إتقان عمليات مصفوفات NumPy: محرك الحسابات الرياضية

في المشهد الواسع والمتطور بسرعة لعلم البيانات، والحوسبة العلمية، والذكاء الاصطناعي، تعتبر القدرة على إجراء حسابات رياضية فعالة وقوية أمرًا بالغ الأهمية. في قلب العديد من المساعي العددية القائمة على بايثون يكمن NumPy، المكتبة الأساسية للعمليات العددية. تم تصميم هيكل بيانات NumPy الأساسي، ndarray (مصفوفة N-الأبعاد)، لمعالجة المصفوفات عالية الأداء والعمليات الرياضية، مما يجعلها أداة لا غنى عنها للمحترفين في جميع أنحاء العالم.

تتعمق هذه المدونة الشاملة في عمليات مصفوفات NumPy، مما يوفر منظورًا عالميًا للأفراد من خلفيات وثقافات وتجارب مهنية متنوعة. سنستكشف المفاهيم الأساسية والتقنيات المتقدمة والتطبيقات العملية، مما يزودك بالمعرفة اللازمة للاستفادة من قوة NumPy بشكل فعال.

لماذا NumPy للحسابات الرياضية؟

قبل أن نتعمق في عمليات محددة، من الضروري فهم سبب تحول NumPy إلى معيار واقعي للحسابات العددية في بايثون:

• الأداء: يتم تنفيذ مصفوفات NumPy في C، مما يجعلها أسرع بكثير من قوائم بايثون المضمنة للعمليات العددية. هذا التحسن في الأداء أمر بالغ الأهمية للتعامل مع مجموعات البيانات الكبيرة الشائعة في مجالات مثل التعلم الآلي والمحاكاة العلمية.
• كفاءة الذاكرة: تخزن مصفوفات NumPy أنواع بيانات متجانسة، مما يسمح باستخدام ذاكرة أكثر إحكاما مقارنة بقوائم بايثون التي يمكن أن تحتوي على عناصر من أنواع مختلفة.
• الملاءمة: توفر NumPy مجموعة غنية من الدوال الرياضية وقدرات معالجة المصفوفات التي تبسط المهام العددية المعقدة.
• تكامل النظام البيئي: تعمل NumPy بمثابة العمود الفقري للعديد من مكتبات بايثون القوية الأخرى، بما في ذلك SciPy و Pandas و Matplotlib و Scikit-learn و TensorFlow. تعتبر الكفاءة في NumPy ضرورية للعمل بفعالية مع هذه الأدوات.

فهم NumPy ndarray

ndarray هو الكائن المركزي في NumPy. إنها مصفوفة متعددة الأبعاد من العناصر من نفس النوع. تشمل الخصائص الرئيسية لـ ndarray ما يلي:

• الشكل: أبعاد المصفوفة، ممثلة ك tuple (مثل (3, 4) لمصفوفة 3x4).
• نوع البيانات (dtype): نوع العناصر المخزنة في المصفوفة (مثل int64، float64، bool).
• المحاور: أبعاد المصفوفة. تحتوي المصفوفة أحادية البعد على محور واحد، وتحتوي المصفوفة ثنائية الأبعاد على محورين، وهكذا.

إنشاء مصفوفات NumPy

توجد عدة طرق لإنشاء مصفوفات NumPy. فيما يلي بعض الطرق الشائعة:

من قوائم بايثون:

            import numpy as np

# 1D array
list_1d = [1, 2, 3, 4, 5]
arr_1d = np.array(list_1d)
print(arr_1d)

# 2D array
list_2d = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]
arr_2d = np.array(list_2d)
print(arr_2d)

            

              
                Copy
              
            
          

باستخدام دوال NumPy المضمنة:

            # Array of zeros
arr_zeros = np.zeros((3, 4)) # Creates a 3x4 array filled with zeros
print(arr_zeros)

# Array of ones
arr_ones = np.ones((2, 3))  # Creates a 2x3 array filled with ones
print(arr_ones)

# Array with a specific value
arr_full = np.full((2, 2), 7) # Creates a 2x2 array filled with 7
print(arr_full)

# Identity matrix
arr_identity = np.eye(3)    # Creates a 3x3 identity matrix
print(arr_identity)

# Array with a range of values
arr_range = np.arange(0, 10, 2) # Creates an array from 0 to 10 (exclusive) with step 2
print(arr_range)

# Array with evenly spaced values
arr_linspace = np.linspace(0, 1, 5) # Creates 5 evenly spaced values between 0 and 1 (inclusive)
print(arr_linspace)

            

              
                Copy
              
            
          

العمليات الأساسية على المصفوفات

تتفوق NumPy في إجراء العمليات عنصرًا بعنصر عبر المصفوفات. هذا مفهوم أساسي يدعم كفاءتها.

العمليات الحسابية عنصرًا بعنصر

عندما تجري عمليات حسابية بين مصفوفتين NumPy من نفس الشكل، يتم تطبيق العملية على كل عنصر مطابق.

            import numpy as np

arr1 = np.array([1, 2, 3])
arr2 = np.array([4, 5, 6])

# Addition
print(arr1 + arr2)  # Output: [5 7 9]

# Subtraction
print(arr1 - arr2)  # Output: [-3 -3 -3]

# Multiplication
print(arr1 * arr2)  # Output: [ 4 10 18]

# Division
print(arr1 / arr2)  # Output: [0.25 0.4  0.5 ]

# Modulo
print(arr1 % arr2)  # Output: [1 2 3]

# Exponentiation
print(arr1 ** 2)    # Output: [1 4 9] (operating on a single array)

            

              
                Copy
              
            
          

العمليات القياسية: يمكنك أيضًا إجراء عمليات بين مصفوفة وقيمة قياسية واحدة. يتم بث القيمة القياسية لتطابق شكل المصفوفة.

            import numpy as np

arr = np.array([1, 2, 3])
scalar = 5

print(arr + scalar)  # Output: [6 7 8]
print(arr * scalar)  # Output: [ 5 10 15]

            

              
                Copy
              
            
          

الدوال الشاملة (ufuncs)

دوال NumPy الشاملة (ufuncs) هي عمليات متجهة تطبق دالة عنصرًا بعنصر عبر مصفوفة. إنها مُحسَّنة للغاية للسرعة.

أمثلة:

            import numpy as np

arr = np.array([0, np.pi/2, np.pi])

# Sine function
print(np.sin(arr))

# Exponential function
print(np.exp(arr))

# Square root
print(np.sqrt([1, 4, 9]))

# Logarithm
print(np.log([1, np.e, np.e**2]))

            

              
                Copy
              
            
          

توفر NumPy مجموعة واسعة من ufuncs للعمليات المثلثية والأسية واللوغاريتمية والرياضية الأخرى. راجع وثائق NumPy للحصول على قائمة كاملة.

معالجة المصفوفات: التقطيع والفهرسة

يعد الوصول بكفاءة إلى أجزاء من المصفوفة وتعديلها أمرًا بالغ الأهمية. تقدم NumPy إمكانات تقطيع وفهرسة قوية.

الفهرسة والتقطيع الأساسيان

على غرار قوائم بايثون، يمكنك الوصول إلى العناصر باستخدام فهرسها. بالنسبة للمصفوفات متعددة الأبعاد، يمكنك استخدام فهارس مفصولة بفواصل لكل بُعد.

            import numpy as np

arr_2d = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

# Accessing an element (row 1, column 2)
print(arr_2d[1, 2])  # Output: 6

# Accessing a row
print(arr_2d[0, :])  # Output: [1 2 3] (all columns in row 0)

# Accessing a column
print(arr_2d[:, 1])  # Output: [2 5 8] (all rows in column 1)

            

              
                Copy
              
            
          

التقطيع: يتضمن التقطيع تحديد نطاق من العناصر. بناء الجملة هو start:stop:step. إذا تم حذف start أو stop، فسيتم افتراضيًا بداية أو نهاية البعد، على التوالي.

            import numpy as np

arr_2d = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

# Slice a sub-array (rows 0 to 1, columns 1 to 2)
print(arr_2d[0:2, 1:3])
# Output:
# [[2 3]
#  [5 6]]

# Slice the first two rows
print(arr_2d[0:2, :])
# Output:
# [[1 2 3]
#  [4 5 6]]

            

              
                Copy
              
            
          

الفهرسة المنطقية

تتيح لك الفهرسة المنطقية تحديد العناصر بناءً على شرط. يمكنك إنشاء مصفوفة منطقية بنفس شكل مصفوفة البيانات الخاصة بك، حيث يشير True إلى عنصر سيتم تحديده ويشير False إلى عنصر سيتم استبعاده.

            import numpy as np

arr = np.array([10, 25, 8, 40, 15])

# Create a boolean array where elements are greater than 20
condition = arr > 20
print(condition) # Output: [False  True False  True False]

# Use the boolean array to select elements
print(arr[condition]) # Output: [25 40]

# Directly apply a condition
print(arr[arr % 2 == 0]) # Select even numbers: Output: [10  8 40]

            

              
                Copy
              
            
          

تعتبر الفهرسة المنطقية قوية بشكل لا يصدق لتصفية البيانات بناءً على معايير محددة.

الفهرسة المتقدمة

تستخدم الفهرسة المتقدمة مصفوفات من الأعداد الصحيحة للفهرسة في مصفوفة أخرى. يتيح ذلك تحديد العناصر بترتيب غير متجاور.

            import numpy as np

arr = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])

# Select elements at specific indices
indices = np.array([1, 3, 5])
print(arr[indices]) # Output: [2 4 6]

arr_2d = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

# Select specific rows and columns using fancy indexing
# Select elements at (0,1), (1,0), (2,2)
print(arr_2d[[0, 1, 2], [1, 0, 2]]) # Output: [2 4 9]

            

              
                Copy
              
            
          

البث

البث هو آلية قوية في NumPy تتيح استخدام مصفوفات ذات أشكال مختلفة في العمليات الحسابية. عندما تواجه NumPy مصفوفات ذات أشكال مختلفة أثناء العملية، فإنها تحاول "بث" المصفوفة الأصغر عبر المصفوفة الأكبر بحيث يكون لها أشكال متوافقة. هذا يتجنب الحاجة إلى تكرار البيانات بشكل صريح، مما يوفر الذاكرة والحساب.

قواعد البث:

1. إذا اختلفت المصفوفتان في البعد، فسيتم ملء شكل المصفوفة ذات الأبعاد الأقل بالواحدات على جانبها الأيسر (الأيسر).
2. إذا كان شكل المصفوفتين لا يتطابق في أي بعد، فسيتم تمديد المصفوفة ذات الشكل 1 في هذا البعد لتتطابق مع الشكل الآخر.
3. إذا كانت الأحجام لا تتفق في أي بعد ولم يكن أي منهما يساوي 1، فسيتم رفع خطأ.

مثال:

            import numpy as np

# Array A (3x1)
arr_a = np.array([[1], [2], [3]])

# Array B (1x3)
arr_b = np.array([[4, 5, 6]])

# Broadcasting A and B
result = arr_a + arr_b
print(result)
# Output:
# [[5 6 7]
#  [6 7 8]
#  [7 8 9]]

# Here, arr_a (3x1) is broadcasted to 3x3 by repeating its columns.
# arr_b (1x3) is broadcasted to 3x3 by repeating its rows.

            

              
                Copy
              
            
          

البث هو حجر الزاوية في كفاءة NumPy وقدرتها على التعبير، خاصة عند التعامل مع العمليات التي تتضمن المصفوفات والمتجهات.

عمليات التجميع

توفر NumPy دوال لحساب الإحصائيات التجميعية على عناصر المصفوفة.

الجمع

تحسب الدالة np.sum() مجموع عناصر المصفوفة.

            import numpy as np

arr = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])

# Sum of all elements
print(np.sum(arr))  # Output: 21

# Sum along axis 0 (columns)
print(np.sum(arr, axis=0)) # Output: [5 7 9]

# Sum along axis 1 (rows)
print(np.sum(arr, axis=1)) # Output: [ 6 15]

            

              
                Copy
              
            
          

دوال التجميع الأخرى

توجد دوال مماثلة للتجميعات الأخرى:

• np.mean(): تحسب المتوسط.
• np.median(): تحسب الوسيط.
• np.min(): تجد القيمة الدنيا.
• np.max(): تجد القيمة القصوى.
• np.std(): تحسب الانحراف المعياري.
• np.var(): تحسب التباين.

يمكن أن تأخذ هذه الدوال أيضًا وسيطة axis لحساب التجميع على طول بُعد معين.

عمليات الجبر الخطي

الوحدة الفرعية linalg في NumPy عبارة عن مجموعة أدوات قوية لعمليات الجبر الخطي، وهي ضرورية للعديد من التطبيقات العلمية والهندسية.

ضرب المصفوفات

ضرب المصفوفات هو عملية أساسية. في NumPy، يمكنك استخدام العامل @ (بايثون 3.5+) أو الدالة np.dot().

            import numpy as np

matrix1 = np.array([[1, 2], [3, 4]])
matrix2 = np.array([[5, 6], [7, 8]])

# Using the @ operator
result_at = matrix1 @ matrix2
print(result_at)

# Using np.dot()
result_dot = np.dot(matrix1, matrix2)
print(result_dot)

# Output for both:
# [[19 22]
#  [43 50]]

            

              
                Copy
              
            
          

معكوس المصفوفة

np.linalg.inv() تحسب معكوس المصفوفة المربعة.

            import numpy as np

matrix = np.array([[1, 2], [3, 4]])
inverse_matrix = np.linalg.inv(matrix)
print(inverse_matrix)
# Output:
# [[-2.   1. ]
#  [ 1.5 -0.5]]

            

              
                Copy
              
            
          

محدد المصفوفة

np.linalg.det() تحسب محدد المصفوفة المربعة.

            import numpy as np

matrix = np.array([[1, 2], [3, 4]])
determinant = np.linalg.det(matrix)
print(determinant) # Output: -2.0

            

              
                Copy
              
            
          

القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

np.linalg.eig() تحسب القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة المربعة.

            import numpy as np

matrix = np.array([[1, 2], [3, 4]])
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(matrix)

print("Eigenvalues:", eigenvalues)
print("Eigenvectors:", eigenvectors)

            

              
                Copy
              
            
          

تعتبر قدرات الجبر الخطي في NumPy واسعة النطاق، وتغطي عمليات مثل حل الأنظمة الخطية، وتحليل القيم الفردية (SVD)، والمزيد. هذه العمليات ضرورية لمجالات مثل الفيزياء والهندسة والاقتصاد والتعلم الآلي.

تطبيقات NumPy العملية العالمية

تعتبر عمليات NumPy أساسية لمجموعة واسعة من التطبيقات العالمية:

• معالجة الصور: غالبًا ما يتم تمثيل الصور على هيئة مصفوفات NumPy (على سبيل المثال، صورة ذات تدرج رمادي كمصفوفة ثنائية الأبعاد، وصورة ملونة كمصفوفة ثلاثية الأبعاد). يتم إجراء عمليات مثل تغيير الحجم والقص والتصفية ومعالجة الألوان باستخدام عمليات المصفوفة. على سبيل المثال، يتضمن تطبيق تمويه Gaussian على صورة تحويل مصفوفة الصورة مع مصفوفة kernel.
• معالجة الإشارات: يتم تخزين ومعالجة الإشارات الصوتية وبيانات المستشعرات وبيانات السلاسل الزمنية الأخرى بشكل شائع كمصفوفات NumPy. تعتمد التقنيات مثل تحويلات فورييه السريعة (FFTs) لتحليل الترددات وتصفية الضوضاء واكتشاف الأنماط بشكل كبير على الدوال العددية والجبر الخطي في NumPy.
• التعلم الآلي: من تدريب الشبكات العصبية إلى بناء أنظمة التوصية، تعتبر NumPy هي العمود الفقري. يتم تمثيل الأوزان والتحيزات في الشبكات العصبية على هيئة مصفوفات، ويتم تنفيذ عمليات مثل ضرب المصفوفات ودوال التنشيط باستخدام NumPy. تعتمد مكتبات مثل TensorFlow و PyTorch على أساس NumPy. ضع في اعتبارك تدريب نموذج انحدار خطي بسيط عالميًا: مصفوفة الميزات (X) ومتجه الهدف (y) هما مصفوفتا NumPy، ويتم حساب معلمات النموذج (المعاملات) باستخدام عمليات المصفوفة.
• المحاكاة العلمية: يستخدم الباحثون في جميع أنحاء العالم NumPy لمحاكاة الظواهر الفيزيائية والتفاعلات الكيميائية وديناميكيات الموائع والمزيد. على سبيل المثال، تتضمن محاكاة حركة الجسيمات في نموذج ديناميكيات جزيئية تحديث موضع وسرعة كل جسيم (مخزنة في مصفوفات) في كل خطوة زمنية باستخدام معادلات الفيزياء، والتي تُترجم إلى عمليات NumPy.
• النمذجة المالية: غالبًا ما يتضمن تحليل بيانات سوق الأسهم وحساب مخاطر المحفظة وتطوير خوارزميات التداول مجموعات بيانات كبيرة ممثلة على هيئة مصفوفات NumPy. تعتبر العمليات مثل حساب المتوسطات المتحركة والتقلبات والارتباطات مهام NumPy قياسية.

أفضل الممارسات لمستخدمي NumPy العالميين

لتحقيق أقصى قدر من الكفاءة وتجنب المزالق الشائعة عند العمل مع مصفوفات NumPy، خاصة في سياق عالمي:

• فهم أنواع البيانات (dtypes): كن دائمًا على دراية dtype لمصفوفاتك. يمكن أن يؤدي استخدام dtype الأنسب (على سبيل المثال، float32 بدلاً من float64 عندما لا تكون الدقة ذات أهمية قصوى) إلى توفير الذاكرة وتحسين الأداء، خاصة بالنسبة لمجموعات البيانات الضخمة الشائعة في المشروعات ذات النطاق العالمي.
• توجيه التعليمات البرمجية الخاصة بك: تجنب حلقات بايثون الصريحة قدر الإمكان. تكمن قوة NumPy في العمليات المتجهة. قم بتحويل الحلقات إلى عمليات مصفوفة لتحقيق تسريع كبير. هذا أمر بالغ الأهمية عند التعاون مع فرق عبر مناطق زمنية مختلفة وبنية تحتية مختلفة.
• الاستفادة من البث: فهم واستخدام البث لتبسيط التعليمات البرمجية وتحسين الكفاءة عند التعامل مع مصفوفات ذات أشكال مختلفة ولكنها متوافقة.
• استخدام np.arange و np.linspace بحكمة: لإنشاء تسلسلات، اختر الدالة التي تناسب احتياجاتك على أفضل وجه لتحديد الخطوة أو عدد النقاط.
• كن على دراية بدقة الفاصلة العائمة: عند مقارنة أرقام الفاصلة العائمة، تجنب فحوصات المساواة المباشرة (على سبيل المثال، a == b). بدلاً من ذلك، استخدم دوال مثل np.isclose(a, b) التي تسمح بالتسامح. هذا أمر حيوي لتحقيق نتائج قابلة للتكرار عبر بيئات حسابية مختلفة.
• اختر المكتبات المناسبة: على الرغم من أن NumPy هي الأساس، إلا أنه بالنسبة لمهام الحوسبة العلمية الأكثر تعقيدًا، استكشف المكتبات المبنية على NumPy مثل SciPy (التحسين والتكامل والاستيفاء) و Pandas (معالجة البيانات وتحليلها) و Matplotlib/Seaborn (التصور).
• توثيق التعليمات البرمجية الخاصة بك: خاصة في الفرق الدولية، يعد التوثيق الواضح والموجز لعمليات NumPy الخاصة بك أمرًا ضروريًا للفهم والتعاون. اشرح الغرض من معالجات المصفوفة والنتائج المتوقعة.

الخلاصة

تشكل عمليات مصفوفات NumPy حجر الزاوية في الحوسبة العلمية الحديثة وتحليل البيانات. من الحسابات الحسابية الأساسية إلى الجبر الخطي المتقدم والبث، توفر NumPy مجموعة أدوات قوية وفعالة ومتعددة الاستخدامات. من خلال إتقان هذه العمليات، فإنك تمكن نفسك من مواجهة التحديات الحسابية المعقدة عبر مجالات متنوعة والمساهمة في الابتكار العالمي.

سواء كنت طالبًا تتعلم علم البيانات، أو باحثًا يجري تجارب، أو مهندسًا يبني أنظمة، أو محترفًا يحلل البيانات، فإن الفهم القوي لـ NumPy هو استثمار سيحقق عوائد كبيرة. احتضن قوة NumPy، وافتح إمكانيات جديدة في مساعيك الحسابية.