Algoritmy pro procházení stromem: Prohledávání do hloubky (DFS) vs. Prohledávání do šířky (BFS)

V informatice je procházení stromem (také známé jako vyhledávání ve stromě nebo procházení stromem) proces navštěvování (zkoumání a/nebo aktualizace) každého uzlu v datové struktuře stromu, přesně jednou. Stromy jsou základní datové struktury používané rozsáhle v různých aplikacích, od reprezentace hierarchických dat (jako jsou souborové systémy nebo organizační struktury) až po usnadnění efektivních vyhledávacích a třídicích algoritmů. Pochopení toho, jak procházet stromem, je zásadní pro efektivní práci s nimi.

Dvěma primárními přístupy k procházení stromem jsou Prohledávání do hloubky (DFS) a Prohledávání do šířky (BFS). Každý algoritmus nabízí odlišné výhody a je vhodný pro různé typy problémů. Tento komplexní průvodce podrobně prozkoumá DFS i BFS, pokrývající jejich principy, implementaci, případy použití a výkonnostní charakteristiky.

Pochopení datových struktur stromu

Než se ponoříme do algoritmů procházení, shrňme si základy datových struktur stromu.

Co je strom?

Strom je hierarchická datová struktura skládající se z uzlů spojených hranami. Má kořenový uzel (nejvrchnější uzel) a každý uzel může mít nula nebo více podřízených uzlů. Uzly bez dětí se nazývají listové uzly. Klíčové vlastnosti stromu zahrnují:

• Kořen: Nejvrchnější uzel ve stromě.
• Uzel: Prvek ve stromě, obsahující data a potenciálně odkazy na podřízené uzly.
• Hrana: Spojení mezi dvěma uzly.
• Rodič: Uzel, který má jeden nebo více podřízených uzlů.
• Dítě: Uzel, který je přímo spojen s jiným uzlem (jeho rodičem) ve stromě.
• List: Uzel bez dětí.
• Podstrom: Strom tvořený uzlem a všemi jeho potomky.
• Hloubka uzlu: Počet hran od kořene k uzlu.
• Výška stromu: Maximální hloubka libovolného uzlu ve stromě.

Typy stromů

Existuje několik variant stromů, z nichž každá má specifické vlastnosti a případy použití. Některé běžné typy zahrnují:

• Binární strom: Strom, kde každý uzel má maximálně dva potomky, obvykle označované jako levý potomek a pravý potomek.
• Binární vyhledávací strom (BST): Binární strom, kde hodnota každého uzlu je větší nebo rovna hodnotě všech uzlů v jeho levém podstromu a menší nebo rovna hodnotě všech uzlů v jeho pravém podstromu. Tato vlastnost umožňuje efektivní vyhledávání.
• AVL strom: Samovyvažovací binární vyhledávací strom, který udržuje vyváženou strukturu, aby se zajistila logaritmická časová složitost pro vyhledávání, vkládání a mazání operací.
• Red-Black strom: Další samovyvažovací binární vyhledávací strom, který používá barevné vlastnosti k udržení rovnováhy.
• N-ární strom (nebo K-ární strom): Strom, kde každý uzel může mít maximálně N dětí.

Prohledávání do hloubky (DFS)

Prohledávání do hloubky (DFS) je algoritmus procházení stromem, který zkoumá co nejdále podél každé větve před návratem. Upřednostňuje jít hluboko do stromu před zkoumáním sourozenců. DFS lze implementovat rekurzivně nebo iterativně pomocí zásobníku.

Algoritmy DFS

Existují tři běžné typy DFS průchodů:

• Procházení Inorder (Levý-Kořen-Pravý): Navštěvuje levý podstrom, poté kořenový uzel a nakonec pravý podstrom. To se běžně používá pro binární vyhledávací stromy, protože navštěvuje uzly seřazené.
• Procházení Preorder (Kořen-Levý-Pravý): Navštěvuje kořenový uzel, poté levý podstrom a nakonec pravý podstrom. To se často používá k vytvoření kopie stromu.
• Procházení Postorder (Levý-Pravý-Kořen): Navštěvuje levý podstrom, poté pravý podstrom a nakonec kořenový uzel. To se běžně používá k odstranění stromu.

Příklady implementace (Python)

Zde jsou příklady Pythonu demonstrující každý typ DFS průchodu:

            
class Node:
    def __init__(self, data):
        self.data = data
        self.left = None
        self.right = None

# Inorder Traversal (Left-Root-Right)
def inorder_traversal(root):
    if root:
        inorder_traversal(root.left)
        print(root.data, end=" ")
        inorder_traversal(root.right)

# Preorder Traversal (Root-Left-Right)
def preorder_traversal(root):
    if root:
        print(root.data, end=" ")
        preorder_traversal(root.left)
        preorder_traversal(root.right)

# Postorder Traversal (Left-Right-Root)
def postorder_traversal(root):
    if root:
        postorder_traversal(root.left)
        postorder_traversal(root.right)
        print(root.data, end=" ")

# Example Usage
root = Node(1)
root.left = Node(2)
root.right = Node(3)
root.left.left = Node(4)
root.left.right = Node(5)

print("Inorder traversal:")
inorder_traversal(root)  # Output: 4 2 5 1 3
print("\nPreorder traversal:")
preorder_traversal(root) # Output: 1 2 4 5 3
print("\nPostorder traversal:")
postorder_traversal(root) # Output: 4 5 2 3 1

            

              
                Copy
              
            
          

Iterativní DFS (se zásobníkem)

DFS lze také implementovat iterativně pomocí zásobníku. Zde je příklad iterativního procházení preorder:

            
def iterative_preorder(root):
    if root is None:
        return

    stack = [root]

    while stack:
        node = stack.pop()
        print(node.data, end=" ")

        # Push right child first so left child is processed first
        if node.right:
            stack.append(node.right)
        if node.left:
            stack.append(node.left)

#Example Usage (same tree as before)
print("\nIterative Preorder traversal:")
iterative_preorder(root)

            

              
                Copy
              
            
          

Případy použití DFS

• Nalezení cesty mezi dvěma uzly: DFS může efektivně najít cestu v grafu nebo stromu. Zvažte směrování datových paketů napříč sítí (reprezentovanou jako graf). DFS může najít trasu mezi dvěma servery, i když existuje více tras.
• Topologické třídění: DFS se používá při topologickém třídění orientovaných acyklických grafů (DAG). Představte si plánování úkolů, kde některé úkoly závisí na jiných. Topologické třídění uspořádá úkoly v pořadí, které respektuje tyto závislosti.
• Detekce cyklů v grafu: DFS může detekovat cykly v grafu. Detekce cyklů je důležitá při alokaci zdrojů. Pokud proces A čeká na proces B a proces B čeká na proces A, může to způsobit deadlock.
• Řešení bludišť: DFS lze použít k nalezení cesty bludištěm.
• Parsování a vyhodnocování výrazů: Kompilátory používají přístupy založené na DFS pro parsování a vyhodnocování matematických výrazů.

Výhody a nevýhody DFS

Výhody:

• Jednoduchá implementace: Rekurzivní implementace je často velmi stručná a snadno srozumitelná.
• Paměťově efektivní pro určité stromy: DFS vyžaduje méně paměti než BFS pro hluboce vnořené stromy, protože potřebuje uložit pouze uzly na aktuální cestě.
• Může rychle najít řešení: Pokud je požadované řešení hluboko ve stromu, DFS jej může najít rychleji než BFS.

Nevýhody:

• Není zaručeno nalezení nejkratší cesty: DFS může najít cestu, ale nemusí to být nejkratší cesta.
• Potenciál pro nekonečné smyčky: Pokud strom není pečlivě strukturován (např. obsahuje cykly), může se DFS zaseknout v nekonečné smyčce.
• Přetečení zásobníku: Rekurzivní implementace může vést k chybám přetečení zásobníku pro velmi hluboké stromy.

Prohledávání do šířky (BFS)

Prohledávání do šířky (BFS) je algoritmus procházení stromem, který zkoumá všechny sousední uzly na aktuální úrovni před přechodem na uzly na další úrovni. Prozkoumává strom úroveň po úrovni, počínaje kořenem. BFS se obvykle implementuje iterativně pomocí fronty.

Algoritmus BFS

1. Zařaďte kořenový uzel do fronty.
2. Dokud není fronta prázdná:
1. Vyjměte uzel z fronty.
2. Navštivte uzel (např. vytiskněte jeho hodnotu).
3. Zařaďte všechny potomky uzlu do fronty.

Příklad implementace (Python)

            
from collections import deque

def bfs_traversal(root):
    if root is None:
        return

    queue = deque([root])

    while queue:
        node = queue.popleft()
        print(node.data, end=" ")

        if node.left:
            queue.append(node.left)
        if node.right:
            queue.append(node.right)

#Example Usage (same tree as before)
print("BFS traversal:")
bfs_traversal(root) # Output: 1 2 3 4 5

            

              
                Copy
              
            
          

Případy použití BFS

• Nalezení nejkratší cesty: BFS zaručeně najde nejkratší cestu mezi dvěma uzly v neváženém grafu. Představte si weby sociálních sítí. BFS může najít nejkratší spojení mezi dvěma uživateli.
• Procházení grafu: BFS lze použít k procházení grafu.
• Prohledávání webu: Vyhledávače používají BFS k procházení webu a indexování stránek.
• Nalezení nejbližších sousedů: V geografickém mapování může BFS najít nejbližší restaurace, čerpací stanice nebo nemocnice k dané poloze.
• Algoritmus zaplavení: Ve zpracování obrazu tvoří BFS základ pro algoritmy zaplavení (např. nástroj "kbelík s barvou").

Výhody a nevýhody BFS

Výhody:

• Zaručeno nalezení nejkratší cesty: BFS vždy najde nejkratší cestu v neváženém grafu.
• Vhodné pro nalezení nejbližších uzlů: BFS je efektivní pro hledání uzlů, které jsou blízko počátečního uzlu.
• Zamezení nekonečným smyčkám: Protože BFS prozkoumává úroveň po úrovni, vyhýbá se uvíznutí v nekonečných smyčkách, a to i v grafech s cykly.

Nevýhody:

• Paměťově náročné: BFS může vyžadovat hodně paměti, zejména pro široké stromy, protože potřebuje uložit všechny uzly na aktuální úrovni do fronty.
• Může být pomalejší než DFS: Pokud je požadované řešení hluboko ve stromu, může být BFS pomalejší než DFS, protože prozkoumá všechny uzly na každé úrovni předtím, než půjde hlouběji.

Porovnání DFS a BFS

Zde je tabulka shrnující klíčové rozdíly mezi DFS a BFS:

Výběr mezi DFS a BFS

Volba mezi DFS a BFS závisí na konkrétním problému, který se snažíte vyřešit, a na charakteristikách stromu nebo grafu, se kterým pracujete. Zde je několik pokynů, které vám pomohou vybrat:

• Použijte DFS, když:
  • Je strom velmi hluboký a máte podezření, že je řešení hluboko dole.
  • Použití paměti je hlavní obava a strom není příliš široký.
  • Potřebujete detekovat cykly v grafu.
• Použijte BFS, když:
  • Potřebujete najít nejkratší cestu v neváženém grafu.
  • Potřebujete najít nejbližší uzly k počátečnímu uzlu.
  • Paměť není hlavní omezení a strom je široký.

Nad rámec binárních stromů: DFS a BFS v grafech

I když jsme primárně diskutovali o DFS a BFS v kontextu stromů, tyto algoritmy jsou stejně použitelné pro grafy, což jsou obecnější datové struktury, kde uzly mohou mít libovolná spojení. Základní principy zůstávají stejné, ale grafy mohou zavádět cykly, což vyžaduje zvláštní pozornost, aby se zabránilo nekonečným smyčkám.

Při použití DFS a BFS na grafy je běžné udržovat "navštívenou" sadu nebo pole, aby se sledovaly uzly, které již byly prozkoumány. To brání algoritmu v opětovném navštěvování uzlů a uvíznutí v cyklech.

Závěr

Prohledávání do hloubky (DFS) a Prohledávání do šířky (BFS) jsou základní algoritmy pro procházení stromů a grafů s odlišnými vlastnostmi a případy použití. Porozumění jejich principům, implementaci a výkonnostním kompromisům je zásadní pro každého počítačového vědce nebo softwarového inženýra. Pečlivým zvážením konkrétního problému, který je třeba vyřešit, můžete vybrat vhodný algoritmus pro jeho efektivní vyřešení. Zatímco DFS vyniká v efektivitě paměti a prozkoumávání hlubokých větví, BFS zaručuje nalezení nejkratší cesty a vyhýbá se nekonečným smyčkám, díky čemuž je nezbytné porozumět rozdílům mezi nimi. Zvládnutí těchto algoritmů zvýší vaše dovednosti při řešení problémů a umožní vám s jistotou řešit složité výzvy datových struktur.