paigutuse viisi alusel. Lihtsad tessellatsioonid hõlmavad ühte kujundit, samas kui keerukad tessellatsioonid kasutavad mitut kujundit.

Tessellatsioonide tüübid

Tessellatsioonid võib laias laastus jagada järgmistesse kategooriatesse:

Regulaarsed tessellatsioonid

Regulaarne tessellatsioon koosneb ainult ühte tüüpi korrapärasest hulknurgast (hulknurk, mille kõik küljed ja nurgad on võrdsed). On ainult kolm korrapärast hulknurka, millega saab tasapinda tesselleerida:

• Võrdkülgsed kolmnurgad: Need moodustavad väga levinud ja stabiilse tessellatsiooni. Mõelge sildade kolmnurksetele tugistruktuuridele või aatomite paigutusele mõnedes kristallvõredes.
• Ruudud: Võib-olla kõige üldlevinum tessellatsioon, mida näeb põrandaplaatidel, ruudulisel paberil ja linnade tänavavõrkudes üle maailma. Ruutude täiuslikult ristkülikukujuline olemus muudab need ideaalseks praktilisteks rakendusteks.
• Korrapärased kuusnurgad: Leitud mesilastarudes ja mõnedes molekulaarstruktuurides, pakuvad kuusnurgad tõhusat ruumikasutust ja struktuurilist terviklikkust. Nende kuuekordne sümmeetria pakub unikaalseid omadusi.

Need kolm on ainsad võimalikud regulaarsed tessellatsioonid, sest hulknurga sisenurk peab olema 360 kraadi tegur, et tipus kokku saada. Näiteks võrdkülgse kolmnurga nurgad on 60 kraadi ja kuus kolmnurka saavad ühes punktis kokku (6 * 60 = 360). Ruudul on 90-kraadised nurgad ja neli saavad ühes punktis kokku. Kuusnurgal on 120-kraadised nurgad ja kolm saavad ühes punktis kokku. Korrapärane viisnurk, mille nurgad on 108 kraadi, ei saa tesselleerida, sest 360 ei jagu 108-ga.

Poolregulaarsed tessellatsioonid

Poolregulaarsed tessellatsioonid (nimetatakse ka Archimedese tessellatsioonideks) kasutavad kahte või enamat erinevat korrapärast hulknurka. Hulknurkade paigutus igas tipus peab olema sama. On kaheksa võimalikku poolregulaarset tessellatsiooni:

• Kolmnurk-ruut-ruut (3.4.4.6)
• Kolmnurk-ruut-kuusnurk (3.6.3.6)
• Kolmnurk-kolmnurk-ruut-ruut (3.3.4.3.4)
• Kolmnurk-kolmnurk-kolmnurk-ruut (3.3.3.4.4)
• Kolmnurk-kolmnurk-kolmnurk-kolmnurk-kuusnurk (3.3.3.3.6)
• Ruut-ruut-ruut (4.8.8)
• Kolmnurk-kaksteistnurk-kaksteistnurk (4.6.12)
• Kolmnurk-ruut-kaksteistnurk (3.12.12)

Sulgudes olev tähistus esindab hulknurkade järjekorda tipu ümber, liikudes päri- või vastupäeva.

Ebaregulaarsed tessellatsioonid

Ebaregulaarsed tessellatsioonid moodustatakse ebakorrapärastest hulknurkadest (hulknurgad, mille küljed ja nurgad ei ole võrdsed). Iga kolmnurk või nelinurk (kumer või nõgus) saab tasapinda tesselleerida. See paindlikkus võimaldab laia valikut kunstilisi ja praktilisi rakendusi.

Aperioodilised tessellatsioonid

Aperioodilised tessellatsioonid on sillutised, mis kasutavad kindlat plaatide komplekti, millega saab tasapinda sillutada ainult mitteperioodiliselt. See tähendab, et muster ei kordu kunagi täpselt. Kõige kuulsam näide on Penrose'i sillutis, mille avastas Roger Penrose 1970. aastatel. Penrose'i sillutised on aperioodilised, kasutades kahte erinevat rombi. Nendel sillutistel on huvitavad matemaatilised omadused ja neid on leitud üllatavatest kohtadest, näiteks mõnede iidsete islamiehitiste mustritest.

Tessellatsioonide matemaatilised põhimõtted

Tessellatsioonide taga oleva matemaatika mõistmine hõlmab geomeetria mõisteid, sealhulgas nurki, hulknurki ja sümmeetriat. Peamine põhimõte on, et tipu ümber olevate nurkade summa peab olema 360 kraadi.

Nurkade summa omadus

Nagu varem mainitud, peab nurkade summa igas tipus olema 360 kraadi. See põhimõte määrab, millised hulknurgad saavad moodustada tessellatsioone. Korrapärastel hulknurkadel peavad olema sisenurgad, mis on 360 tegurid.

Sümmeetria

Sümmeetria mängib tessellatsioonides otsustavat rolli. Tessellatsioonis võib esineda mitut tüüpi sümmeetriat:

• Translatsioon: Mustrit saab nihutada (transleerida) piki joont ja see näeb ikka samasugune välja.
• Rotatsioon: Mustrit saab pöörata ümber punkti ja see näeb ikka samasugune välja.
• Peegeldus: Mustrit saab peegeldada üle joone ja see näeb ikka samasugune välja.
• Liugpeegeldus: Peegelduse ja translatsiooni kombinatsioon.

Neid sümmeetriaid kirjeldatakse nn tapeedirühmade abil. On 17 tapeedirühma, millest igaüks esindab unikaalset sümmeetriate kombinatsiooni, mis võib esineda 2D korduvas mustris. Tapeedirühmade mõistmine võimaldab matemaatikutel ja kunstnikel süstemaatiliselt klassifitseerida ja genereerida erinevaid tessellatsioonitüüpe.

Eukleidiline ja mitteeukleidiline geomeetria

Traditsiooniliselt uuritakse tessellatsioone Eukleidilise geomeetria raames, mis tegeleb lamedate pindadega. Siiski saab tessellatsioone uurida ka mitteeukleidilistes geomeetriates, näiteks hüperboolses geomeetrias. Hüperboolses geomeetrias paralleelsed jooned lahknevad ja kolmnurga nurkade summa on alla 180 kraadi. See võimaldab luua tessellatsioone hulknurkadega, mis Eukleidilises ruumis poleks võimalikud. M.C. Escher uuris kuulsalt hüperboolseid tessellatsioone oma hilisemates töödes, saades abi H.S.M. Coxteri matemaatilistest teadmistest.

Ajalooline ja kultuuriline tähtsus

Tessellatsioonide kasutamine ulatub tagasi iidsetesse tsivilisatsioonidesse ja neid võib leida erinevates kunstivormides, arhitektuuris ja dekoratiivsetes mustrites üle kogu maailma.

Iidsed tsivilisatsioonid

• Vana-Rooma: Rooma mosaiigid sisaldavad sageli keerukaid tessellatsioone, kasutades väikeseid värvilisi plaate (tesserae), et luua dekoratiivseid mustreid ja stseenide kujutisi. Neid mosaiike on leitud kogu Rooma impeeriumis, Itaaliast Põhja-Aafrika ja Britanniani.
• Vana-Kreeka: Kreeka arhitektuur ja keraamika sisaldavad sageli geomeetrilisi mustreid ja tessellatsioone. Näiteks meandrimustrid on tessellatsiooni vorm, mis esineb sageli Kreeka kunstis.
• Islami kunst: Islami kunst on tuntud oma keerukate geomeetriliste mustrite ja tessellatsioonide poolest. Tessellatsioonide kasutamine islami kunstis on juurdunud usulistest veendumustest, mis rõhutavad lõpmatust ja kõige ühtsust. Mošeed ja paleed üle islamimaailma demonstreerivad vapustavaid näiteid tessellatsioonidest, kasutades erinevaid geomeetrilisi kujundeid. Alhambra palee Granadas, Hispaanias, on suurepärane näide, mis sisaldab keerukaid mosaiike ja plaaditöid mitmesuguste tesselleeritud mustritega.

Kaasaegsed rakendused

Tessellatsioonid on jätkuvalt asjakohased ka tänapäeval, leides rakendusi erinevates valdkondades:

• Arhitektuur: Tesselleeritud pindu kasutatakse hoonete fassaadides, katustes ja sisekujunduses, et luua visuaalselt köitvaid ja struktuuriliselt tugevaid konstruktsioone. Näideteks on Edeni projekt Cornwallis, Ühendkuningriigis, oma geodeetiliste kuplitega, mis koosnevad kuusnurksetest paneelidest.
• Arvutigraafika: Tessellatsioon on arvutigraafikas kasutatav tehnika 3D-mudelite detailsuse suurendamiseks, jagades hulknurgad väiksemateks. See võimaldab siledamaid pindu ja realistlikumaid renderdusi.
• Tekstiilidisain: Tessellatsioone kasutatakse tekstiilidisainis kangastele korduvate mustrite loomiseks. Need mustrid võivad ulatuda lihtsatest geomeetrilistest kujundustest keerukate ja detailsete motiivideni.
• Pakendamine: Tessellatsioone saab kasutada toodete tõhusaks pakkimiseks, minimeerides jäätmeid ja maksimeerides ruumikasutust.
• Teadus: Tesselleerivaid kujundeid leidub looduses, näiteks kärjekannu kuusnurksed rakud või teatud kalade soomused. Tessellatsioonide mõistmine aitab teadlastel neid loodusnähtusi modelleerida ja mõista.

Tessellatsioonide näited kunstis ja looduses

Tessellatsioonid ei ole ainult matemaatilised mõisted; neid leidub ka kunstis ja looduses, pakkudes inspiratsiooni ja praktilisi rakendusi.

M.C. Escher

Maurits Cornelis Escher (1898-1972) oli Hollandi graafik, kes on tuntud oma matemaatiliselt inspireeritud puulõigete, litograafiate ja metsotintode poolest. Escheri töödes on sageli tessellatsioone, võimatuid konstruktsioone ja lõpmatuse uurimusi. Teda paelus tessellatsiooni kontseptsioon ja ta kasutas seda laialdaselt oma kunstis, et luua visuaalselt vapustavaid ja intellektuaalselt stimuleerivaid teoseid. Tema tööd nagu \"Roomajad\", \"Taevas ja vesi\" ning \"Ringi piir III\" on kuulsad näited tessellatsioonidest, mis muunduvad erinevateks vormideks ja uurivad taju piire. Tema looming sildas lõhe matemaatika ja kunsti vahel, muutes matemaatilised mõisted laiemale publikule kättesaadavaks ja kaasahaaravaks.

Kärjekann

Kärjekann on klassikaline näide looduslikust tessellatsioonist. Mesilased ehitavad oma kärjekannud kasutades kuusnurkseid rakke, mis sobivad täiuslikult kokku, et luua tugev ja tõhus struktuur. Kuusnurkne kuju maksimeerib mee hulka, mida saab säilitada, minimeerides samal ajal vaha hulka, mida on vaja kannu ehitamiseks. See tõhus ressursside kasutamine on tunnistus tesselleeritud struktuuride evolutsioonilistest eelistest.

Kaelkirjaku laigud

Kaelkirjaku laigud, kuigi mitte täiuslikud tessellatsioonid, moodustavad mustri, mis sarnaneb tessellatsiooniga. Laikude ebakorrapärased kujundid sobivad kokku viisil, mis katab kaelkirjaku keha tõhusalt. See muster pakub kamuflaaži, aidates kaelkirjakul oma keskkonda sulanduda. Kuigi laigud varieeruvad suuruse ja kuju poolest, näitab nende paigutus looduslikult esinevat tessellatsioonisarnast mustrit.

Fraktaalsed tessellatsioonid

Fraktaalsed tessellatsioonid ühendavad fraktalite ja tessellatsioonide põhimõtteid, et luua keerukaid ja enesesarnaseid mustreid. Fraktalid on geomeetrilised kujundid, mis näitavad enesesarnasust erinevatel skaaladel. Kui fraktaleid kasutatakse tessellatsioonis plaatidena, võib tulemuseks olev muster olla lõpmatult keerukas ja visuaalselt vapustav. Seda tüüpi tessellatsioone võib leida matemaatilistes visualiseeringutes ja arvutiga loodud kunstis. Fraktaalsete tessellatsioonide näideteks on need, mis põhinevad Sierpinski kolmnurgal või Kochi lumehelbel.

Kuidas luua oma tessellatsioone

Tessellatsioonide loomine võib olla lõbus ja hariv tegevus. Siin on mõned lihtsad tehnikad, mida saate kasutada oma tessellatsioonide loomiseks:

Lihtne translatsioonimeetod

1. Alusta ruudust: Alusta ruudukujulisest paberist või papist.
2. Lõika ja nihuta: Lõika ruudu ühelt küljelt kuju. Seejärel nihuta (libista) see kuju vastasküljele ja kinnita see sinna.
3. Korda: Korda protsessi ruudu kahe teise küljega.
4. Tesselleeri: Nüüd on sul plaat, mida saab tesselleerida. Joonista plaat korduvalt paberile, et luua tesselleeritud muster.

Rotatsioonimeetod

1. Alusta kujundist: Alusta korrapärasest hulknurgast nagu ruut või võrdkülgne kolmnurk.
2. Lõika ja pööra: Lõika hulknurga ühelt küljelt kuju. Seejärel pööra seda kuju ümber tipu ja kinnita see teisele küljele.
3. Korda: Korda protsessi vastavalt vajadusele.
4. Tesselleeri: Joonista plaat korduvalt, et luua tesselleeritud muster.

Tarkvara kasutamine

Saadaval on mitmesuguseid tarkvaraprogramme ja veebitööriistu, mis aitavad teil tessellatsioone luua. Need tööriistad võimaldavad teil katsetada erinevate kujundite, värvide ja sümmeetriatega, et luua keerukaid ja visuaalselt köitvaid mustreid. Mõned populaarsed tarkvaravalikud on:

• TesselManiac!
• Adobe Illustrator
• Geogebra

Tessellatsioonide tulevik

Tessellatsioonid on jätkuvalt aktiivse uurimis- ja avastamisvaldkond. Avastatakse uut tüüpi tessellatsioone ja leitakse uusi rakendusi erinevates valdkondades. Mõned potentsiaalsed tulevikuarengud hõlmavad:

• Uued materjalid: Uute unikaalsete omadustega materjalide arendamine võib viia uut tüüpi tesselleeritud struktuurideni, millel on parem tugevus, paindlikkus või funktsionaalsus.
• Robootika: Tesselleeritud robotid võiksid olla konstrueeritud kohanema erinevate keskkondadega ja täitma mitmesuguseid ülesandeid. Need robotid võiksid koosneda modulaarsetest plaatidest, mis saavad end ümber paigutada, et muuta roboti kuju ja funktsiooni.
• Nanotehnoloogia: Tessellatsioone saaks kasutada nanotehnoloogias, et luua isekokkupandavaid struktuure spetsiifiliste omadustega. Neid struktuure saaks kasutada rakendustes nagu ravimite kohaletoimetamine, energia salvestamine ja anduritehnoloogia.

Kokkuvõte

Tessellatsioon on rikkalik ja põnev matemaatika valdkond, mis ühendab geomeetriat, kunsti ja teadust. Alates põrandaplaatide lihtsatest mustritest kuni islami mosaiikide keerukate kujunduste ja M.C. Escheri uuendusliku kunstini on tessellatsioonid sajandeid inimesi paelunud ja inspireerinud. Mõistes tessellatsioonide taga olevaid matemaatilisi põhimõtteid, saame hinnata nende ilu ja funktsionaalsust ning uurida nende potentsiaalseid rakendusi erinevates valdkondades. Olgu te olete matemaatik, kunstnik või lihtsalt uudishimulik maailma vastu, pakuvad tessellatsioonid ainulaadset ja rahuldustpakkuvat teemat uurimiseks.

Niisiis, järgmine kord, kui näete korduvat mustrit, võtke hetk, et hinnata tessellatsioonide matemaatilist elegantsi ja kultuurilist tähtsust!