Murdarvude arvutuste selgitus: põhjalik juhend

Murrud on matemaatika põhimõiste, mis on oluline igapäevaelus alates kokandusest kuni ehituseni. Kuigi need võivad esmapilgul tunduda hirmutavad, on murdude põhitehete – liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise – mõistmine saavutatav selgete selgituste ja harjutamise abil. Selle juhendi eesmärk on selgitada murdarvude arvutamist igal tasemel õppijatele, pakkudes põhjalikku ülevaadet ja praktilisi näiteid, et kasvatada teie enesekindlust ja pädevust.

Mis on murdarvud? Kiire ülevaade

Murdarv tähistab osa tervikust. See koosneb kahest osast:

• Lugeja: Murrujoone kohal olev arv, mis näitab, mitu osa meil on.
• Nimetaja: Murrujoone all olev arv, mis näitab, mitmeks võrdseks osaks on tervik jaotatud.

Näiteks murrus 3/4 on 3 lugeja ja 4 nimetaja. See tähendab, et meil on 3 osa kokku 4 võrdsest osast.

Murdude tüübid:

• Lihtmurrud: Lugeja on nimetajast väiksem (nt 1/2, 2/3, 5/8).
• Liigmurrud: Lugeja on nimetajast suurem või sellega võrdne (nt 5/4, 7/3, 8/8).
• Segarvud: Täisarv ja lihtmurd kokku (nt 1 1/2, 2 3/4, 5 1/8).

Murdude liitmine

Murdude liitmiseks on vaja ühist nimetajat. See tähendab, et mõlemal murrul peab olema sama arv all.

Sama nimetajaga murrud:

Kui murdudel on juba sama nimetaja, siis liitke lihtsalt lugejad ja jätke nimetaja samaks.

Näide: 1/5 + 2/5 = (1 + 2)/5 = 3/5

Erinevate nimetajatega murrud:

Kui murdudel on erinevad nimetajad, peate enne liitmist leidma ühise nimetaja. Lihtsaim viis selleks on leida nimetajate vähim ühiskordne (VÜK). VÜK on väikseim arv, mis jagub mõlema nimetajaga täpselt.

Näide: 1/4 + 1/6

1. Leidke 4 ja 6 VÜK: 4 ja 6 VÜK on 12.
2. Teisendage iga murd ühise nimetajaga (12) samaväärseks murruks:
   • 1/4 = (1 x 3)/(4 x 3) = 3/12
   • 1/6 = (1 x 2)/(6 x 2) = 2/12
3. Liitke lugejad ja säilitage ühine nimetaja: 3/12 + 2/12 = (3 + 2)/12 = 5/12

Seega, 1/4 + 1/6 = 5/12

Segarvude liitmine:

Segarvude liitmiseks on kaks peamist meetodit:

1. Meetod 1: Liitke täisarvud ja murrud eraldi:
   • Liitke täisarvud.
   • Liitke murrud (vajadusel leides ühise nimetaja).
   • Ühendage tulemused. Kui murdosa on liigmurd, teisendage see segaarvuks ja lisage täisarvu osa olemasolevale täisarvule.
2. Meetod 2: Teisendage segaarvud liigmurdudeks:
   • Teisendage iga segaarv liigmurruks.
   • Liitke liigmurrud (vajadusel leides ühise nimetaja).
   • Teisendage tulemuseks saadud liigmurd tagasi segaarvuks.

Näide (Meetod 1): 2 1/3 + 1 1/2

1. Liitke täisarvud: 2 + 1 = 3
2. Liitke murrud: 1/3 + 1/2. 3 ja 2 VÜK on 6.
   • 1/3 = 2/6
   • 1/2 = 3/6
   • 2/6 + 3/6 = 5/6
3. Ühendage tulemused: 3 + 5/6 = 3 5/6

Näide (Meetod 2): 2 1/3 + 1 1/2

1. Teisendage liigmurdudeks:
   • 2 1/3 = (2 x 3 + 1)/3 = 7/3
   • 1 1/2 = (1 x 2 + 1)/2 = 3/2
2. Liitke liigmurrud: 7/3 + 3/2. 3 ja 2 VÜK on 6.
   • 7/3 = 14/6
   • 3/2 = 9/6
   • 14/6 + 9/6 = 23/6
3. Teisendage tagasi segaarvuks: 23/6 = 3 5/6

Murdude lahutamine

Murdude lahutamine järgib samu põhimõtteid kui murdude liitmine. Teil on vaja ühist nimetajat.

Sama nimetajaga murrud:

Kui murdudel on juba sama nimetaja, siis lahutage lihtsalt lugejad ja jätke nimetaja samaks.

Näide: 3/5 - 1/5 = (3 - 1)/5 = 2/5

Erinevate nimetajatega murrud:

Kui murdudel on erinevad nimetajad, leidke VÜK ja teisendage murrud enne lahutamist ühise nimetajaga samaväärseteks murdudeks.

Näide: 1/2 - 1/3

1. Leidke 2 ja 3 VÜK: 2 ja 3 VÜK on 6.
2. Teisendage iga murd ühise nimetajaga (6) samaväärseks murruks:
   • 1/2 = (1 x 3)/(2 x 3) = 3/6
   • 1/3 = (1 x 2)/(3 x 2) = 2/6
3. Lahutage lugejad ja säilitage ühine nimetaja: 3/6 - 2/6 = (3 - 2)/6 = 1/6

Seega, 1/2 - 1/3 = 1/6

Segarvude lahutamine:

Sarnaselt liitmisele võite kas lahutada täisarvud ja murrud eraldi või teisendada segaarvud liigmurdudeks.

Näide (Täis- ja murdosa eraldi lahutamine): 3 1/4 - 1 1/8

1. Lahutage täisarvud: 3 - 1 = 2
2. Lahutage murrud: 1/4 - 1/8. 4 ja 8 VÜK on 8.
   • 1/4 = 2/8
   • 2/8 - 1/8 = 1/8
3. Ühendage tulemused: 2 + 1/8 = 2 1/8

Näide (Teisendamine liigmurdudeks): 3 1/4 - 1 1/8

1. Teisendage liigmurdudeks:
   • 3 1/4 = (3 x 4 + 1)/4 = 13/4
   • 1 1/8 = (1 x 8 + 1)/8 = 9/8
2. Lahutage liigmurrud: 13/4 - 9/8. 4 ja 8 VÜK on 8.
   • 13/4 = 26/8
   • 26/8 - 9/8 = 17/8
3. Teisendage tagasi segaarvuks: 17/8 = 2 1/8

Oluline märkus: Kui murd, mida lahutate, on suurem kui murd, millest lahutate, peate võib-olla laenama täisarvu osast. Näiteks: 4 1/5 - 2 2/5. Laenake 1 arvust 4, muutes selle 3-ks. Seejärel lisage see 1 (väljendatuna kui 5/5) murrule 1/5, saades 6/5. Ülesandeks saab siis 3 6/5 - 2 2/5, mida on lihtne lahendada: 1 4/5.

Murdude korrutamine

Murdude korrutamine on lihtsam kui nende liitmine või lahutamine. Ühist nimetajat pole vaja. Lihtsalt korrutage lugejad omavahel ja nimetajad omavahel.

Valem: (a/b) x (c/d) = (a x c)/(b x d)

Näide: 1/2 x 2/3 = (1 x 2)/(2 x 3) = 2/6 = 1/3 (lihtsustatud)

Murdude ja täisarvude korrutamine:

Murru korrutamiseks täisarvuga käsitlege täisarvu murruna, mille nimetaja on 1.

Näide: 3 x 1/4 = 3/1 x 1/4 = (3 x 1)/(1 x 4) = 3/4

Segarvude korrutamine:

Enne korrutamist teisendage segaarvud liigmurdudeks.

Näide: 1 1/2 x 2 1/3

1. Teisendage liigmurdudeks:
   • 1 1/2 = 3/2
   • 2 1/3 = 7/3
2. Korrutage liigmurrud: 3/2 x 7/3 = (3 x 7)/(2 x 3) = 21/6 = 7/2 (lihtsustatud)
3. Teisendage tagasi segaarvuks: 7/2 = 3 1/2

Murdude jagamine

Murdude jagamine sarnaneb korrutamisega, kuid peate teise murru pöörama (pöördarv) ja seejärel korrutama.

Mis on pöördarv?

Murru pöördarv saadakse lugeja ja nimetaja vahetamisel. Näiteks murru 2/3 pöördarv on 3/2. Täisarvu, näiteks 5, pöördarv on 1/5 (sest 5 saab kirjutada kui 5/1).

Valem: (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) x (d/c) = (a x d)/(b x c)

Näide: 1/2 ÷ 1/4 = 1/2 x 4/1 = (1 x 4)/(2 x 1) = 4/2 = 2 (lihtsustatud)

Murdude ja täisarvude jagamine:

Sarnaselt korrutamisega käsitlege täisarvu murruna, mille nimetaja on 1, ja seejärel pöörake see ümber.

Näide: 1/3 ÷ 2 = 1/3 ÷ 2/1 = 1/3 x 1/2 = (1 x 1)/(3 x 2) = 1/6

Segarvude jagamine:

Enne jagamist teisendage segaarvud liigmurdudeks.

Näide: 2 1/2 ÷ 1 1/4

1. Teisendage liigmurdudeks:
   • 2 1/2 = 5/2
   • 1 1/4 = 5/4
2. Jagage liigmurrud: 5/2 ÷ 5/4 = 5/2 x 4/5 = (5 x 4)/(2 x 5) = 20/10 = 2 (lihtsustatud)

Murdarvude arvutamise rakendused päriselus

Murde kasutatakse laialdaselt erinevates reaalsetes olukordades:

• Kokkamine: Retseptides kasutatakse sageli murde koostisosade koguste määramiseks (nt 1/2 tassi jahu, 1/4 teelusikat soola).
• Ehitus: Arhitektid ja ehitajad kasutavad murde pikkuste, pindalade ja mahtude mõõtmiseks (nt 3/8 tolli paksune vineer, 2 1/2 meetrit pikk).
• Rahandus: Intressimäärad ja aktsiahinnad väljendatakse sageli murdudena (nt 1/4% intressimäär, aktsia kaupleb hinnaga 50 1/2 dollarit). Valuutakursid, mis on rahvusvahelises kaubanduses ja reisimisel üliolulised, hõlmavad sageli murde.
• Aeg: Me kasutame iga päev tunni murdosi (nt veerand tundi, pool tundi). Rahvusvaheliste kõnede planeerimine nõuab ajavööndite erinevuste mõistmist, mida saab väljendada päeva murdosadena GMT/UTC suhtes.
• Ostlemine: Allahindlused väljendatakse sageli murdudena või protsentidena, mis on sisuliselt murrud (nt 25% allahindlus on sama mis 1/4 allahindlus).
• Kaardid ja mõõtkavad: Kaardid kasutavad kauguste esitamiseks suhtarvudena või murdudena väljendatud mõõtkavasid. Näiteks kaardi mõõtkava 1:100 000 tähendab, et 1 cm kaardil vastab tegelikkuses 100 000 cm-le (ehk 1 km-le).

Näide: Küpsetate kooki ja retsept nõuab 2 1/4 tassi jahu. Te tahate teha ainult poole koogist. Kui palju jahu teil vaja on?

1. Jagage jahu kogus 2-ga: 2 1/4 ÷ 2
2. Teisendage liigmurruks: 2 1/4 = 9/4
3. Jagage: 9/4 ÷ 2/1 = 9/4 x 1/2 = 9/8
4. Teisendage tagasi segaarvuks: 9/8 = 1 1/8

Seega vajate 1 1/8 tassi jahu.

Nipid ja trikid murdarvude arvutamise valdamiseks

• Harjutage regulaarselt: Mida rohkem te harjutate, seda mugavamaks muutub murdarvude arvutamine.
• Lihtsustage murde: Lihtsustage oma vastused alati madalaimale kujule. See tähendab lugeja ja nimetaja jagamist nende suurima ühisteguriga (SÜT).
• Visualiseerige murde: Diagrammide joonistamine või abivahendite kasutamine aitab teil murde visualiseerida ja mõisteid paremini mõista.
• Kasutage veebiressursse: Saadaval on palju veebiressursse, nagu õpetused, kalkulaatorid ja harjutusülesanded.
• Jagage keerulised probleemid osadeks: Jagage keerulised probleemid väiksemateks, paremini hallatavateks sammudeks.
• Kontrollige oma tööd: Kontrollige alati oma tööd, et tagada täpsus.
• Mõistke, "miks": Ärge lihtsalt õppige reegleid pähe; mõistke nende taga olevat loogikat. See muudab mõistete meeldejätmise ja rakendamise lihtsamaks.
• Hinnake: Enne arvutuse tegemist hinnake vastust. See aitab teil kindlaks teha, kas teie lõplik vastus on mõistlik.

Kokkuvõte

Murdarvude arvutamise mõistmine on ülioluline oskus, mis ulatub klassiruumist kaugemale. Valdades põhitehteid – liitmist, lahutamist, korrutamist ja jagamist – avate võimsa tööriista reaalsete probleemide lahendamiseks erinevates valdkondades. Pidage meeles, et harjutage regulaarselt, lihtsustage murde, visualiseerige mõisteid ja kasutage olemasolevaid ressursse. Pühendumuse ja visadusega saate enesekindlalt vallutada murdude maailma ja neid oma igapäevaelus tõhusalt rakendada.

See põhjalik juhend on käsitlenud murdarvude arvutamise olulisi aspekte, pakkudes selgeid selgitusi, praktilisi näiteid ja kasulikke näpunäiteid. Loodame, et see ressurss annab teile volituse murdudega seotud väljakutsetega enesekindlalt toime tulla ja parandab teie matemaatilisi oskusi.

Lisalugemist: Kaaluge veebipõhiste matemaatikakursuste uurimist või tuutoriga konsulteerimist personaalse toe saamiseks. Arvukad veebisaidid ja mobiilirakendused pakuvad interaktiivseid harjutusi ja viktoriine, et kinnistada oma arusaama murdudest. Edu matemaatilisel teekonnal!