التمويل الرياضي: دليل شامل لنماذج تسعير الخيارات

يطبق التمويل الرياضي الأساليب الرياضية والإحصائية لحل المشكلات المالية. ومن المجالات المحورية في هذا الحقل تسعير الخيارات، والذي يهدف إلى تحديد القيمة العادلة لعقود الخيارات. تمنح الخيارات حاملها *الحق*، وليس الالتزام، في شراء أو بيع أصل أساسي بسعر محدد مسبقًا (سعر التنفيذ) في تاريخ محدد أو قبله (تاريخ انتهاء الصلاحية). يستكشف هذا الدليل المفاهيم الأساسية والنماذج المستخدمة على نطاق واسع لتسعير الخيارات.

فهم الخيارات: منظور عالمي

يتم تداول عقود الخيارات عالميًا في البورصات المنظمة والأسواق غير المنظمة (OTC). وتعدد استخداماتها يجعلها أدوات أساسية لإدارة المخاطر والمضاربة وتحسين المحافظ الاستثمارية للمستثمرين والمؤسسات في جميع أنحاء العالم. يتطلب فهم الفروق الدقيقة في الخيارات فهمًا راسخًا للمبادئ الرياضية الأساسية.

أنواع الخيارات

• خيار الشراء (Call Option): يمنح حامله الحق في *شراء* الأصل الأساسي.
• خيار البيع (Put Option): يمنح حامله الحق في *بيع* الأصل الأساسي.

أنماط الخيارات

• الخيار الأوروبي: لا يمكن ممارسته إلا في تاريخ انتهاء الصلاحية.
• الخيار الأمريكي: يمكن ممارسته في أي وقت حتى تاريخ انتهاء الصلاحية بما في ذلك ذلك اليوم.
• الخيار الآسيوي: يعتمد العائد على متوسط سعر الأصل الأساسي خلال فترة زمنية معينة.

نموذج بلاك-شولز: حجر الزاوية في تسعير الخيارات

يعد نموذج بلاك-شولز، الذي طوره فيشر بلاك ومايرون شولز (مع مساهمات كبيرة من روبرت ميرتون)، حجر الزاوية في نظرية تسعير الخيارات. فهو يوفر تقديرًا نظريًا لسعر الخيارات ذات النمط الأوروبي. أحدث هذا النموذج ثورة في عالم المال وحصل شولز وميرتون بفضله على جائزة نوبل في الاقتصاد عام 1997. من الأهمية بمكان فهم افتراضات النموذج وقيوده لتطبيقه بشكل صحيح.

افتراضات نموذج بلاك-شولز

يعتمد نموذج بلاك-شولز على عدة افتراضات رئيسية:

• التقلب الثابت: تقلب الأصل الأساسي ثابت على مدى عمر الخيار. غالبًا ما لا يكون هذا هو الحال في الأسواق الحقيقية.
• سعر الفائدة الخالي من المخاطر ثابت: سعر الفائدة الخالي من المخاطر ثابت. في الممارسة العملية، تتقلب أسعار الفائدة.
• عدم وجود توزيعات أرباح: لا يدفع الأصل الأساسي أي توزيعات أرباح خلال حياة الخيار. يمكن تعديل هذا الافتراض للأصول التي تدفع أرباحًا.
• كفاءة السوق: السوق فعال، مما يعني أن المعلومات تنعكس فورًا في الأسعار.
• التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي: يتم توزيع عوائد الأصل الأساسي توزيعًا لوغاريتميًا طبيعيًا.
• النمط الأوروبي: لا يمكن ممارسة الخيار إلا عند انتهاء الصلاحية.
• سوق بدون احتكاك: لا توجد تكاليف معاملات أو ضرائب.

صيغة بلاك-شولز

صيغ بلاك-شولز لخيارات الشراء والبيع هي كما يلي:

سعر خيار الشراء (C):

C = S * N(d1) - K * e^(-rT) * N(d2)

سعر خيار البيع (P):

P = K * e^(-rT) * N(-d2) - S * N(-d1)

حيث:

• S = السعر الحالي للأصل الأساسي
• K = سعر التنفيذ للخيار
• r = سعر الفائدة الخالي من المخاطر
• T = الوقت حتى انتهاء الصلاحية (بالسنوات)
• N(x) = دالة التوزيع الطبيعي المعياري التراكمي
• e = أساس اللوغاريتم الطبيعي (حوالي 2.71828)
• d1 = [ln(S/K) + (r + (σ^2)/2) * T] / (σ * sqrt(T))
• d2 = d1 - σ * sqrt(T)
• σ = تقلب الأصل الأساسي

مثال عملي: تطبيق نموذج بلاك-شولز

لنفترض وجود خيار شراء أوروبي على سهم يتم تداوله في بورصة فرانكفورت (DAX). افترض أن سعر السهم الحالي (S) هو 150 يورو، وسعر التنفيذ (K) هو 160 يورو، وسعر الفائدة الخالي من المخاطر (r) هو 2% (0.02)، والوقت حتى انتهاء الصلاحية (T) هو 0.5 سنة، والتقلب (σ) هو 25% (0.25). باستخدام صيغة بلاك-شولز، يمكننا حساب السعر النظري لخيار الشراء.

1. احسب d1: d1 = [ln(150/160) + (0.02 + (0.25^2)/2) * 0.5] / (0.25 * sqrt(0.5)) ≈ -0.055
2. احسب d2: d2 = -0.055 - 0.25 * sqrt(0.5) ≈ -0.232
3. أوجد N(d1) و N(d2) باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري أو آلة حاسبة: N(-0.055) ≈ 0.478, N(-0.232) ≈ 0.408
4. احسب سعر خيار الشراء: C = 150 * 0.478 - 160 * e^(-0.02 * 0.5) * 0.408 ≈ €10.08

لذلك، فإن السعر النظري لخيار الشراء الأوروبي هو حوالي 10.08 يورو.

القيود والتحديات

على الرغم من استخدامه على نطاق واسع، فإن لنموذج بلاك-شولز قيودًا. غالبًا ما يتم انتهاك افتراض التقلب الثابت في الأسواق الحقيقية، مما يؤدي إلى وجود اختلافات بين سعر النموذج وسعر السوق. كما يواجه النموذج صعوبة في تسعير الخيارات ذات الميزات المعقدة بدقة، مثل خيارات الحاجز أو الخيارات الآسيوية.

ما بعد بلاك-شولز: نماذج تسعير الخيارات المتقدمة

للتغلب على قيود نموذج بلاك-شولز، تم تطوير نماذج متقدمة مختلفة. تتضمن هذه النماذج افتراضات أكثر واقعية حول سلوك السوق ويمكنها التعامل مع مجموعة أوسع من أنواع الخيارات.

نماذج التقلب العشوائي

تدرك نماذج التقلب العشوائي أن التقلب ليس ثابتًا ولكنه يتغير عشوائيًا بمرور الوقت. تتضمن هذه النماذج عملية عشوائية لوصف تطور التقلب. تشمل الأمثلة نموذج هيستون ونموذج SABR. توفر هذه النماذج بشكل عام ملاءمة أفضل لبيانات السوق، خاصة للخيارات ذات الآجال الأطول.

نماذج الانتشار بالقفز

تأخذ نماذج الانتشار بالقفز في الاعتبار إمكانية حدوث قفزات مفاجئة وغير مستمرة في أسعار الأصول. يمكن أن تكون هذه القفزات ناجمة عن أحداث إخبارية غير متوقعة أو صدمات في السوق. يعد نموذج ميرتون للانتشار بالقفز مثالًا كلاسيكيًا. هذه النماذج مفيدة بشكل خاص لتسعير الخيارات على الأصول المعرضة لتقلبات الأسعار المفاجئة، مثل السلع أو الأسهم في القطاعات المتقلبة مثل التكنولوجيا.

نموذج الشجرة ذات الحدين

نموذج الشجرة ذات الحدين هو نموذج زمني متقطع يقرب تحركات أسعار الأصل الأساسي باستخدام شجرة ذات حدين. إنه نموذج متعدد الاستخدامات يمكنه التعامل مع الخيارات ذات النمط الأمريكي والخيارات ذات العوائد المعتمدة على المسار. يعد نموذج كوكس-روس-روبنشتاين (CRR) مثالاً شائعًا. مرونته تجعله مفيدًا لتدريس مفاهيم تسعير الخيارات ولتسعير الخيارات التي لا يتوفر لها حل مغلق الشكل.

طرق الفروق المحدودة

طرق الفروق المحدودة هي تقنيات عددية لحل المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs). يمكن استخدام هذه الطرق لتسعير الخيارات عن طريق حل معادلة بلاك-شولز التفاضلية الجزئية. وهي مفيدة بشكل خاص لتسعير الخيارات ذات الميزات المعقدة أو الشروط الحدودية. يوفر هذا النهج تقديرات عددية لأسعار الخيارات عن طريق تقسيم مجالات الوقت وسعر الأصل.

التقلب الضمني: قياس توقعات السوق

التقلب الضمني هو التقلب الذي يشير إليه سعر السوق لخيار ما. إنها قيمة التقلب التي، عند إدخالها في نموذج بلاك-شولز، تنتج سعر السوق الملحوظ للخيار. يعد التقلب الضمني مقياسًا تطلعيًا يعكس توقعات السوق لتقلبات الأسعار المستقبلية. غالبًا ما يتم ذكره كنسبة مئوية سنوية.

ابتسامة/انحراف التقلب

في الممارسة العملية، غالبًا ما يختلف التقلب الضمني عبر أسعار التنفيذ المختلفة للخيارات التي لها نفس تاريخ انتهاء الصلاحية. تُعرف هذه الظاهرة باسم ابتسامة التقلب (للخيارات على الأسهم) أو انحراف التقلب (للخيارات على العملات). يوفر شكل ابتسامة/انحراف التقلب رؤى حول معنويات السوق وتجنب المخاطر. على سبيل المثال، قد يشير الانحراف الأكثر حدة إلى زيادة الطلب على الحماية من الجانب السلبي، مما يشير إلى أن المستثمرين أكثر قلقًا بشأن انهيارات السوق المحتملة.

استخدام التقلب الضمني

التقلب الضمني هو مدخل حاسم لمتداولي الخيارات ومديري المخاطر. يساعدهم على:

• تقييم القيمة النسبية للخيارات.
• تحديد فرص التداول المحتملة.
• إدارة المخاطر عن طريق التحوط من التعرض للتقلبات.
• قياس معنويات السوق.

الخيارات الغريبة: التخصيص لتلبية احتياجات محددة

الخيارات الغريبة هي خيارات ذات ميزات أكثر تعقيدًا من الخيارات الأوروبية أو الأمريكية القياسية. غالبًا ما يتم تصميم هذه الخيارات لتلبية الاحتياجات المحددة للمستثمرين المؤسسيين أو الشركات. تشمل الأمثلة خيارات الحاجز، والخيارات الآسيوية، وخيارات الاسترجاع، وخيارات كليكيه. يمكن أن تعتمد عوائدها على عوامل مثل مسار الأصل الأساسي، أو أحداث محددة، أو أداء أصول متعددة.

خيارات الحاجز

خيارات الحاجج لها عائد يعتمد على ما إذا كان سعر الأصل الأساسي يصل إلى مستوى حاجز محدد مسبقًا خلال حياة الخيار. إذا تم اختراق الحاجز، فقد يبدأ الخيار في الوجود (knock-in) أو يتوقف عن الوجود (knock-out). غالبًا ما تستخدم هذه الخيارات للتحوط من مخاطر معينة أو للمضاربة على احتمالية وصول سعر الأصل إلى مستوى معين. وهي بشكل عام أرخص من الخيارات القياسية.

الخيارات الآسيوية

الخيارات الآسيوية (المعروفة أيضًا باسم خيارات متوسط السعر) لها عائد يعتمد على متوسط سعر الأصل الأساسي خلال فترة محددة. يمكن أن يكون هذا متوسطًا حسابيًا أو هندسيًا. غالبًا ما تستخدم الخيارات الآسيوية للتحوط من التعرض للسلع أو العملات حيث يمكن أن يكون تقلب الأسعار كبيرًا. وهي بشكل عام أرخص من الخيارات القياسية بسبب تأثير المتوسط الذي يقلل من التقلب.

خيارات الاسترجاع

تسمح خيارات الاسترجاع للحامل بشراء أو بيع الأصل الأساسي بأفضل سعر لوحظ خلال حياة الخيار. إنها توفر إمكانية تحقيق أرباح كبيرة إذا تحرك سعر الأصل بشكل إيجابي، لكنها تأتي أيضًا بعلاوة أعلى.

إدارة المخاطر باستخدام الخيارات

الخيارات هي أدوات قوية لإدارة المخاطر. يمكن استخدامها للتحوط من أنواع مختلفة من المخاطر، بما في ذلك مخاطر الأسعار ومخاطر التقلبات ومخاطر أسعار الفائدة. تشمل استراتيجيات التحوط الشائعة خيارات الشراء المغطاة، وخيارات البيع الوقائية، والمزدوجات (straddles). تسمح هذه الاستراتيجيات للمستثمرين بحماية محافظهم من تحركات السوق السلبية أو الاستفادة من ظروف السوق المحددة.

تحوط دلتا

يتضمن تحوط دلتا تعديل مركز المحفظة في الأصل الأساسي لتعويض دلتا الخيارات المحتفظ بها في المحفظة. تقيس دلتا الخيار حساسية سعر الخيار للتغيرات في سعر الأصل الأساسي. من خلال تعديل التحوط ديناميكيًا، يمكن للمتداولين تقليل تعرضهم لمخاطر الأسعار. هذه تقنية شائعة يستخدمها صناع السوق.

تحوط جاما

يتضمن تحوط جاما تعديل مركز المحفظة في الخيارات لتعويض جاما المحفظة. تقيس جاما الخيار حساسية دلتا الخيار للتغيرات في سعر الأصل الأساسي. يستخدم تحوط جاما لإدارة المخاطر المرتبطة بتحركات الأسعار الكبيرة.

تحوط فيجا

يتضمن تحوط فيجا تعديل مركز المحفظة في الخيارات لتعويض فيجا المحفظة. تقيس فيجا الخيار حساسية سعر الخيار للتغيرات في تقلب الأصل الأساسي. يستخدم تحوط فيجا لإدارة المخاطر المرتبطة بالتغيرات في تقلبات السوق.

أهمية المعايرة والتحقق

لا تكون نماذج تسعير الخيارات الدقيقة فعالة إلا إذا تمت معايرتها والتحقق منها بشكل صحيح. تتضمن المعايرة تعديل معلمات النموذج لتناسب أسعار السوق الملحوظة. يتضمن التحقق اختبار أداء النموذج على البيانات التاريخية لتقييم دقته وموثوقيته. هذه العمليات ضرورية لضمان أن النموذج ينتج نتائج معقولة وجديرة بالثقة. يعد الاختبار الخلفي باستخدام البيانات التاريخية أمرًا بالغ الأهمية لتحديد التحيزات أو نقاط الضعف المحتملة في النموذج.

مستقبل تسعير الخيارات

يستمر مجال تسعير الخيارات في التطور. يعمل الباحثون باستمرار على تطوير نماذج وتقنيات جديدة لمواجهة تحديات تسعير الخيارات في أسواق تزداد تعقيدًا وتقلبًا. تشمل مجالات البحث النشط ما يلي:

• التعلم الآلي: استخدام خوارزميات التعلم الآلي لتحسين دقة وكفاءة نماذج تسعير الخيارات.
• التعلم العميق: استكشاف تقنيات التعلم العميق لالتقاط الأنماط المعقدة في بيانات السوق وتحسين التنبؤ بالتقلبات.
• تحليل البيانات عالية التردد: استخدام البيانات عالية التردد لتحسين نماذج تسعير الخيارات واستراتيجيات إدارة المخاطر.
• الحوسبة الكمومية: التحقيق في إمكانات الحوسبة الكمومية لحل مشاكل تسعير الخيارات المعقدة.

الخاتمة

تسعير الخيارات هو مجال معقد ورائع في التمويل الرياضي. يعد فهم المفاهيم والنماذج الأساسية التي نوقشت في هذا الدليل أمرًا ضروريًا لأي شخص يشارك في تداول الخيارات أو إدارة المخاطر أو الهندسة المالية. من نموذج بلاك-شولز التأسيسي إلى نماذج التقلب العشوائي والانتشار بالقفز المتقدمة، يقدم كل نهج رؤى فريدة حول سلوك أسواق الخيارات. من خلال مواكبة أحدث التطورات في هذا المجال، يمكن للمهنيين اتخاذ قرارات أكثر استنارة وإدارة المخاطر بشكل أكثر فعالية في المشهد المالي العالمي.