রৈখিক বীজগণিত: ভেক্টর স্থান এবং রূপান্তর - একটি বৈশ্বিক দৃষ্টিকোণ

রৈখিক বীজগণিত গণিতের একটি মৌলিক শাখা যা পদার্থবিদ্যা, প্রকৌশল, কম্পিউটার বিজ্ঞান, অর্থনীতি এবং পরিসংখ্যান সহ বিভিন্ন ক্ষেত্রে সমস্যা বোঝা এবং সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় সরঞ্জাম এবং কৌশল সরবরাহ করে। এই পোস্টটি রৈখিক বীজগণিতের দুটি মূল ধারণা: ভেক্টর স্থান এবং রৈখিক রূপান্তরগুলির একটি বিস্তৃত ওভারভিউ প্রদান করে, যা তাদের বিশ্বব্যাপী প্রাসঙ্গিকতা এবং বিভিন্ন প্রয়োগের উপর জোর দেয়।

ভেক্টর স্থান কি?

এর মূলে, একটি ভেক্টর স্থান (লিনিয়ার স্পেসও বলা হয়) হল বস্তুর একটি সেট, যাকে ভেক্টর বলা হয়, যা একসাথে যোগ করা যায় এবং সংখ্যা দ্বারা গুণ ("স্কেলড") করা যায়, যাকে স্কেলার বলা হয়। কাঠামোটি অনুমানযোগ্যভাবে আচরণ করে তা নিশ্চিত করার জন্য এই অপারেশনগুলিকে নির্দিষ্ট স্বতঃসিদ্ধগুলো পূরণ করতে হবে।

একটি ভেক্টর স্থানের স্বতঃসিদ্ধ

ধরা যাক V দুটি অপারেশন সংজ্ঞায়িত করা একটি সেট: ভেক্টর যোগ (u + v) এবং স্কেলার গুণ (cu), যেখানে u এবং v হল V-এর ভেক্টর এবং c হল একটি স্কেলার। V একটি ভেক্টর স্থান হবে যদি নিম্নলিখিত স্বতঃসিদ্ধগুলি সত্য হয়:

• যোগের অধীনে আবদ্ধতা: V-এর সকল u, v এর জন্য, u + v V-এর মধ্যে থাকে।
• স্কেলার গুণনের অধীনে আবদ্ধতা: V-এর সকল u এর জন্য এবং সকল স্কেলার c এর জন্য, cu V-এর মধ্যে থাকে।
• যোগের বিনিময়যোগ্যতা: V-এর সকল u, v এর জন্য, u + v = v + u।
• যোগের সংযোগযোগ্যতা: V-এর সকল u, v, w এর জন্য, (u + v) + w = u + (v + w)।
• যোগের অভেদের অস্তিত্ব: V-এর মধ্যে একটি ভেক্টর 0 বিদ্যমান যেমন V-এর সকল u এর জন্য, u + 0 = u।
• যোগের বিপরীতের অস্তিত্ব: V-এর প্রতিটি u এর জন্য, V-এর মধ্যে একটি ভেক্টর -u বিদ্যমান যেমন u + (-u) = 0।
• ভেক্টর যোগের সাপেক্ষে স্কেলার গুণনের বিতরণযোগ্যতা: সকল স্কেলার c এবং V-এর সকল u, v এর জন্য, c(u + v) = cu + cv।
• স্কেলার যোগের সাপেক্ষে স্কেলার গুণনের বিতরণযোগ্যতা: সকল স্কেলার c, d এবং V-এর সকল u এর জন্য, (c + d)u = cu + du।
• স্কেলার গুণনের সংযোগযোগ্যতা: সকল স্কেলার c, d এবং V-এর সকল u এর জন্য, c(du) = (cd)u।
• গুণনীয় অভেদের অস্তিত্ব: V-এর সকল u এর জন্য, 1u = u।

ভেক্টর স্থানের উদাহরণ

এখানে ভেক্টর স্থানগুলোর কিছু সাধারণ উদাহরণ দেওয়া হল:

• Rⁿ: বাস্তব সংখ্যার সমস্ত n-টুপলের সেট, উপাংশ-ভিত্তিক যোগ এবং স্কেলার গুণ সহ। উদাহরণস্বরূপ, R² হল পরিচিত কার্টেসিয়ান প্লেন এবং R³ ত্রিমাত্রিক স্থানকে উপস্থাপন করে। এটি ব্যাপকভাবে পদার্থবিজ্ঞানে অবস্থান এবং বেগ মডেলিংয়ের জন্য ব্যবহৃত হয়।
• Cⁿ: জটিল সংখ্যার সমস্ত n-টুপলের সেট, উপাংশ-ভিত্তিক যোগ এবং স্কেলার গুণ সহ। কোয়ান্টাম মেকানিক্সে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।
• M_m,n(R): বাস্তব ভুক্তি সহ সমস্ত m x n ম্যাট্রিক্সের সেট, ম্যাট্রিক্স যোগ এবং স্কেলার গুণ সহ। ম্যাট্রিক্সগুলি রৈখিক রূপান্তরগুলি উপস্থাপনের জন্য মৌলিক।
• P_n(R): n মাত্রার চেয়ে বেশি নয় এমন বাস্তব সহগযুক্ত সমস্ত বহুপদীর সেট, বহুপদী যোগ এবং স্কেলার গুণ সহ। আসন্নকরণ তত্ত্ব এবং সংখ্যাগত বিশ্লেষণে দরকারী।
• F(S, R): একটি সেট S থেকে বাস্তব সংখ্যায় সমস্ত ফাংশনের সেট, বিন্দুভিত্তিক যোগ এবং স্কেলার গুণ সহ। সংকেত প্রক্রিয়াকরণ এবং ডেটা বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়।

উপস্থান

একটি ভেক্টর স্থান V এর একটি উপস্থান হল V এর একটি উপসেট যা V তে সংজ্ঞায়িত যোগ এবং স্কেলার গুণনের একই ক্রিয়াকলাপের অধীনে নিজেই একটি ভেক্টর স্থান। যাচাই করার জন্য যে V এর একটি উপসেট W একটি উপস্থান, এটি দেখানো যথেষ্ট যে:

• W অ-শূন্য (প্রায়শই শূন্য ভেক্টর W তে আছে তা দেখিয়ে করা হয়)।
• W যোগের অধীনে আবদ্ধ: যদি u এবং v W-এর মধ্যে থাকে, তাহলে u + v W-এর মধ্যে থাকে।
• W স্কেলার গুণনের অধীনে আবদ্ধ: যদি u W-এর মধ্যে থাকে এবং c একটি স্কেলার হয়, তাহলে cu W-এর মধ্যে থাকে।

রৈখিক স্বাধীনতা, ভিত্তি এবং মাত্রা

একটি ভেক্টর স্থান V-এর ভেক্টরগুলির একটি সেট {v₁, v₂, ..., v_n} কে রৈখিকভাবে স্বাধীন বলা হয় যদি সমীকরণ c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_nv_n = 0 এর একমাত্র সমাধান হল c₁ = c₂ = ... = c_n = 0। অন্যথায়, সেটটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।

একটি ভেক্টর স্থান V-এর জন্য একটি ভিত্তি হল ভেক্টরগুলির একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট যা V-কে বিস্তৃত করে (অর্থাৎ, V-এর প্রতিটি ভেক্টরকে ভিত্তির ভেক্টরগুলির রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে লেখা যেতে পারে)। একটি ভেক্টর স্থান V-এর মাত্রা হল V-এর যেকোনো ভিত্তির ভেক্টর সংখ্যা। এটি ভেক্টর স্থানটির একটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য।

উদাহরণ: R³-এ, স্ট্যান্ডার্ড ভিত্তি হল {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}। R³-এর মাত্রা হল 3।

রৈখিক রূপান্তর

একটি রৈখিক রূপান্তর (বা রৈখিক ম্যাপ) হল একটি ফাংশন T: V → W দুটি ভেক্টর স্থান V এবং W-এর মধ্যে যা ভেক্টর যোগ এবং স্কেলার গুণনের ক্রিয়াগুলিকে সংরক্ষণ করে। আনুষ্ঠানিকভাবে, T-কে নিম্নলিখিত দুটি বৈশিষ্ট্য পূরণ করতে হবে:

• T(u + v) = T(u) + T(v) V-এর সকল u, v এর জন্য।
• T(cu) = cT(u) V-এর সকল u এর জন্য এবং সকল স্কেলার c এর জন্য।

রৈখিক রূপান্তরের উদাহরণ

• শূন্য রূপান্তর: T(v) = 0 V-এর সকল v এর জন্য।
• অভেদ রূপান্তর: T(v) = v V-এর সকল v এর জন্য।
• স্কেলিং রূপান্তর: T(v) = cv V-এর সকল v এর জন্য, যেখানে c একটি স্কেলার।
• R²-এ ঘূর্ণন: মূলবিন্দু সম্পর্কে θ কোণে ঘূর্ণন একটি রৈখিক রূপান্তর।
• প্রক্ষেপণ: R³-এর একটি ভেক্টরকে xy-সমতলে প্রজেক্ট করা একটি রৈখিক রূপান্তর।
• অবকলন (differentiable ফাংশনের স্থানে): ডেরিভেটিভ হল একটি রৈখিক রূপান্তর।
• ইন্টিগ্রেশন (integrable ফাংশনের স্থানে): ইন্টিগ্রাল হল একটি রৈখিক রূপান্তর।

কার্নেল এবং পরিসর

একটি রৈখিক রূপান্তর T: V → W-এর কার্নেল (বা নাল স্থান) হল V-এর সমস্ত ভেক্টরের সেট যা W-এর শূন্য ভেক্টরে ম্যাপ করা হয়েছে। আনুষ্ঠানিকভাবে, ker(T) = {v in V | T(v) = 0}। কার্নেল হল V-এর একটি উপস্থান।

একটি রৈখিক রূপান্তর T: V → W-এর পরিসর (বা চিত্র) হল W-এর সমস্ত ভেক্টরের সেট যা V-এর কিছু ভেক্টরের চিত্র। আনুষ্ঠানিকভাবে, range(T) = {w in W | w = T(v) for some v in V}। পরিসর হল W-এর একটি উপস্থান।

র‍্যাঙ্ক-নালিটি উপপাদ্য বলে যে একটি রৈখিক রূপান্তর T: V → W-এর জন্য, dim(V) = dim(ker(T)) + dim(range(T))। এই উপপাদ্যটি একটি রৈখিক রূপান্তরের কার্নেল এবং পরিসরের মাত্রার মধ্যে একটি মৌলিক সম্পর্ক প্রদান করে।

রৈখিক রূপান্তরের ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনা

V এবং W-এর জন্য ভিত্তি দেওয়া হলে, একটি রৈখিক রূপান্তর T: V → W-কে আমরা একটি ম্যাট্রিক্স হিসাবে উপস্থাপন করতে পারি। এটি আমাদের ম্যাট্রিক্স গুণ ব্যবহার করে রৈখিক রূপান্তরগুলি সম্পাদন করতে দেয়, যা গণনাগতভাবে দক্ষ। এটি বাস্তব প্রয়োগের জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

উদাহরণ: রৈখিক রূপান্তর T: R² → R² বিবেচনা করুন যা T(x, y) = (2x + y, x - 3y) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। স্ট্যান্ডার্ড ভিত্তির সাপেক্ষে T-এর ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনা হল:

অনলাইন কোর্স: এমআইটি ওপেনকোর্সওয়্যার (গিলবার্ট স্ট্র্যাং-এর লিনিয়ার অ্যালজেবরা কোর্স), খান একাডেমি (লিনিয়ার অ্যালজেবরা)

সফটওয়্যার: ম্যাটল্যাব, পাইথন (নামপাই, সাইপাই লাইব্রেরি)