Teorie čísel: Odhalení prvočísel a jejich role v moderní kryptografii

Teorie čísel, často považovaná za „královnu matematiky“, je odvětví čisté matematiky věnované především studiu celých čísel a jejich vlastností. Ačkoliv se může zdát abstraktní, teorie čísel je základem mnoha aplikací v reálném světě, nejvýrazněji v oblasti kryptografie. Tento článek zkoumá základní koncepty teorie čísel, zejména prvočísla, a ilustruje jejich klíčovou roli v zabezpečení našeho digitálního světa.

Co je teorie čísel?

Teorie čísel zahrnuje širokou škálu témat, včetně:

• Dělitelnost a prvočísla
• Kongruence a modulární aritmetika
• Diofantické rovnice
• Algebraická teorie čísel
• Analytická teorie čísel

Ve svém jádru teorie čísel zkoumá vlastnosti a vztahy celých čísel. Její elegantní důkazy a nečekané souvislosti s jinými oblastmi matematiky a informatiky z ní činí podmanivý obor.

Prvočísla: Stavební kameny celých čísel

Prvočíslo je přirozené číslo větší než 1, které nemá žádné kladné dělitele kromě 1 a sebe sama. Příklady prvočísel jsou 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 a tak dále. Čísla, která nejsou prvočísly, se nazývají složená čísla.

Prvočísla jsou základní, protože jsou stavebními kameny všech ostatních celých čísel. Základní věta aritmetiky říká, že každé celé číslo větší než 1 lze jednoznačně vyjádřit jako součin prvočísel, až na pořadí činitelů. Například:

12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3

30 = 2 × 3 × 5

100 = 2 × 2 × 5 × 5 = 2² × 5²

Tento jedinečný prvočíselný rozklad je základem, na kterém je postavena řada kryptografických algoritmů.

Hledání prvočísel

Identifikace prvočísel fascinovala matematiky po staletí. Existuje několik metod pro hledání prvočísel, včetně:

• Zkušební dělení: Dělte číslo n všemi celými čísly od 2 do √n. Pokud žádné z těchto čísel nedělí n beze zbytku, pak je n prvočíslo. Je to jednoduché, ale neefektivní pro velká čísla.
• Eratosthenovo síto: Efektivní algoritmus pro nalezení všech prvočísel až do zadaného celého čísla. Funguje tak, že iterativně označuje násobky každého prvočísla, počínaje prvním prvočíslem, 2.
• Testy prvočíselnosti: Sofistikovanější algoritmy jako Miller-Rabinův test prvočíselnosti (pravděpodobnostní test) a AKS test prvočíselnosti (deterministický test) se používají k určení, zda jsou velmi velká čísla prvočísly.

Rozložení prvočísel

Prvočísla nejsou mezi celými čísly rozložena rovnoměrně. Jak se čísla zvětšují, hustota prvočísel klesá. Věta o prvočíslech dává asymptotický odhad počtu prvočísel menších nebo rovných danému číslu x, označovanému jako π(x):

π(x) ≈ x / ln(x)

Tato věta poskytuje vhled do dlouhodobého chování rozložení prvočísel.

Kryptografie: Zabezpečení informací pomocí prvočísel

Kryptografie je praxe a studium technik pro bezpečnou komunikaci v přítomnosti protivníků. Moderní kryptografie se silně opírá o matematické koncepty a prvočísla hrají ústřední roli v mnoha šifrovacích algoritmech.

Bezpečnost mnoha kryptografických systémů je založena na výpočetní obtížnosti některých problémů z teorie čísel, zejména problému prvočíselného rozkladu a problému diskrétního logaritmu. Tyto problémy jsou považovány za „těžké“, protože pro jejich řešení na klasických počítačích nejsou známy žádné efektivní (polynomiální) algoritmy.

RSA: Základní kámen kryptografie s veřejným klíčem

Algoritmus RSA (Rivest-Shamir-Adleman) je jedním z nejpoužívanějších kryptosystémů s veřejným klíčem. Jeho bezpečnost spočívá v obtížnosti rozkladu velkých složených čísel na jejich prvočíselné činitele.

Zde je zjednodušený přehled fungování RSA:

1. Generování klíčů:
   • Zvolte dvě různá velká prvočísla p a q.
   • Vypočítejte n = p × q. Toto je modul.
   • Vypočítejte φ(n) = (p - 1) × (q - 1), kde φ je Eulerova funkce.
   • Zvolte celé číslo e takové, že 1 < e < φ(n) a gcd(e, φ(n)) = 1 (e a φ(n) jsou nesoudělná). e je veřejný exponent.
   • Vypočítejte d, modulární multiplikativní inverzi e modulo φ(n). Tedy, d × e ≡ 1 (mod φ(n)). d je soukromý exponent.
   • Veřejný klíč je (n, e).
   • Soukromý klíč je (n, d).
2. Šifrování:
   • Pro zašifrování zprávy m (reprezentované jako celé číslo) vypočítejte c = m^e mod n, kde c je šifrový text.
3. Dešifrování:
   • Pro dešifrování šifrového textu c vypočítejte m = c^d mod n.

Bezpečnost RSA závisí na skutečnosti, že je výpočetně obtížné rozložit velké číslo n na jeho prvočíselné činitele p a q, zvláště když jsou p a q dostatečně velké (stovky nebo tisíce číslic). Pokud by útočník dokázal rozložit n, mohl by snadno vypočítat φ(n) a poté určit soukromý klíč d.

Příklad: Předpokládejme, že zvolíme p = 61 a q = 53.

• n = 61 * 53 = 3233
• φ(n) = (61-1) * (53-1) = 60 * 52 = 3120
• Zvolme e = 17 (nesoudělné s 3120).
• Musíme najít d takové, že (17 * d) mod 3120 = 1. Pomocí rozšířeného Eukleidova algoritmu najdeme d = 2753.
• Veřejný klíč: (3233, 17)
• Soukromý klíč: (3233, 2753)

Pokud chceme zašifrovat zprávu m = 123, pak:

c = 123¹⁷ mod 3233 = 855

Pro dešifrování:

m = 855²⁷⁵³ mod 3233 = 123

Tento příklad používá malá čísla pro ilustraci. Implementace RSA v reálném světě používají mnohem větší prvočísla k zajištění bezpečnosti.

Výměna klíčů Diffie-Hellman

Výměna klíčů Diffie-Hellman je kryptografický protokol, který umožňuje dvěma stranám vytvořit sdílený tajný klíč přes nezabezpečený kanál. Tento sdílený tajný klíč lze poté použít k šifrování následné komunikace pomocí algoritmu se symetrickým klíčem.

Bezpečnost protokolu Diffie-Hellman spočívá v obtížnosti problému diskrétního logaritmu, který souvisí s prvočísly a modulární aritmetikou.

Zde je zjednodušené vysvětlení:

1. Alice a Bob se dohodnou na velkém prvočísle p a bázi g (kde g je primitivní kořen modulo p). p a g jsou veřejné.
2. Alice si zvolí tajné celé číslo a a vypočítá A = g^a mod p. Alice pošle A Bobovi.
3. Bob si zvolí tajné celé číslo b a vypočítá B = g^b mod p. Bob pošle B Alici.
4. Alice vypočítá sdílený tajný klíč s = B^a mod p.
5. Bob vypočítá sdílený tajný klíč s = A^b mod p.

Alice i Bob dospějí ke stejnému sdílenému tajnému klíči s, aniž by si přímo vyměnili svá tajná celá čísla a a b. Odposlouchávající, který zná p, g, A a B, by musel vyřešit problém diskrétního logaritmu, aby vypočítal a nebo b, a tím určil sdílený tajný klíč s.

Příklad: Řekněme, že p = 23 a g = 5.

• Alice si zvolí a = 6. A = 5⁶ mod 23 = 8
• Bob si zvolí b = 15. B = 5¹⁵ mod 23 = 19
• Alice pošle 8 Bobovi a Bob pošle 19 Alici.
• Alice vypočítá s = 19⁶ mod 23 = 2
• Bob vypočítá s = 8¹⁵ mod 23 = 2

Sdíleným tajemstvím je 2. Opět platí, že implementace v reálném světě používají mnohem větší prvočísla.

Kryptografie na eliptických křivkách (ECC)

Kryptografie na eliptických křivkách (ECC) je kryptosystém s veřejným klíčem založený na algebraické struktuře eliptických křivek nad konečnými poli. ECC nabízí srovnatelnou bezpečnost jako RSA s menšími velikostmi klíčů, což ji činí vhodnou pro prostředí s omezenými zdroji, jako jsou mobilní zařízení a vestavěné systémy. ECC se také opírá o teorii čísel a obtížnost problému diskrétního logaritmu na eliptických křivkách.

V ECC, namísto použití modulárního umocňování, jsou kryptografické operace založeny na aritmetice eliptických křivek (sčítání bodů a násobení skalárem). Bezpečnost ECC spočívá v tom, že je výpočetně obtížné vyřešit problém diskrétního logaritmu na eliptických křivkách, který spočívá v nalezení skalárního násobku, který spojuje dva body na eliptické křivce.

ECC je široce používána v různých aplikacích, včetně:

• Digitální podpisy (např. ECDSA)
• Výměna klíčů (např. ECDH)
• Šifrování

Budoucnost kryptografie a prvočísel

Pokračující vývoj kvantových počítačů představuje významnou hrozbu pro mnoho současných kryptografických algoritmů. Shorův algoritmus, kvantový algoritmus, dokáže efektivně rozkládat velká čísla a řešit problém diskrétního logaritmu, čímž efektivně láme RSA, Diffie-Hellman a ECC.

V reakci na tuto hrozbu výzkumníci aktivně vyvíjejí postkvantovou kryptografii (PQC), která zahrnuje kryptografické algoritmy, o nichž se předpokládá, že jsou odolné vůči útokům jak klasických, tak kvantových počítačů. Mnoho PQC algoritmů je založeno na jiných matematických problémech než ty, které se používají v RSA a ECC, jako je kryptografie založená na mřížkách, kryptografie založená na kódech, vícerozměrná kryptografie a kryptografie založená na hašování.

I v éře kvantových počítačů bude teorie čísel, a zejména prvočísla, pravděpodobně nadále hrát roli v kryptografii. Například prvočísla mohou být použita při konstrukci mřížek pro kryptografii založenou na mřížkách nebo při návrhu hašovacích funkcí pro kryptografii založenou na hašování.

Aplikace v reálném světě

Diskutované principy jsou implementovány po celém světě. Zde je několik různých příkladů:

• Zabezpečené online transakce: Když provádíte nákup online pomocí kreditní karty, transakce je obvykle zabezpečena pomocí HTTPS, který se opírá o protokoly TLS/SSL. Tyto protokoly často používají RSA nebo ECC k navázání bezpečného spojení mezi vaším prohlížečem a webovým serverem, čímž chrání vaše citlivé informace před odposlechem.
• Digitální podpisy: Digitální podpisy se používají k ověření pravosti a integrity digitálních dokumentů. Algoritmy jako RSA a ECDSA (Elliptic Curve Digital Signature Algorithm) používají prvočísla a modulární aritmetiku k vytváření digitálních podpisů, které je obtížné zfalšovat. To se používá pro právně závazné smlouvy v zemích jako Singapur a pro ověřování elektronických dokumentů v Evropské unii.
• Zabezpečené komunikační aplikace: Mnoho aplikací pro zasílání zpráv, jako je Signal a WhatsApp, používá koncové šifrování k ochraně soukromí vašich konverzací. Tyto aplikace často používají výměnu klíčů Diffie-Hellman nebo ECC k navázání bezpečných komunikačních kanálů.
• Kryptoměny: Kryptoměny jako Bitcoin používají kryptografii na eliptických křivkách (konkrétně ECDSA s křivkou secp256k1) k zabezpečení transakcí a kontrole vlastnictví digitálních aktiv. Globální dostupnost a decentralizace Bitcoinu jsou příkladem širokého uplatnění těchto principů.
• VPN (Virtuální privátní sítě): VPN používají kryptografické protokoly k vytváření bezpečných tunelů mezi vaším zařízením a vzdáleným serverem, čímž chrání váš internetový provoz před odposlechem. VPN obvykle používají algoritmy jako AES (Advanced Encryption Standard) pro symetrické šifrování a RSA nebo ECC pro výměnu klíčů. VPN jsou klíčové pro bezpečný přístup k internetu v zemích se silnou cenzurou.
• Secure Shell (SSH): SSH je kryptografický síťový protokol, který umožňuje bezpečný přístup a správu vzdálených serverů. SSH používá algoritmy jako RSA a ECC pro autentizaci a výměnu klíčů.

Závěr

Teorie čísel se svým zaměřením na prvočísla není pouze abstraktní matematickou disciplínou; je základním pilířem moderní kryptografie. Od zabezpečení online transakcí po ochranu citlivé komunikace hrají prvočísla klíčovou roli při zajišťování důvěrnosti, integrity a autenticity našeho digitálního světa. Jak se technologie neustále vyvíjí, souhra mezi teorií čísel a kryptografií zůstane nezbytná pro ochranu informací a udržení důvěry v stále více propojené společnosti. Probíhající výzkum a vývoj v oblasti postkvantové kryptografie demonstrují odhodlání zabezpečit naši digitální budoucnost tváří v tvář nově vznikajícím hrozbám.

Další zdroje pro studium

• Knihy:
  • "An Introduction to the Theory of Numbers" od G.H. Hardyho a E.M. Wrighta
  • "Elementary Number Theory" od Davida M. Burtona
  • "Cryptography Theory and Practice" od Douglase Stinsona a Maury Paterson
• Online kurzy:
  • Coursera: Cryptography I & II od Dana Boneha (Stanfordská univerzita)
  • edX: Introduction to Cryptography od Christofa Paara (Ruhr-Universität Bochum)
• Webové stránky:
  • Wikipedia: Teorie čísel, Prvočíslo, Kryptografie, RSA
  • Khan Academy: Teorie čísel