সংখ্যা তত্ত্ব: মৌলিক সংখ্যা এবং আধুনিক ক্রিপ্টোগ্রাফিতে তাদের ভূমিকা উন্মোচন

সংখ্যা তত্ত্বকে প্রায়শই "গণিতের রাণী" বলা হয়। এটি বিশুদ্ধ গণিতের একটি শাখা যা মূলত পূর্ণসংখ্যা এবং তাদের বৈশিষ্ট্য নিয়ে আলোচনা করে। যদিও এটি বিমূর্ত মনে হতে পারে, সংখ্যা তত্ত্ব বাস্তব জগতের অনেক প্রয়োগের ভিত্তি, বিশেষ করে ক্রিপ্টোগ্রাফির ক্ষেত্রে। এই নিবন্ধে সংখ্যা তত্ত্বের মৌলিক ধারণা, বিশেষ করে মৌলিক সংখ্যা নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে এবং আমাদের ডিজিটাল বিশ্বকে সুরক্ষিত রাখতে তাদের গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা তুলে ধরা হয়েছে।

সংখ্যা তত্ত্ব কী?

সংখ্যা তত্ত্বের মধ্যে বিশাল পরিসরের বিষয় অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, যেমন:

• বিভাজ্যতা এবং মৌলিক সংখ্যা
• কনগ্রুয়েন্স এবং মডুলার অ্যারিথমেটিক
• ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ
• বীজগণিতীয় সংখ্যা তত্ত্ব
• বিশ্লেষণাত্মক সংখ্যা তত্ত্ব

এর মূলে, সংখ্যা তত্ত্ব পূর্ণসংখ্যার বৈশিষ্ট্য এবং সম্পর্ক নিয়ে অনুসন্ধান করে। এর মার্জিত প্রমাণ এবং গণিত ও কম্পিউটার বিজ্ঞানের অন্যান্য ক্ষেত্রের সাথে অপ্রত্যাশিত সংযোগ এটিকে একটি আকর্ষণীয় বিষয় করে তুলেছে।

মৌলিক সংখ্যা: পূর্ণসংখ্যার ভিত্তি

একটি মৌলিক সংখ্যা হলো ১-এর চেয়ে বড় একটি স্বাভাবিক সংখ্যা যার ১ এবং সেই সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো ধনাত্মক ভাজক নেই। মৌলিক সংখ্যার উদাহরণ হলো ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭ ইত্যাদি। যে সংখ্যাগুলি মৌলিক নয় তাদের যৌগিক সংখ্যা বলা হয়।

মৌলিক সংখ্যাগুলি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ কারণ এগুলি অন্য সমস্ত পূর্ণসংখ্যার ভিত্তি। পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য অনুযায়ী, ১-এর চেয়ে বড় প্রতিটি পূর্ণসংখ্যাকে উৎপাদকের ক্রম নির্বিশেষে অনন্যভাবে মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসাবে প্রকাশ করা যায়। উদাহরণস্বরূপ:

১২ = ২ × ২ × ৩ = ২^২ × ৩

৩০ = ২ × ৩ × ৫

১০০ = ২ × ২ × ৫ × ৫ = ২^২ × ৫^২

এই অনন্য মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণই হলো সেই ভিত্তি যার উপর অনেক ক্রিপ্টোগ্রাফিক অ্যালগরিদম তৈরি করা হয়েছে।

মৌলিক সংখ্যা খুঁজে বের করা

মৌলিক সংখ্যা চিহ্নিত করা গণিতবিদদের শতাব্দী ধরে মুগ্ধ করেছে। মৌলিক সংখ্যা খুঁজে বের করার জন্য বিভিন্ন পদ্ধতি বিদ্যমান, যার মধ্যে রয়েছে:

• ট্রায়াল ডিভিশন (Trial Division): একটি সংখ্যা n-কে ২ থেকে √n পর্যন্ত সমস্ত পূর্ণসংখ্যা দিয়ে ভাগ করা। যদি এগুলির কোনোটিই n-কে নিঃশেষে ভাগ না করে, তবে n মৌলিক। এটি সহজ কিন্তু বড় সংখ্যার জন্য অদক্ষ।
• ইরাটোস্থেনিসের চালনী (Sieve of Eratosthenes): একটি নির্দিষ্ট পূর্ণসংখ্যা পর্যন্ত সমস্ত মৌলিক সংখ্যা খুঁজে বের করার জন্য একটি কার্যকর অ্যালগরিদম। এটি প্রথম মৌলিক সংখ্যা ২ থেকে শুরু করে প্রতিটি মৌলিক সংখ্যার গুণিতকগুলিকে ক্রমান্বয়ে চিহ্নিত করে কাজ করে।
• মৌলিকত্ব পরীক্ষা (Primality Tests): মিলার-রাবিন মৌলিকত্ব পরীক্ষা (একটি সম্ভাব্যতা ভিত্তিক পরীক্ষা) এবং একেএস মৌলিকত্ব পরীক্ষা (একটি নির্ণায়ক পরীক্ষা) এর মতো আরও পরিশীলিত অ্যালগরিদমগুলি খুব বড় সংখ্যা মৌলিক কিনা তা নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়।

মৌলিক সংখ্যার বিন্যাস

মৌলিক সংখ্যাগুলি পূর্ণসংখ্যার মধ্যে সমানভাবে বণ্টিত নয়। সংখ্যা যত বড় হয়, মৌলিক সংখ্যার ঘনত্ব তত কমে যায়। মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্য একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা x-এর সমান বা তার কম মৌলিক সংখ্যার সংখ্যার জন্য একটি অ্যাসিम्पটোটিক অনুমান দেয়, যা π(x) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়:

π(x) ≈ x / ln(x)

এই উপপাদ্যটি মৌলিক সংখ্যার বিন্যাসের দীর্ঘমেয়াদী আচরণ সম্পর্কে অন্তর্দৃষ্টি প্রদান করে।

ক্রিপ্টোগ্রাফি: মৌলিক সংখ্যা দিয়ে তথ্য সুরক্ষিত করা

ক্রিপ্টোগ্রাফি হলো প্রতিপক্ষের উপস্থিতিতে নিরাপদ যোগাযোগের কৌশলগুলির অনুশীলন এবং অধ্যয়ন। আধুনিক ক্রিপ্টোগ্রাফি গাণিতিক ধারণার উপর ব্যাপকভাবে নির্ভর করে, এবং অনেক এনক্রিপশন অ্যালগরিদমে মৌলিক সংখ্যা একটি কেন্দ্রীয় ভূমিকা পালন করে।

অনেক ক্রিপ্টোগ্রাফিক সিস্টেমের নিরাপত্তা নির্দিষ্ট সংখ্যা-তাত্ত্বিক সমস্যার গণনামূলক অসুবিধার উপর ভিত্তি করে, বিশেষত মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ সমস্যা (prime factorization problem) এবং ডিসক্রিট লগারিদম সমস্যা (discrete logarithm problem)। এই সমস্যাগুলিকে “কঠিন” বলে মনে করা হয় কারণ ক্লাসিক্যাল কম্পিউটারে এগুলি সমাধান করার জন্য কোনো দক্ষ (পলিমোনিয়াল-টাইম) অ্যালগরিদম জানা নেই।

RSA: পাবলিক-কি ক্রিপ্টোগ্রাফির একটি ভিত্তিপ্রস্তর

RSA (Rivest-Shamir-Adleman) অ্যালগরিদমটি সবচেয়ে বহুল ব্যবহৃত পাবলিক-কি ক্রিপ্টো সিস্টেমগুলির মধ্যে একটি। এর নিরাপত্তা বড় যৌগিক সংখ্যাকে তাদের মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার অসুবিধার উপর নির্ভর করে।

এখানে RSA কীভাবে কাজ করে তার একটি সরলীকৃত সংক্ষিপ্ত বিবরণ দেওয়া হলো:

1. কি তৈরি (Key Generation):
   • দুটি ভিন্ন বড় মৌলিক সংখ্যা p এবং q নির্বাচন করুন।
   • n = p × q গণনা করুন। এটি মডিউলাস।
   • φ(n) = (p - 1) × (q - 1) গণনা করুন, যেখানে φ হলো অয়লারের টোশেন্ট ফাংশন।
   • একটি পূর্ণসংখ্যা e নির্বাচন করুন যেমন ১ < e < φ(n) এবং gcd(e, φ(n)) = 1 (e এবং φ(n) সহমৌলিক)। e হলো পাবলিক এক্সপোনেন্ট।
   • d গণনা করুন, যা e-এর মডিউলার গুণাত্মক বিপরীত φ(n) মডিউলোতে। অর্থাৎ, d × e ≡ 1 (mod φ(n))। d হলো প্রাইভেট এক্সপোনেন্ট।
   • পাবলিক কি হলো (n, e)।
   • প্রাইভেট কি হলো (n, d)।
2. এনক্রিপশন (Encryption):
   • একটি বার্তা m (পূর্ণসংখ্যা হিসাবে উপস্থাপিত) এনক্রিপ্ট করতে, c = m^e mod n গণনা করুন, যেখানে c হলো সাইফারটেক্সট।
3. ডিক্রিপশন (Decryption):
   • সাইফারটেক্সট c ডিক্রিপ্ট করতে, m = c^d mod n গণনা করুন।

RSA-এর নিরাপত্তা এই তথ্যের উপর নির্ভর করে যে বড় সংখ্যা n-কে এর মৌলিক উৎপাদক p এবং q-তে বিশ্লেষণ করা গণনামূলকভাবে কঠিন, বিশেষ করে যখন p এবং q যথেষ্ট বড় (শত শত বা হাজার হাজার অঙ্কের) হয়। যদি একজন আক্রমণকারী n-কে বিশ্লেষণ করতে পারে, তবে সে সহজেই φ(n) গণনা করতে এবং তারপর প্রাইভেট কি d নির্ধারণ করতে পারবে।

উদাহরণ: ধরা যাক আমরা p = 61 এবং q = 53 নির্বাচন করেছি।

• n = 61 * 53 = 3233
• φ(n) = (61-1) * (53-1) = 60 * 52 = 3120
• ধরা যাক আমরা e = 17 নির্বাচন করেছি (3120 এর সাথে সহমৌলিক)।
• আমাদের d খুঁজে বের করতে হবে যাতে (17 * d) mod 3120 = 1 হয়। এক্সটেন্ডেড ইউক্লিডিয়ান অ্যালগরিদম ব্যবহার করে, আমরা পাই d = 2753।
• পাবলিক কি: (3233, 17)
• প্রাইভেট কি: (3233, 2753)

যদি আমরা বার্তা m = 123 এনক্রিপ্ট করতে চাই, তাহলে:

c = 123¹⁷ mod 3233 = 855

ডিক্রিপ্ট করতে:

m = 855²⁷⁵³ mod 3233 = 123

এই উদাহরণটি বোঝানোর জন্য ছোট সংখ্যা ব্যবহার করে। বাস্তব জগতের RSA বাস্তবায়নে নিরাপত্তা নিশ্চিত করার জন্য অনেক বড় মৌলিক সংখ্যা ব্যবহার করা হয়।

ডিফি-হেলম্যান কি এক্সচেঞ্জ (Diffie-Hellman Key Exchange)

ডিফি-হেলম্যান কি এক্সচেঞ্জ একটি ক্রিপ্টোগ্রাফিক প্রোটোকল যা দুটি পক্ষকে একটি অসুরক্ষিত চ্যানেলের মাধ্যমে একটি শেয়ার্ড সিক্রেট কি স্থাপন করতে দেয়। এই শেয়ার্ড সিক্রেটটি তারপর একটি সিমেট্রিক-কি অ্যালগরিদম ব্যবহার করে পরবর্তী যোগাযোগ এনক্রিপ্ট করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

ডিফি-হেলম্যানের নিরাপত্তা ডিসক্রিট লগারিদম সমস্যার (discrete logarithm problem) অসুবিধার উপর নির্ভর করে, যা মৌলিক সংখ্যা এবং মডুলার অ্যারিথমেটিকের সাথে সম্পর্কিত।

এখানে একটি সরলীকৃত ব্যাখ্যা দেওয়া হলো:

1. অ্যালিস এবং বব একটি বড় মৌলিক সংখ্যা p এবং একটি বেস g (যেখানে g হলো p-এর একটি প্রিমিটিভ রুট মডিউলো)-এর উপর একমত হয়। p এবং g পাবলিক।
2. অ্যালিস একটি গোপন পূর্ণসংখ্যা a নির্বাচন করে এবং A = g^a mod p গণনা করে। অ্যালিস A ববকে পাঠায়।
3. বব একটি গোপন পূর্ণসংখ্যা b নির্বাচন করে এবং B = g^b mod p গণনা করে। বব B অ্যালিসকে পাঠায়।
4. অ্যালিস শেয়ার্ড সিক্রেট কি s = B^a mod p গণনা করে।
5. বব শেয়ার্ড সিক্রেট কি s = A^b mod p গণনা করে।

অ্যালিস এবং বব উভয়ই তাদের গোপন পূর্ণসংখ্যা a এবং b সরাসরি বিনিময় না করেই একই শেয়ার্ড সিক্রেট কি s-এ পৌঁছায়। একজন আড়িপাতা ব্যক্তি যে p, g, A, এবং B জানে, তাকে ডিসক্রিট লগারিদম সমস্যা সমাধান করতে হবে a বা b গণনা করার জন্য এবং এর মাধ্যমে শেয়ার্ড সিক্রেট কি s নির্ধারণ করার জন্য।

উদাহরণ: ধরা যাক p = 23 এবং g = 5।

• অ্যালিস a = 6 নির্বাচন করে। A = 5⁶ mod 23 = 8
• বব b = 15 নির্বাচন করে। B = 5¹⁵ mod 23 = 19
• অ্যালিস ববকে 8 পাঠায়, এবং বব অ্যালিসকে 19 পাঠায়।
• অ্যালিস s = 19⁶ mod 23 = 2 গণনা করে
• বব s = 8¹⁵ mod 23 = 2 গণনা করে

শেয়ার্ড সিক্রেট হলো 2। আবারও, বাস্তব জগতের বাস্তবায়নে অনেক বড় মৌলিক সংখ্যা ব্যবহার করা হয়।

এলিপটিক কার্ভ ক্রিপ্টোগ্রাফি (ECC)

এলিপটিক কার্ভ ক্রিপ্টোগ্রাফি (ECC) একটি পাবলিক-কি ক্রিপ্টো সিস্টেম যা সসীম ক্ষেত্রের উপর এলিপটিক কার্ভের বীজগাণিতিক কাঠামোর উপর ভিত্তি করে তৈরি। ECC ছোট কি সাইজের মাধ্যমে RSA-এর সাথে তুলনীয় নিরাপত্তা প্রদান করে, যা এটিকে মোবাইল ডিভাইস এবং এমবেডেড সিস্টেমের মতো সম্পদ-সীমাবদ্ধ পরিবেশের জন্য উপযুক্ত করে তোলে। ECC এছাড়াও সংখ্যা তত্ত্ব এবং এলিপটিক কার্ভ ডিসক্রিট লগারিদম সমস্যার অসুবিধার উপর নির্ভর করে।

ECC-তে, মডুলার এক্সপোনেন্সিয়েশন ব্যবহার করার পরিবর্তে, ক্রিপ্টোগ্রাফিক অপারেশনগুলি এলিপটিক কার্ভ অ্যারিথমেটিক (বিন্দু যোগ এবং স্কেলার গুণ) এর উপর ভিত্তি করে হয়। ECC-এর নিরাপত্তা এই তথ্যের উপর নির্ভর করে যে এলিপটিক কার্ভ ডিসক্রিট লগারিদম সমস্যা সমাধান করা গণনামূলকভাবে কঠিন, যা একটি এলিপটিক কার্ভের দুটি বিন্দুকে সম্পর্কিত করে এমন স্কেলার গুণিতক খুঁজে বের করার সাথে জড়িত।

ECC বিভিন্ন অ্যাপ্লিকেশনে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, যার মধ্যে রয়েছে:

• ডিজিটাল স্বাক্ষর (যেমন, ECDSA)
• কি এক্সচেঞ্জ (যেমন, ECDH)
• এনক্রিপশন

ক্রিপ্টোগ্রাফি এবং মৌলিক সংখ্যার ভবিষ্যৎ

কোয়ান্টাম কম্পিউটারের চলমান উন্নয়ন অনেক বর্তমান ক্রিপ্টোগ্রাফিক অ্যালগরিদমের জন্য একটি উল্লেখযোগ্য হুমকি সৃষ্টি করেছে। শোরের অ্যালগরিদম, একটি কোয়ান্টাম অ্যালগরিদম, দক্ষতার সাথে বড় সংখ্যাকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে এবং ডিসক্রিট লগারিদম সমস্যা সমাধান করতে পারে, যা কার্যকরভাবে RSA, ডিফি-হেলম্যান এবং ECC-কে ভেঙে দেয়।

এই হুমকির প্রতিক্রিয়ায়, গবেষকরা সক্রিয়ভাবে পোস্ট-কোয়ান্টাম ক্রিপ্টোগ্রাফি (PQC) তৈরি করছেন, যার মধ্যে এমন ক্রিপ্টোগ্রাফিক অ্যালগরিদম অন্তর্ভুক্ত রয়েছে যা ক্লাসিক্যাল এবং কোয়ান্টাম উভয় কম্পিউটার থেকে আক্রমণ প্রতিরোধী বলে মনে করা হয়। অনেক PQC অ্যালগরিদম RSA এবং ECC-তে ব্যবহৃত গাণিতিক সমস্যাগুলির চেয়ে ভিন্ন গাণিতিক সমস্যার উপর ভিত্তি করে তৈরি, যেমন ল্যাটিস-ভিত্তিক ক্রিপ্টোগ্রাফি, কোড-ভিত্তিক ক্রিপ্টোগ্রাফি, মাল্টিভেরিয়েট ক্রিপ্টোগ্রাফি এবং হ্যাশ-ভিত্তিক ক্রিপ্টোগ্রাফি।

এমনকি কোয়ান্টাম কম্পিউটিং এর যুগেও, সংখ্যা তত্ত্ব এবং বিশেষ করে মৌলিক সংখ্যা, সম্ভবত ক্রিপ্টোগ্রাফিতে একটি ভূমিকা পালন করতে থাকবে। উদাহরণস্বরূপ, মৌলিক সংখ্যা ল্যাটিস-ভিত্তিক ক্রিপ্টোগ্রাফির জন্য ল্যাটিস তৈরিতে বা হ্যাশ-ভিত্তিক ক্রিপ্টোগ্রাফির জন্য হ্যাশ ফাংশন ডিজাইনে ব্যবহৃত হতে পারে।

বাস্তব-জগতের প্রয়োগ

আলোচিত নীতিগুলি বিশ্বব্যাপী প্রয়োগ করা হয়। এখানে কিছু বৈচিত্র্যময় উদাহরণ রয়েছে:

• নিরাপদ অনলাইন লেনদেন: যখন আপনি ক্রেডিট কার্ড ব্যবহার করে অনলাইনে কেনাকাটা করেন, তখন লেনদেনটি সাধারণত HTTPS ব্যবহার করে সুরক্ষিত করা হয়, যা TLS/SSL প্রোটোকলের উপর নির্ভর করে। এই প্রোটোকলগুলি প্রায়শই আপনার ব্রাউজার এবং ওয়েব সার্ভারের মধ্যে একটি সুরক্ষিত সংযোগ স্থাপনের জন্য RSA বা ECC ব্যবহার করে, যা আপনার সংবেদনশীল তথ্যকে আড়িপাতা থেকে রক্ষা করে।
• ডিজিটাল স্বাক্ষর: ডিজিটাল স্বাক্ষর ডিজিটাল নথির সত্যতা এবং অখণ্ডতা যাচাই করতে ব্যবহৃত হয়। RSA এবং ECDSA (Elliptic Curve Digital Signature Algorithm) এর মতো অ্যালগরিদমগুলি মৌলিক সংখ্যা এবং মডুলার অ্যারিথমেটিক ব্যবহার করে এমন ডিজিটাল স্বাক্ষর তৈরি করে যা জাল করা কঠিন। এটি সিঙ্গাপুরের মতো দেশে আইনগতভাবে বাধ্যতামূলক চুক্তির জন্য এবং ইউরোপীয় ইউনিয়নে ইলেকট্রনিক নথি যাচাইকরণের জন্য ব্যবহৃত হয়।
• নিরাপদ যোগাযোগ অ্যাপ: সিগন্যাল এবং হোয়াটসঅ্যাপের মতো অনেক মেসেজিং অ্যাপ আপনার কথোপকথনের গোপনীয়তা রক্ষা করার জন্য এন্ড-টু-এন্ড এনক্রিপশন ব্যবহার করে। এই অ্যাপগুলি প্রায়শই নিরাপদ যোগাযোগ চ্যানেল স্থাপনের জন্য ডিফি-হেলম্যান কি এক্সচেঞ্জ বা ECC ব্যবহার করে।
• ক্রিপ্টোকারেন্সি: বিটকয়েনের মতো ক্রিপ্টোকারেন্সি লেনদেন সুরক্ষিত করতে এবং ডিজিটাল সম্পদের মালিকানা নিয়ন্ত্রণ করতে এলিপটিক কার্ভ ক্রিপ্টোগ্রাফি (বিশেষত, secp256k1 কার্ভ সহ ECDSA) ব্যবহার করে। বিটকয়েনের বিশ্বব্যাপী অ্যাক্সেসযোগ্যতা এবং বিকেন্দ্রীকরণ এই নীতিগুলির ব্যাপক প্রয়োগের উদাহরণ।
• ভিপিএন (ভার্চুয়াল প্রাইভেট নেটওয়ার্ক): ভিপিএন আপনার ডিভাইস এবং একটি রিমোট সার্ভারের মধ্যে সুরক্ষিত টানেল তৈরি করতে ক্রিপ্টোগ্রাফিক প্রোটোকল ব্যবহার করে, যা আপনার ইন্টারনেট ট্র্যাফিককে বাধা থেকে রক্ষা করে। ভিপিএনগুলি সাধারণত সিমেট্রিক এনক্রিপশনের জন্য AES (Advanced Encryption Standard) এবং কি এক্সচেঞ্জের জন্য RSA বা ECC এর মতো অ্যালগরিদম ব্যবহার করে। ভারী সেন্সরশিপযুক্ত দেশগুলিতে নিরাপদ ইন্টারনেট অ্যাক্সেসের জন্য ভিপিএন অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।
• সিকিওর শেল (SSH): এসএসএইচ একটি ক্রিপ্টোগ্রাফিক নেটওয়ার্ক প্রোটোকল যা আপনাকে দূরবর্তী সার্ভারগুলি নিরাপদে অ্যাক্সেস এবং পরিচালনা করতে দেয়। এসএসএইচ প্রমাণীকরণ এবং কি এক্সচেঞ্জের জন্য RSA এবং ECC এর মতো অ্যালগরিদম ব্যবহার করে।

উপসংহার

সংখ্যা তত্ত্ব, মৌলিক সংখ্যার উপর এর মনোযোগ সহ, কেবল একটি বিমূর্ত গাণিতিক শৃঙ্খলা নয়; এটি আধুনিক ক্রিপ্টোগ্রাফির একটি মৌলিক স্তম্ভ। অনলাইন লেনদেন সুরক্ষিত করা থেকে শুরু করে সংবেদনশীল যোগাযোগ রক্ষা করা পর্যন্ত, মৌলিক সংখ্যাগুলি আমাদের ডিজিটাল বিশ্বের গোপনীয়তা, অখণ্ডতা এবং সত্যতা নিশ্চিত করতে একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। প্রযুক্তির ক্রমাগত বিকাশের সাথে সাথে, সংখ্যা তত্ত্ব এবং ক্রিপ্টোগ্রাফির মধ্যে পারস্পরিক ক্রিয়া তথ্য সুরক্ষিত রাখতে এবং একটি ক্রমবর্ধমান আন্তঃসংযুক্ত সমাজে আস্থা বজায় রাখার জন্য অপরিহার্য থাকবে। পোস্ট-কোয়ান্টাম ক্রিপ্টোগ্রাফিতে চলমান গবেষণা এবং উন্নয়ন উদীয়মান হুমকির মুখে আমাদের ডিজিটাল ভবিষ্যৎ সুরক্ষিত করার প্রতিশ্রুতি প্রদর্শন করে।

আরও জানার জন্য

• বই:
  • "An Introduction to the Theory of Numbers" by G.H. Hardy and E.M. Wright
  • "Elementary Number Theory" by David M. Burton
  • "Cryptography Theory and Practice" by Douglas Stinson and Maura Paterson
• অনলাইন কোর্স:
  • Coursera: Cryptography I & II by Dan Boneh (Stanford University)
  • edX: Introduction to Cryptography by Christof Paar (Ruhr University Bochum)
• ওয়েবসাইট:
  • Wikipedia: Number Theory, Prime Number, Cryptography, RSA
  • Khan Academy: Number Theory