JavaScript BigInt Kryptografie eliptických křivek: Hluboký ponor do pokročilých operací

V éře, které dominuje digitální interakce, od decentralizovaných financí (DeFi) po end-to-end šifrované zasílání zpráv, nebyla síla našich kryptografických základů nikdy důležitější. Kryptografie eliptických křivek (ECC) je pilířem moderní kryptografie veřejného klíče, který nabízí robustní zabezpečení s menšími velikostmi klíčů ve srovnání s jejími předchůdci, jako je RSA. Provádění těchto složitých matematických operací přímo v JavaScriptu bylo po léta výzvou, často vyžadující specializované knihovny, které abstrahovaly nízkoúrovňové detaily nebo se potýkaly s omezeními standardního číselného typu JavaScriptu.

Zavedení nativního typu BigInt v JavaScriptu (ES2020) bylo revolučním momentem. Osvobodilo vývojáře od omezení 64bitového typu Number s plovoucí desetinnou čárkou a poskytlo mechanismus pro zpracování libovolně velkých celých čísel. Tato jediná funkce odemkla potenciál pro výkonné, nativní a transparentnější kryptografické implementace přímo v prostředích JavaScriptu, jako jsou prohlížeče a Node.js.

Zatímco mnoho vývojářů je obeznámeno se základy ECC – generováním párů klíčů a podepisováním zpráv – skutečná síla této technologie spočívá v jejích pokročilejších operacích. Tento článek jde nad rámec základů a zkoumá sofistikované kryptografické protokoly a techniky, které jsou nyní přístupné díky BigInt. Ponoříme se do Elliptic Curve Diffie-Hellman (ECDH) pro bezpečnou výměnu klíčů, obnovu veřejného klíče z podpisů a výkonné, agregačně přívětivé podpisy Schnorr.

BigInt revoluce v kryptografii JavaScriptu

Než se ponoříme do pokročilých operací, je nezbytné pochopit, proč je BigInt tak zásadní pro kryptografii v JavaScriptu.

Problém s typem `Number`

Tradiční typ Number v JavaScriptu je číslo s plovoucí desetinnou čárkou s dvojitou přesností IEEE 754 64 bitů. Tento formát je vynikající pro širokou škálu aplikací, ale má zásadní omezení pro kryptografii: může bezpečně reprezentovat pouze celá čísla až do Number.MAX_SAFE_INTEGER, což je 2⁵³ - 1.

Kryptografické klíče a mezihodnoty v ECC jsou mnohem větší. Například populární křivka secp256k1 používaná Bitcoinem a Ethereem pracuje v poli prvočísel, která jsou dlouhá 256 bitů. Tato čísla jsou o řády větší, než co standardní typ Number dokáže zpracovat bez ztráty přesnosti. Pokus o provádění výpočtů s takovými čísly by vedl k nesprávným a nezabezpečeným výsledkům.

Vstupte do `BigInt`: Celá čísla s libovolnou přesností

BigInt tento problém elegantně řeší. Je to odlišný numerický typ, který poskytuje způsob, jak reprezentovat celá čísla libovolné velikosti. BigInt můžete vytvořit připojením `n` na konec celočíselného literálu nebo voláním konstruktoru BigInt().

Příklad:

const aLargeNumber = 9007199254740991n; // Bezpečné s BigInt
const anEvenLargerNumber = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007908834671663n; // 256bitové prvočíslo

S BigInt fungují všechny standardní aritmetické operátory (+, -, *, /, %, **) podle očekávání s těmito masivními celými čísly. Tato schopnost je základem, na kterém jsou postaveny nativní implementace ECC JavaScriptu, umožňující přímý, přesný a bezpečný výpočet kryptografických algoritmů bez spoléhání se na externí moduly WebAssembly nebo těžkopádné knihovny čísel s více částmi.

Opakování základů kryptografie eliptických křivek

Abychom ocenili pokročilé operace, krátce si zopakujme základní koncepty ECC.

ECC je ve svém jádru založena na algebraické struktuře eliptických křivek nad konečnými poli. Tyto křivky jsou definovány Weierstrassovou rovnicí:

y² = x³ + ax + b (mod p)

Kde `a` a `b` jsou konstanty definující tvar křivky a `p` je velké prvočíslo definující konečné pole.

Klíčové koncepty

• Bod na křivce: Pár souřadnic (x, y), které splňují rovnici křivky. Všechny naše kryptografické operace jsou v podstatě "aritmetika bodů".
• Základní bod (G): Veřejně známý, standardizovaný výchozí bod na křivce.
• Soukromý klíč (d): Velmi velké, kryptograficky zabezpečené náhodné celé číslo. Toto je vaše tajemství. V kontextu BigInt je `d` velké BigInt.
• Veřejný klíč (Q): Bod na křivce odvozený od soukromého klíče a základního bodu pomocí operace zvané skalární násobení: Q = d * G. To znamená přidat bod G k sobě `d` krát.

Zabezpečení ECC závisí na Problému diskrétního logaritmu eliptické křivky (ECDLP). Je výpočetně snadné vypočítat veřejný klíč `Q` vzhledem k soukromému klíči `d` a základnímu bodu `G`. Je však výpočetně neproveditelné určit soukromý klíč `d` pouze na základě veřejného klíče `Q` a základního bodu `G`.

Pokročilá operace 1: Výměna klíčů Elliptic Curve Diffie-Hellman (ECDH)

Jednou z nejvýkonnějších aplikací ECC je vytvoření sdíleného tajemství mezi dvěma stranami prostřednictvím nezabezpečeného komunikačního kanálu. Toho se dosahuje pomocí protokolu pro výměnu klíčů Elliptic Curve Diffie-Hellman (ECDH).

Cíl

Představte si dva jedince, Alici a Boba, kteří chtějí bezpečně komunikovat. Potřebují se dohodnout na symetrickém šifrovacím klíči, který znají pouze oni, ale jejich jediným prostředkem komunikace je veřejný kanál, který může odposlouchávat odposlouchávač, Eva. ECDH jim umožňuje vypočítat identické sdílené tajemství, aniž by jej kdy přímo přenášeli.

Protokol krok za krokem

1. Generování klíčů:
   • Alice vygeneruje svůj soukromý klíč, `d_A` (velké náhodné BigInt), a svůj odpovídající veřejný klíč, `Q_A = d_A * G`.
   • Bob vygeneruje svůj soukromý klíč, `d_B` (další velké náhodné BigInt), a svůj veřejný klíč, `Q_B = d_B * G`.
2. Výměna veřejných klíčů:
   • Alice pošle svůj veřejný klíč, `Q_A`, Bobovi.
   • Bob pošle svůj veřejný klíč, `Q_B`, Alici.
   • Eva, odposlouchávač, vidí jak `Q_A`, tak `Q_B`, ale nemůže odvodit soukromé klíče `d_A` nebo `d_B` kvůli ECDLP.
3. Výpočet sdíleného tajemství:
   • Alice vezme Bobův veřejný klíč `Q_B` a vynásobí jej svým soukromým klíčem `d_A`, aby získala bod S: S = d_A * Q_B.
   • Bob vezme Alicin veřejný klíč `Q_A` a vynásobí jej svým soukromým klíčem `d_B`, aby získal bod S: S = d_B * Q_A.

Kouzlo komutativity

Alice i Bob dorazí na naprosto stejný tajný bod `S` na křivce. Je to proto, že skalární násobení je asociativní a komutativní:

Výpočet Alice: S = d_A * Q_B = d_A * (d_B * G)

Výpočet Boba: S = d_B * Q_A = d_B * (d_A * G)

Protože d_A * d_B * G = d_B * d_A * G, oba vypočítají stejný výsledek, aniž by kdy odhalili své soukromé klíče.

Od sdíleného bodu k symetrickému klíči

Výsledné sdílené tajemství `S` je bod na křivce, nikoli symetrický klíč vhodný pro šifrovací algoritmy, jako je AES. Pro odvození klíče je standardní praxí vzít souřadnici x bodu `S` a předat ji prostřednictvím Funkce odvození klíče (KDF), jako je HKDF (Funkce odvození klíče založená na HMAC). KDF vezme sdílené tajemství a volitelně sůl a další informace a vytvoří kryptograficky silný klíč požadované délky.

Všechny základní výpočty – generování soukromých klíčů jako náhodných `BigInt`s a provádění skalárního násobení – silně závisí na aritmetice `BigInt`.

Pokročilá operace 2: Obnova veřejného klíče z podpisů

V mnoha systémech, zejména v blockchainech, je efektivita a minimalizace dat prvořadá. Typicky, k ověření podpisu potřebujete zprávu, samotný podpis a veřejný klíč podepisujícího. Chytrá vlastnost algoritmu digitálního podpisu eliptické křivky (ECDSA) vám však umožňuje obnovit veřejný klíč přímo ze zprávy a podpisu. To znamená, že veřejný klíč nemusí být přenášen, což šetří cenné místo.

Jak to funguje (vysoká úroveň)

Podpis ECDSA se skládá ze dvou složek, (`r`, `s`).

• `r` je odvozen ze souřadnice x náhodného bodu `k * G`.
• `s` se vypočítá na základě hashe zprávy (`z`), soukromého klíče (`d`) a `r`. Vzorec je: `s = k_inverse * (z + r * d) mod n`, kde `n` je řád křivky.

Prostřednictvím algebraické manipulace rovnice pro ověření podpisu je možné odvodit výraz pro veřejný klíč `Q`. Tento proces však přináší dva možné platné veřejné klíče. Pro vyřešení této nejednoznačnosti je s podpisem zahrnuta malá část doplňkových informací nazývaná ID obnovy (často označovaná jako `v` nebo `recid`). Toto ID, typicky 0, 1, 2 nebo 3, určuje, které z možných řešení je správné a zda je souřadnice y klíče sudá nebo lichá.

Proč je `BigInt` zásadní

Matematické operace potřebné pro obnovu veřejného klíče jsou náročné a zahrnují modulární inverze, násobení a sčítání 256bitových čísel. Například klíčovým krokem je výpočet `(r_inverse * (s*k - z)) * G`. Tyto operace jsou přesně to, pro co je `BigInt` navržen. Bez něj by provádění těchto výpočtů v nativním JavaScriptu bylo nemožné bez významné ztráty přesnosti a zabezpečení.

Praktická aplikace: Ethereum transakce

Tato technika se proslavila v Ethereu. Podepsaná transakce neobsahuje přímo veřejnou adresu odesílatele. Místo toho je adresa (která je odvozena od veřejného klíče) obnovena ze složek `v`, `r` a `s` podpisu. Tato konstrukční volba ušetří 20 bajtů na každé jednotlivé transakci, což je významná úspora v měřítku globálního blockchainu.

Pokročilá operace 3: Schnorrovy podpisy a agregace

Zatímco ECDSA je široce používána, má určité nevýhody, včetně plasticity podpisu a nedostatku agregačních vlastností. Schnorrovy podpisy, další schéma založené na ECC, poskytují elegantní řešení těchto problémů a mnozí kryptografové je považují za lepší.

Klíčové výhody Schnorrových podpisů

• Prokazatelné zabezpečení: Mají přímočařejší a robustnější důkaz o zabezpečení ve srovnání s ECDSA.
• Nedeformovatelnost: Není možné, aby třetí strana změnila platný podpis na jiný platný podpis pro stejnou zprávu a klíč.
• Linearita (Supervelmoc): Toto je nejvýznamnější výhoda. Schnorrovy podpisy jsou lineární, což umožňuje výkonné agregační techniky.

Vysvětlení agregace podpisů

Vlastnost linearity znamená, že více podpisů od více podepisujících lze zkombinovat do jediného kompaktního podpisu. To je zásadní změna pro schémata s více podpisy (multisig).

Uvažujme scénář, kdy transakce vyžaduje podpisy od 3 z 5 účastníků. S ECDSA byste museli zahrnout všechny tři jednotlivé podpisy do blockchainu, což by zabíralo značné místo.

Se Schnorrovými podpisy je proces mnohem efektivnější:

1. Agregace klíčů: 3 účastníci mohou zkombinovat své jednotlivé veřejné klíče (`Q1`, `Q2`, `Q3`) a vytvořit jediný agregovaný veřejný klíč (`Q_agg`).
2. Agregace podpisů: Prostřednictvím protokolu pro spolupráci, jako je MuSig2, mohou účastníci vytvořit jediný agregovaný podpis (`S_agg`), který je platný pro agregovaný veřejný klíč `Q_agg`.

Výsledkem je transakce, která navenek vypadá identicky se standardní transakcí s jedním podepisujícím. Má jeden veřejný klíč a jeden podpis. To dramaticky zlepšuje efektivitu, škálovatelnost a soukromí, protože složitá nastavení multisig se stávají nerozeznatelnými od jednoduchých.

Role `BigInt`

Kouzlo agregace je zakořeněno v jednoduchém sčítání bodů eliptické křivky a skalární aritmetice. Vytvoření agregovaného klíče zahrnuje `Q_agg = Q1 + Q2 + Q3` a vytvoření agregovaného podpisu zahrnuje přidání jednotlivých složek podpisu modulo řád křivky. Všechny tyto operace – které tvoří základ protokolů, jako je MuSig2 – se provádějí na velkých celých číslech a souřadnicích křivek, což z `BigInt` činí nepostradatelný nástroj pro implementaci Schnorrových podpisů a agregačních schémat v JavaScriptu.

Implementační aspekty a osvědčené postupy zabezpečení

Zatímco nás `BigInt` zmocňuje k pochopení a implementaci těchto pokročilých operací, budování kryptografie produkční kvality je nebezpečný úkol. Zde je několik důležitých aspektů.

1. NEVYTVÁŘEJTE VLASTNÍ KRYPTO PRO PRODUKCI

Cílem tohoto článku je vzdělávat a ilustrovat základní mechanismy. Nikdy byste neměli implementovat tyto kryptografické primitivy od začátku pro produkční aplikaci. Používejte dobře prověřené, auditované a recenzované knihovny, jako je `noble-curves`. Tyto knihovny jsou účelově postaveny odborníky a zohledňují řadu jemných, ale kritických bezpečnostních problémů.

2. Operace s konstantním časem a útoky postranním kanálem

Jednou z nejnebezpečnějších nástrah je útok postranním kanálem. Útočník může analyzovat nefunkční aspekty systému – jako je spotřeba energie nebo přesný čas, který operace trvá – aby získal informace o tajných klíčích. Například pokud násobení s bitem '1' v klíči trvá o něco déle než s bitem '0', útočník může rekonstruovat klíč pozorováním časových odchylek.

Standardní operace BigInt v JavaScriptu nejsou s konstantním časem. Jejich doba provádění může záviset na hodnotě operandů. Profesionální kryptografické knihovny používají vysoce specializované algoritmy, aby zajistily, že všechny operace zahrnující soukromé klíče trvají konstantní dobu, bez ohledu na hodnotu klíče, čímž se zmírní tato hrozba.

3. Bezpečné generování náhodných čísel

Zabezpečení jakéhokoli kryptografického systému začíná kvalitou jeho náhodnosti. Soukromé klíče musí být generovány pomocí kryptograficky bezpečného pseudo-náhodného generátoru čísel (CSPRNG). V prostředích JavaScriptu vždy používejte vestavěná rozhraní API:

• Prohlížeč: crypto.getRandomValues()
• Node.js: crypto.randomBytes()

Nikdy nepoužívejte Math.random() pro kryptografické účely, protože není navrženo tak, aby bylo nepředvídatelné.

4. Doménový parametr a ověření veřejného klíče

Při přijímání veřejného klíče z externího zdroje je klíčové jej ověřit. Útočník by mohl poskytnout škodlivý bod, který ve skutečnosti není na zadané eliptické křivce, což by mohlo vést k útokům, které odhalí váš soukromý klíč během výměny klíčů ECDH (např. Invalid Curve Attacks). Renomované knihovny toto ověření zpracovávají automaticky.

Závěr

Příchod BigInt zásadně proměnil prostředí kryptografie v rámci ekosystému JavaScriptu. Posunul ECC z říše neprůhledných knihoven typu černé skříňky do něčeho, co lze implementovat a porozumět nativně, a podpořil novou úroveň transparentnosti a schopností.

Prozkoumali jsme, jak tato jediná funkce umožňuje pokročilé a výkonné kryptografické operace, které jsou ústřední pro moderní zabezpečené systémy:

• ECDH výměna klíčů: Základ pro vytvoření zabezpečených komunikačních kanálů.
• Obnova veřejného klíče: Technika zvyšující efektivitu, která je klíčová pro škálovatelné systémy, jako jsou blockchainy.
• Schnorrovy podpisy: Schéma podpisů nové generace nabízející vynikající efektivitu, soukromí a škálovatelnost prostřednictvím agregace.

Jako vývojáři a architekti již chápání těchto pokročilých konceptů není jen akademickým cvičením. Jsou nasazovány v globálních systémech již dnes, od upgradu Taproot v Bitcoinu po protokoly pro zabezpečené zasílání zpráv, které chrání naše každodenní konverzace. Zatímco finální implementace by měla být vždy ponechána auditovaným knihovnám kontrolovaným odborníky, hluboké pochopení mechanismů, umožněné nástroji jako BigInt, nám umožňuje budovat bezpečnější, efektivnější a inovativnější aplikace pro globální publikum.