خوارزميات الرسوم البيانية: مقارنة شاملة بين البحث حسب العرض (BFS) والبحث حسب العمق (DFS)

تعتبر خوارزميات الرسوم البيانية أساسية لعلوم الكمبيوتر، حيث توفر حلولًا لمشكلات تتراوح من تحليل الشبكات الاجتماعية إلى تخطيط المسارات. يكمن في جوهرها القدرة على اجتياز وتحليل البيانات المترابطة الممثلة في رسوم بيانية. يستكشف منشور المدونة هذا اثنين من أهم خوارزميات اجتياز الرسوم البيانية: البحث حسب العرض (BFS) والبحث حسب العمق (DFS).

فهم الرسوم البيانية

قبل أن نستكشف BFS و DFS، دعنا نوضح ما هي الرسوم البيانية. الرسم البياني هو هيكل بيانات غير خطي يتكون من مجموعة من الرؤوس (تسمى أيضًا العقد) ومجموعة من الحواف التي تربط هذه الرؤوس. يمكن أن تكون الرسوم البيانية:

• موجهة: للحواف اتجاه (مثل شارع أحادي الاتجاه).
• غير موجهة: للحواف ليس لها اتجاه (مثل شارع ذي اتجاهين).
• مرجحة: للحواف تكاليف أو أوزان مرتبطة بها (مثل المسافة بين المدن).

الرسوم البيانية منتشرة في نمذجة سيناريوهات العالم الحقيقي، مثل:

• الشبكات الاجتماعية: تمثل الرؤوس المستخدمين، وتمثل الحواف الاتصالات (الصداقات، المتابعات).
• أنظمة الخرائط: تمثل الرؤوس المواقع، وتمثل الحواف الطرق أو المسارات.
• شبكات الكمبيوتر: تمثل الرؤوس الأجهزة، وتمثل الحواف الاتصالات.
• أنظمة التوصية: يمكن أن تمثل الرؤوس عناصر (منتجات، أفلام)، وتشير الحواف إلى العلاقات بناءً على سلوك المستخدم.

البحث حسب العرض (BFS)

البحث حسب العرض هو خوارزمية لاجتياز الرسم البياني تستكشف جميع العقد المجاورة على العمق الحالي قبل الانتقال إلى العقد على مستوى العمق التالي. في جوهره، يستكشف الرسم البياني طبقة تلو الأخرى. فكر في الأمر كما لو كنت تسقط حصاة في البركة؛ تنتشر التموجات (التي تمثل البحث) للخارج في دوائر متحدة المركز.

كيف يعمل BFS

يستخدم BFS هيكل بيانات قائمة الانتظار لإدارة ترتيب زيارات العقد. إليك شرح خطوة بخطوة:

1. التهيئة: ابدأ عند رأس مصدر معين وقم بتمييزه على أنه تمت زيارته. أضف رأس المصدر إلى قائمة انتظار.
2. التكرار: بينما قائمة الانتظار ليست فارغة:
   • إلغاء إدخال رأس من قائمة الانتظار.
   • قم بزيارة الرأس الملغى إدخاله (على سبيل المثال، معالجة بياناته).
   • أدخل جميع الجيران غير الزائرين للرأس الملغى إدخاله وقم بتمييزهم على أنهم تمت زيارتهم.

مثال BFS

ضع في اعتبارك رسمًا بيانيًا غير موجه يمثل شبكة اجتماعية. نريد العثور على جميع الأشخاص المتصلين بمستخدم معين (رأس المصدر). لنفترض أن لدينا الرؤوس A و B و C و D و E و F، والحواف: A-B و A-C و B-D و C-E و E-F.

بدءًا من الرأس A:

1. أدخل A في قائمة الانتظار. قائمة الانتظار: [A]. تمت الزيارة: [A]
2. إلغاء إدخال A. قم بزيارة A. قم بإدخال B و C في قائمة الانتظار. قائمة الانتظار: [B, C]. تمت الزيارة: [A, B, C]
3. إلغاء إدخال B. قم بزيارة B. قم بإدخال D في قائمة الانتظار. قائمة الانتظار: [C, D]. تمت الزيارة: [A, B, C, D]
4. إلغاء إدخال C. قم بزيارة C. قم بإدخال E في قائمة الانتظار. قائمة الانتظار: [D, E]. تمت الزيارة: [A, B, C, D, E]
5. إلغاء إدخال D. قم بزيارة D. قائمة الانتظار: [E]. تمت الزيارة: [A, B, C, D, E]
6. إلغاء إدخال E. قم بزيارة E. قم بإدخال F في قائمة الانتظار. قائمة الانتظار: [F]. تمت الزيارة: [A, B, C, D, E, F]
7. إلغاء إدخال F. قم بزيارة F. قائمة الانتظار: []. تمت الزيارة: [A, B, C, D, E, F]

يزور BFS بشكل منهجي جميع العقد التي يمكن الوصول إليها من A، طبقة تلو الأخرى: A -> (B, C) -> (D, E) -> F.

تطبيقات BFS

• العثور على أقصر مسار: يضمن BFS العثور على أقصر مسار (من حيث عدد الحواف) بين عقدتين في رسم بياني غير مرجح. هذا مهم للغاية في تطبيقات تخطيط المسارات على مستوى العالم. تخيل خرائط Google أو أي نظام ملاحة آخر.
• اجتياز الأشجار بترتيب المستوى: يمكن تكييف BFS لاجتياز شجرة مستوى تلو الآخر.
• الزحف إلى الشبكة: تستخدم برامج زحف الويب BFS لاستكشاف الويب، وزيارة الصفحات بطريقة البحث حسب العرض.
• العثور على المكونات المتصلة: تحديد جميع الرؤوس التي يمكن الوصول إليها من رأس بدء. مفيد في تحليل الشبكات وتحليل الشبكات الاجتماعية.
• حل الألغاز: يمكن حل أنواع معينة من الألغاز، مثل لغز 15، باستخدام BFS.

التعقيد الزمني والمكاني لـ BFS

• التعقيد الزمني: O(V + E)، حيث V هو عدد الرؤوس و E هو عدد الحواف. هذا لأن BFS يزور كل رأس وحافة مرة واحدة.
• التعقيد المكاني: O(V) في أسوأ السيناريوهات، حيث يمكن لقائمة الانتظار أن تحتوي على جميع الرؤوس في الرسم البياني.

البحث حسب العمق (DFS)

البحث حسب العمق هو خوارزمية أساسية أخرى لاجتياز الرسم البياني. على عكس BFS، يستكشف DFS قدر الإمكان على طول كل فرع قبل التراجع. فكر في الأمر كما لو كنت تستكشف متاهة؛ تذهب في مسار بقدر ما تستطيع حتى تصل إلى طريق مسدود، ثم تتراجع لاستكشاف مسار آخر.

كيف يعمل DFS

يستخدم DFS عادةً التكرار أو المكدس لإدارة ترتيب زيارات العقد. إليك نظرة عامة خطوة بخطوة (النهج التكراري):

1. التهيئة: ابدأ عند رأس مصدر معين وقم بتمييزه على أنه تمت زيارته.
2. التكرار: لكل جار غير زائر للرأس الحالي:
   • استدعِ DFS بشكل متكرر على هذا الجار.

مثال DFS

باستخدام نفس الرسم البياني كما كان من قبل: A و B و C و D و E و F، مع الحواف: A-B و A-C و B-D و C-E و E-F.

بدءًا من الرأس A (متكرر):

1. قم بزيارة A.
2. قم بزيارة B.
3. قم بزيارة D.
4. تراجع إلى B.
5. تراجع إلى A.
6. قم بزيارة C.
7. قم بزيارة E.
8. قم بزيارة F.

يعطي DFS الأولوية للعمق: A -> B -> D ثم يتراجع ويستكشف مسارات أخرى من A و C و E و F لاحقًا.

تطبيقات DFS

• إيجاد المسار: إيجاد أي مسار بين عقدتين (ليس بالضرورة الأقصر).
• كشف الدورات: كشف الدورات في رسم بياني. ضروري لمنع الحلقات اللانهائية وتحليل هيكل الرسم البياني.
• الفرز الطوبولوجي: ترتيب الرؤوس في رسم بياني غير دوري موجه (DAG) بحيث لكل حافة موجهة (u, v)، يسبق الرأس u الرأس v في الترتيب. هام في جدولة المهام وإدارة التبعيات.
• حل المتاهات: يتناسب DFS بشكل طبيعي مع حل المتاهات.
• العثور على المكونات المتصلة: على غرار BFS.
• ذكاء اصطناعي للألعاب (أشجار القرار): يستخدم لاستكشاف حالات اللعبة. على سبيل المثال، ابحث عن جميع التحركات المتاحة من الحالة الحالية للعبة الشطرنج.

التعقيد الزمني والمكاني لـ DFS

• التعقيد الزمني: O(V + E)، على غرار BFS.
• التعقيد المكاني: O(V) في أسوأ الحالات (بسبب مكدس الاستدعاء في التنفيذ المتكرر). في حالة الرسم البياني غير المتوازن للغاية، يمكن أن يؤدي هذا إلى أخطاء تجاوز سعة المكدس في التطبيقات التي لا تتم فيها إدارة المكدس بشكل كافٍ، لذا قد تكون التطبيقات التكرارية التي تستخدم مكدسًا مفضلة للرسوم البيانية الأكبر.

BFS مقابل DFS: تحليل مقارن

في حين أن كل من BFS و DFS هما خوارزميات أساسية لاجتياز الرسوم البيانية، إلا أنهما يتمتعان بنقاط قوة وضعف مختلفة. يعتمد اختيار الخوارزمية الصحيحة على المشكلة المحددة وخصائص الرسم البياني.

ميزة	البحث حسب العرض (BFS)	البحث حسب العمق (DFS)
ترتيب الاجتياز	مستوى تلو الآخر (عرضًا)	فرع تلو الآخر (عمقًا)
هيكل البيانات	قائمة انتظار	مكدس (أو تكرار)
أقصر مسار (الرسوم البيانية غير المرجحة)	مضمون	غير مضمون
استخدام الذاكرة	يمكن أن يستهلك ذاكرة أكبر إذا كان الرسم البياني يحتوي على العديد من الاتصالات في كل مستوى.	يمكن أن يكون أقل كثافة من حيث الذاكرة، خاصة في الرسوم البيانية المتناثرة، ولكن يمكن أن يؤدي التكرار إلى أخطاء تجاوز سعة المكدس.
كشف الدورة	يمكن استخدامه، لكن DFS غالبًا ما يكون أبسط.	فعال
حالات الاستخدام	أقصر مسار، اجتياز ترتيب المستوى، الزحف إلى الشبكة.	إيجاد المسار، كشف الدورة، الفرز الطوبولوجي.

أمثلة عملية واعتبارات

دعنا نوضح الاختلافات وننظر في أمثلة عملية:

المثال 1: إيجاد أقصر طريق بين مدينتين في تطبيق خرائط.

السيناريو: أنت تقوم بتطوير تطبيق ملاحة للمستخدمين في جميع أنحاء العالم. يمثل الرسم البياني المدن على شكل رؤوس والطرق على شكل حواف (ربما مرجحة بالمسافة أو وقت السفر).

الحل: BFS هو الخيار الأفضل لإيجاد أقصر طريق (من حيث عدد الطرق التي تم قطعها) في رسم بياني غير مرجح. إذا كان لديك رسم بياني مرجح، فستفكر في خوارزمية Dijkstra أو بحث A*، لكن مبدأ البحث للخارج من نقطة بداية ينطبق على كل من BFS وهذه الخوارزميات الأكثر تقدمًا.

المثال 2: تحليل شبكة اجتماعية لتحديد المؤثرين.

السيناريو: تريد تحديد المستخدمين الأكثر تأثيرًا في شبكة اجتماعية (مثل Twitter أو Facebook) بناءً على اتصالاتهم ومدى وصولهم.

الحل: يمكن أن يكون DFS مفيدًا في استكشاف الشبكة، مثل إيجاد المجتمعات. يمكنك استخدام إصدار معدل من BFS أو DFS. لتحديد المؤثرين، من المحتمل أن تجمع بين اجتياز الرسم البياني ومقاييس أخرى (عدد المتابعين، مستويات التفاعل، وما إلى ذلك). غالبًا ما يتم استخدام أدوات مثل PageRank، وهي خوارزمية تعتمد على الرسوم البيانية.

المثال 3: تبعيات جدولة الدورة التدريبية.

السيناريو: تحتاج الجامعة إلى تحديد الترتيب الصحيح الذي يجب فيه تقديم الدورات، مع مراعاة المتطلبات الأساسية.

الحل: يعد الفرز الطوبولوجي، الذي يتم تنفيذه عادةً باستخدام DFS، هو الحل الأمثل. وهذا يضمن أن الدورات يتم أخذها بترتيب يفي بجميع المتطلبات الأساسية.

نصائح التنفيذ وأفضل الممارسات

• اختيار لغة البرمجة المناسبة: يعتمد الاختيار على متطلباتك. تشمل الخيارات الشائعة لغة Python (لقابليتها للقراءة والمكتبات مثل `networkx`) و Java و C++ و JavaScript.
• تمثيل الرسم البياني: استخدم قائمة تجاور أو مصفوفة تجاور لتمثيل الرسم البياني. تكون قائمة التجاور أكثر كفاءة من حيث المساحة بشكل عام للرسوم البيانية المتناثرة (الرسوم البيانية ذات عدد أقل من الحواف من الحد الأقصى المحتمل)، في حين أن مصفوفة التجاور قد تكون أكثر ملاءمة للرسوم البيانية الكثيفة.
• التعامل مع الحالات الهامشية: ضع في اعتبارك الرسوم البيانية المنفصلة (الرسوم البيانية التي لا يمكن الوصول إلى جميع رؤوسها من بعضها البعض). يجب تصميم الخوارزميات الخاصة بك للتعامل مع مثل هذه السيناريوهات.
• التحسين: قم بالتحسين بناءً على هيكل الرسم البياني. على سبيل المثال، إذا كان الرسم البياني عبارة عن شجرة، فيمكن تبسيط اجتياز BFS أو DFS بشكل كبير.
• المكتبات والأطر: استخدم المكتبات والأطر الموجودة (مثل NetworkX في Python) لتبسيط معالجة الرسوم البيانية وتنفيذ الخوارزمية. غالبًا ما توفر هذه المكتبات تطبيقات محسّنة لـ BFS و DFS.
• التصور: استخدم أدوات التصور لفهم الرسم البياني وكيفية أداء الخوارزميات. يمكن أن يكون هذا ذا قيمة كبيرة لتصحيح الأخطاء وفهم هياكل الرسوم البيانية الأكثر تعقيدًا. أدوات التصور متوفرة بكثرة؛ Graphviz مشهور لتمثيل الرسوم البيانية بتنسيقات مختلفة.

الخلاصة

BFS و DFS هما خوارزميات قوية ومتعددة الاستخدامات لاجتياز الرسوم البيانية. يعد فهم الاختلافات ونقاط القوة والضعف الخاصة بهم أمرًا بالغ الأهمية لأي عالم كمبيوتر أو مهندس برمجيات. من خلال اختيار الخوارزمية المناسبة للمهمة المطروحة، يمكنك حل مجموعة واسعة من المشكلات في العالم الحقيقي بكفاءة. ضع في اعتبارك طبيعة الرسم البياني (مرجح أم غير مرجح، موجه أم غير موجه)، والمخرجات المطلوبة (أقصر مسار، اكتشاف الدورة، الترتيب الطوبولوجي)، وقيود الأداء (الذاكرة والوقت) عند اتخاذ قرارك.

اعتنق عالم خوارزميات الرسوم البيانية، وستفتح الإمكانية لحل المشكلات المعقدة بأناقة وكفاءة. من تحسين الخدمات اللوجستية لسلاسل التوريد العالمية إلى رسم خرائط الاتصالات المعقدة للدماغ البشري، تستمر هذه الأدوات في تشكيل فهمنا للعالم.