الجبر الخطي في NumPy: عمليات المصفوفات وتحليلها

NumPy، اختصار لـ Numerical Python، هي حزمة أساسية للحوسبة العلمية في بايثون. توفر أدوات قوية للعمل مع المصفوفات والمصفوفات الثنائية (matrices)، مما يجعلها مكتبة ضرورية لعلماء البيانات، ومهندسي تعلم الآلة، والباحثين على مستوى العالم. يتعمق هذا الدليل في قدرات الجبر الخطي في NumPy، مع التركيز على عمليات المصفوفات وتقنيات التحليل، بالإضافة إلى أمثلة عملية ذات صلة بتحديات علم البيانات الدولية.

لماذا يعتبر الجبر الخطي حاسمًا لعلم البيانات

يشكل الجبر الخطي حجر الزاوية للعديد من خوارزميات وتقنيات علم البيانات. من المعالجة المسبقة للبيانات وتقليل الأبعاد إلى تدريب النماذج وتقييمها، يعد الفهم القوي لمفاهيم الجبر الخطي أمرًا لا غنى عنه. على وجه التحديد، يتم استخدامه على نطاق واسع في:

• تمثيل البيانات: يتيح تمثيل البيانات كمتجهات ومصفوفات تخزينًا ومعالجة فعالة.
• تعلم الآلة: تعتمد خوارزميات مثل الانحدار الخطي، وآلات المتجهات الداعمة (SVMs)، وتحليل المكونات الرئيسية (PCA) بشكل كبير على الجبر الخطي.
• معالجة الصور: يمكن تمثيل الصور كمصفوفات، مما يتيح تقنيات متنوعة لمعالجة الصور وتحليلها.
• أنظمة التوصية: تستخدم تقنيات تحليل المصفوفات لبناء توصيات مخصصة.
• تحليل الشبكات: يتيح تمثيل الشبكات كمصفوفات تجاور تحليل بنية الشبكة وخصائصها.

وحدة `linalg` في NumPy: مجموعة أدواتك للجبر الخطي

توفر NumPy وحدة مخصصة تسمى `linalg` (اختصارًا للجبر الخطي) تقدم مجموعة واسعة من الوظائف لأداء عمليات الجبر الخطي. هذه الوحدة مُحسّنة للغاية وتستفيد من الخوارزميات العددية الفعالة، مما يجعلها مناسبة للتعامل مع مجموعات البيانات الكبيرة. للوصول إلى وحدة `linalg`، تحتاج إلى استيراد NumPy أولاً:

            import numpy as np

            

              
                Copy
              
            
          

عمليات المصفوفات الأساسية

لنبدأ ببعض عمليات المصفوفات الأساسية باستخدام NumPy:

إنشاء المصفوفات

يمكنك إنشاء مصفوفات باستخدام مصفوفات NumPy. إليك بعض الأمثلة:

            # Creating a 2x3 matrix
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
print("Matrix A:")
print(A)

# Creating a 3x2 matrix
B = np.array([[7, 8], [9, 10], [11, 12]])
print("\nMatrix B:")
print(B)

            

              
                Copy
              
            
          

جمع وطرح المصفوفات

جمع وطرح المصفوفات هي عمليات عنصر بعنصر وتتطلب مصفوفات بنفس الشكل.

            # Matrix addition
C = A + np.array([[1,1,1],[1,1,1]])
print("\nMatrix C (A + [[1,1,1],[1,1,1]]):")
print(C)

# Matrix subtraction
D = A - np.array([[1,1,1],[1,1,1]])
print("\nMatrix D (A - [[1,1,1],[1,1,1]]):")
print(D)


# Example demonstrating shape mismatch (will result in an error)
# A + B # This will throw an error because A and B have different shapes

            

              
                Copy
              
            
          

ضرب المصفوفات

ضرب المصفوفات هو عملية أكثر تعقيدًا من الجمع أو الطرح. يجب أن يساوي عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى عدد الصفوف في المصفوفة الثانية. توفر NumPy دالة `np.dot()` أو العامل `@` لضرب المصفوفات.

            # Matrix multiplication using np.dot()
C = np.dot(A, B)
print("\nMatrix C (A * B using np.dot()):")
print(C)

# Matrix multiplication using the @ operator (Python 3.5+)
D = A @ B
print("\nMatrix D (A @ B):")
print(D)

            

              
                Copy
              
            
          

الضرب العنصري (جداء هادامارد)

إذا كنت ترغب في إجراء ضرب عنصر بعنصر، يمكنك استخدام العامل `*` مباشرة على مصفوفات NumPy. لاحظ أن المصفوفات يجب أن تكون لها نفس الشكل.

            # Element-wise multiplication
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])
C = A * B
print("\nElement-wise multiplication (A * B):")
print(C)

            

              
                Copy
              
            
          

منقول المصفوفة (Transpose)

يتم الحصول على منقول المصفوفة بتبديل صفوفها وأعمدتها. يمكنك استخدام السمة `.T` أو الدالة `np.transpose()`.

            # Matrix transpose
print("\nMatrix A:")
print(A)
print("\nTranspose of A (A.T):")
print(A.T)

print("\nTranspose of A using np.transpose(A):")
print(np.transpose(A))

            

              
                Copy
              
            
          

مقلوب المصفوفة

مقلوب المصفوفة المربعة (إذا كان موجودًا) هو مصفوفة، عند ضربها بالمصفوفة الأصلية، ينتج عنها مصفوفة الوحدة. يمكنك استخدام الدالة `np.linalg.inv()` لحساب المقلوب.

            # Matrix inverse
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

try:
  A_inv = np.linalg.inv(A)
  print("\nInverse of A:")
  print(A_inv)

  # Verify that A * A_inv is approximately the identity matrix
  identity = np.dot(A, A_inv)
  print("\nA * A_inv:")
  print(identity)

except np.linalg.LinAlgError:
  print("\nMatrix A is singular (non-invertible).")


# Example of a singular matrix (non-invertible)
B = np.array([[1, 2], [2, 4]])

try:
  B_inv = np.linalg.inv(B)
  print("\nInverse of B:")
  print(B_inv)

except np.linalg.LinAlgError:
  print("\nMatrix B is singular (non-invertible).")

            

              
                Copy
              
            
          

مُحدد المصفوفة

المُحدد هو قيمة عددية يمكن حسابها من عناصر مصفوفة مربعة وتشفّر خصائص معينة للتحويل الخطي الذي تصفه المصفوفة. وهو مفيد للتحقق من قابلية الانعكاس. تقوم `np.linalg.det()` بحساب ذلك.

            A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
determinant = np.linalg.det(A)
print("\nDeterminant of A:", determinant)

            

              
                Copy
              
            
          

تقنيات تحليل المصفوفات

تحليل المصفوفات (المعروف أيضًا باسم تفكيك المصفوفات) هو عملية تقسيم مصفوفة إلى حاصل ضرب مصفوفات أبسط. تستخدم هذه التقنيات على نطاق واسع في تقليل الأبعاد، وأنظمة التوصية، وحل الأنظمة الخطية.

تحليل القيمة المفردة (SVD)

تحليل القيمة المفردة (SVD) هو تقنية قوية تقوم بتحليل المصفوفة إلى ثلاث مصفوفات: U، S، و V^T، حيث U و V مصفوفات متعامدة و S مصفوفة قطرية تحتوي على القيم المفردة. يمكن تطبيق SVD على أي مصفوفة (حتى المصفوفات غير المربعة).

توفر NumPy الدالة `np.linalg.svd()` لأداء تحليل SVD.

            # Singular Value Decomposition
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
U, s, V = np.linalg.svd(A)

print("\nU:")
print(U)
print("\ns:")
print(s)
print("\nV:")
print(V)

#Reconstruct A
S = np.zeros(A.shape)
S[:A.shape[0], :A.shape[0]] = np.diag(s)
B = U.dot(S.dot(V))
print("\nReconstructed A:")
print(B)

            

              
                Copy
              
            
          

تطبيقات SVD:

• تقليل الأبعاد: من خلال الاحتفاظ بأكبر القيم المفردة والمتجهات المفردة المقابلة فقط، يمكنك تقليل أبعاد البيانات مع الحفاظ على أهم المعلومات. هذا هو الأساس لتحليل المكونات الرئيسية (PCA).
• ضغط الصور: يمكن استخدام SVD لضغط الصور عن طريق تخزين أهم القيم والمتجهات المفردة فقط.
• أنظمة التوصية: تستخدم تقنيات تحليل المصفوفات القائمة على SVD للتنبؤ بتفضيلات المستخدمين وبناء توصيات مخصصة.

مثال: ضغط الصور باستخدام SVD

تخيل صورة ممثلة كمصفوفة. يتيح تطبيق SVD والاحتفاظ بمجموعة فرعية فقط من القيم المفردة ضغط الصورة بأقل قدر من فقدان المعلومات. هذه التقنية ذات قيمة خاصة لنقل الصور عبر الشبكات ذات النطاق الترددي المحدود في البلدان النامية أو لتحسين مساحة التخزين على الأجهزة محدودة الموارد عالميًا.

            # Import necessary libraries (example using matplotlib for image loading)
import matplotlib.pyplot as plt
from PIL import Image  # For reading and manipulating images

# Load an image (replace 'image.jpg' with your image file)
try:
    img = Image.open('image.jpg').convert('L') # Ensure grayscale for simplicity
    img_array = np.array(img)

    # Perform SVD
    U, s, V = np.linalg.svd(img_array)

    # Choose the number of singular values to keep (adjust for desired compression)
    k = 50 # Example: keep the top 50 singular values

    # Reconstruct the image using only the top k singular values
    S = np.zeros(img_array.shape)
    S[:img_array.shape[0], :img_array.shape[0]] = np.diag(s)
    S = S[:, :k]
    V = V[:k, :]
    reconstructed_img = U.dot(S.dot(V))

    # Clip values to the valid range [0, 255] for image display
    reconstructed_img = np.clip(reconstructed_img, 0, 255).astype('uint8')

    # Display the original and reconstructed images
    plt.figure(figsize=(10, 5))

    plt.subplot(1, 2, 1)
    plt.imshow(img_array, cmap='gray')
    plt.title('Original Image')

    plt.subplot(1, 2, 2)
    plt.imshow(reconstructed_img, cmap='gray')
    plt.title(f'Reconstructed Image (k={k})')

    plt.show()

except FileNotFoundError:
    print("Error: image.jpg not found. Please make sure the image file exists in the same directory.")
except Exception as e:
    print(f"An error occurred: {e}")

            

              
                Copy
              
            
          

هام: استبدل `image.jpg` باسم ملف صورة صالح موجود في دليلك الحالي. قد تحتاج إلى تثبيت Pillow (`pip install Pillow`) إذا لم تكن قد فعلت ذلك بالفعل. وتأكد أيضًا من تثبيت `matplotlib` (`pip install matplotlib`).

تحليل القيمة الذاتية

يقوم تحليل القيمة الذاتية بتحليل مصفوفة مربعة إلى متجهات ذاتية وقيم ذاتية. المتجهات الذاتية هي متجهات خاصة، عند ضربها بالمصفوفة، تتغير في الحجم فقط (وليس الاتجاه)، وتمثل القيم الذاتية عامل التوسع. يعمل هذا التحليل فقط على المصفوفات المربعة.

توفر NumPy الدالة `np.linalg.eig()` لأداء تحليل القيمة الذاتية.

            # Eigenvalue Decomposition
A = np.array([[1, 2], [2, 1]])
w, v = np.linalg.eig(A)

print("\nEigenvalues:")
print(w)
print("\nEigenvectors:")
print(v)

# Verify that A * v[:,0] = w[0] * v[:,0]
first_eigenvector = v[:,0]
first_eigenvalue = w[0]

result_left = np.dot(A, first_eigenvector)
result_right = first_eigenvalue * first_eigenvector

print("\nA * eigenvector:")
print(result_left)
print("\neigenvalue * eigenvector:")
print(result_right)

# Demonstrate reconstructing the matrix
Q = v
R = np.diag(w)
B = Q @ R @ np.linalg.inv(Q)

print("\nReconstructed Matrix:")
print(B)

            

              
                Copy
              
            
          

تطبيقات تحليل القيمة الذاتية:

• تحليل المكونات الرئيسية (PCA): يستخدم PCA تحليل القيمة الذاتية لتحديد المكونات الرئيسية (اتجاهات التباين الأقصى) في البيانات.
• تحليل الاهتزازات: في الهندسة، يستخدم تحليل القيمة الذاتية لتحليل الترددات الطبيعية وأنماط الاهتزاز للهياكل.
• خوارزمية PageRank من Google: تستخدم نسخة مبسطة من PageRank القيم الذاتية لمصفوفة الروابط لتحديد أهمية صفحات الويب.

تحليل LU

يقوم تحليل LU بتحليل مصفوفة مربعة A إلى مصفوفة مثلثية سفلية L ومصفوفة مثلثية علوية U، بحيث A = LU. يستخدم هذا التحليل غالبًا لحل أنظمة المعادلات الخطية بكفاءة.

            from scipy.linalg import lu

A = np.array([[2, 5, 8, 7], [5, 2, 2, 8], [7, 5, 6, 6], [5, 4, 4, 8]])
P, L, U = lu(A)

print("\nP (Permutation Matrix):")
print(P)
print("\nL (Lower Triangular Matrix):")
print(L)
print("\nU (Upper Triangular Matrix):")
print(U)

#Verify that P @ A == L @ U
print("\nP @ A:")
print(P @ A)
print("\nL @ U:")
print(L @ U)

            

              
                Copy
              
            
          

تطبيقات تحليل LU:

• حل الأنظمة الخطية: تحليل LU هو طريقة فعالة للغاية لحل نظام من المعادلات الخطية، خاصة إذا كان عليك حل النظام عدة مرات بنفس المصفوفة ولكن بمتجهات مختلفة على الجانب الأيمن.
• حساب المحددات: يمكن حساب محدد المصفوفة A بسهولة من محددات L و U.

حل أنظمة المعادلات الخطية

أحد أكثر تطبيقات الجبر الخطي شيوعًا هو حل أنظمة المعادلات الخطية. توفر NumPy الدالة `np.linalg.solve()` لهذا الغرض.

لننظر إلى نظام المعادلات التالي:

3x + y = 9
x + 2y = 8

يمكن تمثيل هذا في شكل مصفوفة كالتالي:

Ax = b

where:
A = [[3, 1],
     [1, 2]]
x = [[x],
     [y]]
b = [[9],
     [8]]

يمكنك حل هذا النظام باستخدام `np.linalg.solve()`:

            # Solving a system of linear equations
A = np.array([[3, 1], [1, 2]])
b = np.array([9, 8])

x = np.linalg.solve(A, b)
print("\nSolution:")
print(x)

            

              
                Copy
              
            
          

حلول المربعات الصغرى

عندما لا يكون لنظام المعادلات الخطية حل دقيق (على سبيل المثال، بسبب بيانات مشوشة أو نظام مفرط التحديد)، يمكنك إيجاد حل المربعات الصغرى الذي يقلل الخطأ إلى أدنى حد. توفر NumPy الدالة `np.linalg.lstsq()` لهذا الغرض.

            # Least squares solution
A = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
b = np.array([3, 7, 11])

x, residuals, rank, s = np.linalg.lstsq(A, b, rcond=None)
print("\nLeast Squares Solution:")
print(x)
print("\nResiduals:")
print(residuals)
print("\nRank of A:")
print(rank)
print("\nSingular values of A:")
print(s)

            

              
                Copy
              
            
          

أمثلة عملية وتطبيقات عالمية

النمذجة المالية

يستخدم الجبر الخطي على نطاق واسع في النمذجة المالية لتحسين المحافظ، وإدارة المخاطر، وتسعير المشتقات. على سبيل المثال، يستخدم تحسين محفظة ماركويتز عمليات المصفوفات لإيجاد التوزيع الأمثل للأصول الذي يقلل المخاطر لمستوى معين من العائد. تعتمد شركات الاستثمار العالمية على هذه التقنيات لإدارة مليارات الدولارات من الأصول، والتكيف مع ظروف السوق المتنوعة عبر مختلف البلدان.

نمذجة المناخ

غالبًا ما تتضمن نماذج المناخ حل أنظمة كبيرة من المعادلات التفاضلية الجزئية، والتي يتم تقطيعها وتقريبها باستخدام تقنيات الجبر الخطي. تحاكي هذه النماذج عمليات الغلاف الجوي والمحيطات المعقدة للتنبؤ بآثار تغير المناخ، مما يساهم في اتخاذ القرارات السياسية على المستويات الوطنية والدولية. يستخدم الباحثون في جميع أنحاء العالم هذه النماذج لفهم وتخفيف آثار تغير المناخ.

تحليل الشبكات الاجتماعية

يمكن تمثيل الشبكات الاجتماعية كرسوم بيانية، ويمكن استخدام الجبر الخطي لتحليل هيكلها وخصائصها. على سبيل المثال، تستخدم خوارزمية PageRank (المذكورة سابقًا) تحليل القيمة الذاتية لترتيب أهمية العقد (مثل صفحات الويب أو المستخدمين) في الشبكة. تستفيد شركات وسائل التواصل الاجتماعي من هذه التحليلات لفهم سلوك المستخدمين، وتحديد المستخدمين المؤثرين، واستهداف الإعلانات بفعالية.

أنظمة التوصية (التجارة الإلكترونية العالمية)

تستفيد منصات التجارة الإلكترونية العالمية، التي تعمل في بلدان ولغات متعددة، من تقنيات تحليل المصفوفات لبناء أنظمة توصية مخصصة. من خلال تحليل سجل شراء المستخدم وتقييمات المنتجات، تتوقع هذه الأنظمة المنتجات التي قد يهتم بها المستخدم، مما يحسن رضا العملاء ويدفع المبيعات. SVD والأساليب المماثلة هي جوهر العديد من هذه الأنظمة.

أفضل الممارسات واعتبارات الأداء

• التوجيه (Vectorization): استفد من العمليات المتجهة في NumPy كلما أمكن لتجنب الحلقات الصريحة، التي تكون أبطأ بشكل عام.
• أنواع البيانات: اختر أنواع البيانات المناسبة (مثل `float32` بدلاً من `float64`) لتقليل استهلاك الذاكرة وتحسين الأداء، خاصةً لمجموعات البيانات الكبيرة.
• مكتبات BLAS/LAPACK: تعتمد NumPy على مكتبات BLAS (البرامج الفرعية الأساسية للجبر الخطي) وLAPACK (حزمة الجبر الخطي) المُحسّنة للحسابات العددية الفعالة. تأكد من تثبيت تطبيق BLAS/LAPACK مُحسّن جيدًا (مثل OpenBLAS، MKL).
• إدارة الذاكرة: كن حذرًا بشأن استخدام الذاكرة عند العمل مع المصفوفات الكبيرة. تجنب إنشاء نسخ غير ضرورية من البيانات.

الخاتمة

توفر قدرات الجبر الخطي في NumPy أساسًا قويًا لمجموعة واسعة من مهام علم البيانات. من خلال إتقان عمليات المصفوفات، وتقنيات التحليل، وممارسات البرمجة الفعالة، يمكن لعلماء البيانات معالجة المشكلات المعقدة واستخلاص رؤى قيمة من البيانات. من التمويل ونمذجة المناخ إلى تحليل الشبكات الاجتماعية والتجارة الإلكترونية العالمية، تطبيقات الجبر الخطي واسعة وتستمر في النمو.

مصادر إضافية

• توثيق NumPy: https://numpy.org/doc/stable/reference/routines.linalg.html
• ملاحظات محاضرة SciPy: https://scipy-lectures.org/index.html
• كتب الجبر الخطي: ابحث عن الكتب المدرسية القياسية في الجبر الخطي لمؤلفين مثل Gilbert Strang أو David C. Lay للحصول على معالجة أعمق للنظرية الأساسية.